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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 17:26:46 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 17:26:46 +0200
commita2167903e2ff58bffc22e33576f0bdd0963e8775 (patch)
treef57b3107098607a2efa1230d93d1e5508b5f3d50 /chapitres/radicaux.tex
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[radicaux] Suite remaniements: n=7.
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex81
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 3d63186..44ed8a0 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -540,6 +540,7 @@ rationnel, et on peut montrer, toujours sous l'hypothèse que $n$ soit
premier impair, que $\alpha_{(n-1)/2}$ vaut $\sqrt{n}$ ou $\sqrt{-n}$
selon que $n\equiv 1\pmod{4}$ ou $n\equiv 3\pmod{4}$. \XXX)
+\subsubsection{}\label{remarque-groupe-de-galois-sur-zeta-dans-calcul-de-omega}
Pour une même valeur de $d := \pgcd(j,n-1)$, les différents $\alpha_j$
sont reliés entre eux par l'action du groupe de Galois de
$\QQ(\zeta,\omega)$ au-dessus de $\QQ(\omega)$ cette fois, ce qui
@@ -555,7 +556,8 @@ explique au moins la raison pour laquelle les expressions dans les
radicaux de chacune des sommes qu'on va calculer ci-dessous sont très
semblables les unes aux autres.
-\subsubsection{} Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse
+\subsubsection{}\label{generalites-calcul-expressions-cos-2pi-sur-n}
+Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse
souvent à l'expression $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$,
c'est-à-dire $\cos\frac{2\pi}{n}$ pour le choix usuel des
déterminations complexes. Remarquons que $\omega^{-1} =
@@ -633,7 +635,7 @@ $\omega^2 = -1-\omega = \omega^{-1}$, et la quantité $\alpha_1 :=
$\alpha_1 = \sqrt{-3}$, de sorte que $\omega =
\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ :
\[
-\cos\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2}\hbox{\quad et\quad }
+\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\hbox{\quad et\quad }
\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2}\sqrt{-3}
\]
@@ -698,55 +700,70 @@ principale est celle qui a la partie réelle la plus grande et la
partie imaginaire positive, si $\zeta$ est la racine cubique
principale, la racine sixième principale est $-\zeta^2$.)
-\subsubsection{$n=7$}\label{racine-7e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine
-primitive $7$-ième de l'unité, alors on considère les quantités
-$\alpha_j := \sum_{i=0}^5 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ où $\zeta$ est
-une racine cubique primitive de l'unité (et donc $-\zeta^2$ une racine
-primitive $6$-ième de l'unité). On a bien sûr $\alpha_0 = -1$.
+\subsubsection{$n=7$}\label{racine-7e-de-1} Pour exprimer les racines
+$7$-ièmes de l'unité, on commence par choisir une base des racines
+$6$-ièmes : comme le paragraphe précédent l'explique, celles-ci seront
+notées $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$ avec $\zeta$ une racine
+primitive cubique de l'unité, et on choisira la $\QQ$-base
+$1,\sqrt{-3}$ de $\QQ(\zeta) = \QQ(-\zeta^2)$ pour exprimer les
+résultats car elle est plus commode que $1,\zeta$.
+
+Si $\omega$ désigne une racine primitive $7$-ième de l'unité, alors vu
+que $3$ est primitif modulo $7$ on considère les quantités $\alpha_j
+:= \sum_{i=0}^5 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ (ici, $-\zeta^2 =
+\frac{1}{2}(1 + \sqrt{-3})$ une racine primitive $6$-ième de l'unité).
+On a bien sûr $\alpha_0 = -1$.
Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega +
-\omega^{-1})$. Comme on l'a expliqué, pour ce faire, on va calculer
-$\alpha_2$ et $\alpha_4$. On a $(\alpha_2)^3 = -7 - 21\zeta$, et
-d'après l'expression $\zeta = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ calculée plus
-haut avec nos conventions sur les déterminations principales, on peut
-écrire $\alpha_2 = \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$.
