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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-19 15:43:24 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-19 15:43:24 (GMT)
commit9f01fcc30da3898a8fea2d14ee13813966524b9c (patch)
tree3cd24cbb640744289871150c6bd2a26327a2003d /chapitres/radicaux.tex
parent9406753bd2176c03ca8ed8ac73de2ed6e3d64b48 (diff)
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galois-9f01fcc30da3898a8fea2d14ee13813966524b9c.tar.gz
galois-9f01fcc30da3898a8fea2d14ee13813966524b9c.tar.bz2
[radicaux] Changement trivial de numérotation des indices.
Il vaut mieux utiliser 0,1,2 pour la cohérence avec ce qui va suivre.
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex26
1 files changed, 13 insertions, 13 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 9e8826c..e619e83 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1101,17 +1101,17 @@ en $Q = X^3 + pX + q$ où $p = -\frac{1}{3}b^2 + c$ et $q =
scindé si et seulement si le polynôme $P$ initial l'est, et on peut
donc supposer avoir affaire à un polynôme de cette forme.
-Si $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ désignent les racines de $Q$ dans une extension
+Si $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ désignent les racines de $Q$ dans une extension
de $k$ contenant également une racine primitive cubique de
l'unité $\zeta$, on peut introduire les quantités $u := \frac{1}{27}
-(\xi_1 + \zeta \xi_2 + \zeta^2 \xi_3)^3$ et $v := \frac{1}{27} (\xi_1
-+ \zeta \xi_3 + \zeta^2 \xi_2)^3$ : elles sont, bien sûr, invariantes
-par renumérotation cyclique de $\xi_1,\xi_2,\xi_3$. En développant
-complètement $u + v = 2(\xi_1^3 + \xi_2^3 + \xi_3^3) - 3 (\xi_1^2
-\xi_2 + \xi_2^2 \xi_3 + \xi_3^2 \xi_1 + \xi_1^2 \xi_3 + \xi_2^2 \xi_1
-+ \xi_3^2 \xi_2) + 12\xi_1 \xi_2 \xi_3$ et en remplaçant les fonctions
-symétriques élémentaires $\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 = 0$, $\xi_1 \xi_2 +
-\xi_2 \xi_3 + \xi_3 \xi_1 = p$ et $\xi_1\xi_2\xi_3 = -q$ par leurs
+(\xi_0 + \zeta \xi_1 + \zeta^2 \xi_2)^3$ et $v := \frac{1}{27} (\xi_0
++ \zeta \xi_2 + \zeta^2 \xi_1)^3$ : elles sont, bien sûr, invariantes
+par renumérotation cyclique de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$. En développant
+complètement $u + v = 2(\xi_0^3 + \xi_1^3 + \xi_2^3) - 3 (\xi_0^2
+\xi_1 + \xi_1^2 \xi_2 + \xi_2^2 \xi_0 + \xi_0^2 \xi_2 + \xi_1^2 \xi_0
++ \xi_2^2 \xi_1) + 12\xi_0 \xi_1 \xi_2$ et en remplaçant les fonctions
+symétriques élémentaires $\xi_0 + \xi_1 + \xi_2 = 0$, $\xi_0 \xi_1 +
+\xi_1 \xi_2 + \xi_2 \xi_0 = p$ et $\xi_0\xi_1\xi_2 = -q$ par leurs
valeurs, on trouve $u + v = -q$, et par un calcul semblable, $uv =
-\frac{1}{27}p^3$. Les quantités $u$ et $v$ sont donc solutions de
l'équation quadratique $Z^2 + qZ - \frac{1}{27}p^3 = 0$. En
@@ -1123,11 +1123,11 @@ $\big\lwave\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\big\rwave = -\frac{q}{2} \pm
\sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}$ en caractéristique $\neq 2$.
En notant $\root3\of{u}$ et $\root3\of{v}$ des racines cubiques
quelconques de respectivement $u$ et $v$, qui sont donc égales à
-$\frac{1}{3} (\xi_1 + \zeta \xi_2 + \zeta^2 \xi_3)$ et $\frac{1}{3}
-(\xi_1 + \zeta \xi_3 + \zeta^2 \xi_2)$ respectivement, à une puissance
+$\frac{1}{3} (\xi_0 + \zeta \xi_1 + \zeta^2 \xi_2)$ et $\frac{1}{3}
+(\xi_0 + \zeta \xi_2 + \zeta^2 \xi_1)$ respectivement, à une puissance
de $\zeta$ près, ou ce qui revient au même à renumérotation cyclique
-de $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ près. Compte tenu du fait que $\xi_1 + \xi_2 +
-\xi_3 = 0$, les différentes valeurs de $\root3\of{u} + \root3\of{v}$
+de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ près. Compte tenu du fait que $\xi_0 + \xi_1 +
+\xi_2 = 0$, les différentes valeurs de $\root3\of{u} + \root3\of{v}$
(selon le choix de la détermination de chaque racine cubique)
parcourent les $\zeta^j \xi_i$.