-De même (ou en appliquant la conjugaison complexe), on a $\alpha_4 =
-\root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$. Ceci conduit déjà à
-l'expression suivante pour $\gamma = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 +
-\alpha_4)$ :
+\omega^{-1})$. Comme on l'a expliqué (cf. notamment
+\ref{generalites-calcul-expressions-cos-2pi-sur-n}), on a $\gamma =
+\frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4)$ : on va donc calculer
+$(\alpha_2)^3$ et $(\alpha_4)^3$ en travaillant modulo $\Phi_7$. On
+trouve $(\alpha_2)^3 = -7 - 21\zeta = \frac{7}{2} -
+\frac{21}{2}\sqrt{-3}$ et $(\alpha_4)^3 = 14 + 21\zeta = \frac{7}{2} +
+\frac{21}{2}\sqrt{-3}$ (soit en faisant un nouveau calcul, soit en
+appliquant la conjugaison complexe c'est-à-dire en faisant agir le
+groupe de Galois de $\QQ(\zeta)\bo\QQ$,
+cf. \ref{remarque-groupe-de-galois-sur-zeta-dans-calcul-de-omega}).
+Il faut ensuite vérifier les déterminations pour pouvoir écrire
+$\alpha_2 = \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$ et
+$\alpha_4 = \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$. Ceci
+conduit déjà à l'expression suivante pour $\gamma =
+\frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4)$ :
\[
\begin{array}{rl}
\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7}
&\displaystyle= \frac{1}{6}\Big(
--1 + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
-+ \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
+-1 + \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
++ \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
\Big)\\
&\displaystyle= -\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\root3\of{\frac{7}{2}}
-\Big(\root3\of{1 + 3\sqrt{-3}}
-+ \root3\of{1 - 3\sqrt{-3}}
+\Big(\root3\of{1 - 3\sqrt{-3}}
++ \root3\of{1 + 3\sqrt{-3}}
\Big)\\
\end{array}
\]
-On a par ailleurs $(\alpha_3)^2 = -7$, et avec nos déterminations, on
-a $\alpha_3 = \sqrt{-7}$. Restent à déterminer $\alpha_1$ et
-$\alpha_5$. On peut calculer $(\alpha_1)^6 = -385 - 273\zeta =
--\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}$ d'où $\alpha_1 =
--\root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et de même,
-$\alpha_5 = \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au
-final, on obtient l'expression de $\omega = \frac{1}{6}(\alpha_0 +
-\cdots + \alpha_5)$ sous la forme $\cos\frac{2\pi}{7} + \sqrt{-1} \,
-\sin\frac{2\pi}{7}$ où :
+Pour le sinus, on calcule d'abord $(\alpha_3)^2 = -7$ ce qui donne
+(une fois vérifiée la détermination) $\alpha_3 = \sqrt{-7}$. Puis
+$(\alpha_1)^6 = -385 - 273\zeta = -\frac{497}{2} -
+\frac{273}{2}\sqrt{-3}$ d'où $\alpha_1 = -\root6\of{-\frac{497}{2} -
+ \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et de même, ou en faisant agir la
+conjugaison complexe, $(\alpha_5)^6 = -112 - 273\zeta = -\frac{497}{2}
++ \frac{273}{2}\sqrt{-3}$ d'où $\alpha_6 = \root6\of{-\frac{497}{2} +
+ \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au final, on obtient l'expression
+de $\omega = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \cdots + \alpha_5)$ sous la forme
+$\cos\frac{2\pi}{7} + \sqrt{-1} \, \sin\frac{2\pi}{7}$ où :
\[
\begin{array}{rl}
\displaystyle\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{7}
&\displaystyle= \frac{1}{6}\Big(
-\sqrt{-7} + \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
-- \root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
+\sqrt{-7} - \root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
++ \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
\Big)\\
&\displaystyle= \frac{1}{6}\sqrt{-7} + \frac{1}{6}\root6\of{\frac{7}{2}}\Big(
-\root6\of{-71 + 39\sqrt{-3}}
- \root6\of{-71 - 39\sqrt{-3}}
++ \root6\of{-71 + 39\sqrt{-3}}
\Big)\\
\end{array}
\]