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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-05-10 16:24:45 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-05-10 16:24:45 (GMT)
commita7893f9c2083d7849f3ab5f571f91f2121cc49e8 (patch)
tree2c63674a0b2c11371ea25f54a2d15e6a7037fcb6 /chapitres/radicaux.tex
parent0a32f03982d107b828725e20908998465180713b (diff)
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[radicaux] Encore des résultats assurément justes mais dont je ne sais pas bien ce que je veux en faire exactement.
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex21
1 files changed, 20 insertions, 1 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 1fced9a..9a3cb2c 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1111,12 +1111,31 @@ $K[Z_0,\ldots,Z_{n-1}]$ qui laisse invariant les coefficients et
permute cycliquement les variables ($\sigma(Z_i) = Z_{i+1\pmod{n}}$).
Si pour $j$ entier (défini modulo $n$) on introduit la somme de
Lagrange $L_j = \sum_{i=0}^{n-1} \zeta^{ij} Z_i$, alors $\sigma(L_j) =
-\zeta^{-j} L_j$, de sorte que $\sigma((L_j)^n) = (L_j)^n$.
+\zeta^{-j} L_j$, de sorte que $\sigma((L_j)^n) = (L_j)^n$,
+c'est-à-dire que le polynôme $(L_j)^n$ est invariant par permutation
+cyclique de ses variables. On a de plus $Z_i = \frac{1}{n}
+\sum_{j=0}^{n-1} \zeta^{-ij} L_j$.
\end{prop}
\XXX --- C'est une trivialité, mais où est-ce que je veux en venir, au
juste ?
+\begin{prop}
+Soit $K$ un corps de caractéristique $p > 0$. Soit $\sigma$
+l'automorphisme de $K[Z_0,\ldots,Z_{n-1}]$ qui laisse invariant les
+coefficients et permute cycliquement les variables ($\sigma(Z_i) =
+Z_{i+1\pmod{n}}$). Si on introduit l'expression $A = \sum_{i=0}^{n-1}
+i Z_i$, alors $\sigma(A) = A-1$, de sorte que $\sigma(A^p-A) = A^p-A$,
+c'est-à-dire que le polynôme $A^p-A$ est invariant par permutation
+cyclique de ses variables.
+
+En notant $\Tr(x) = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i(x)$, on a $\Tr(A^i) = 0$
+pour $0 \leq i \leq p-2$ et $\Tr(A^{p-1}) = -{e_1}^{p-1}$ où $e_1 =
+Z_0 + \cdots + Z_{p-1}$. Si $x = \sum_{i=0}^{p-1} c_i A^i$ alors $c_i
+= -\Tr(x A^{p-1-i})/{e_1}^{p-1}$ sauf $c_0 = -\Tr(x
+A^{p-1})/{e_1}^{p-1} - c_{p-1} {e_1}^{p-1}$.
+\end{prop}
+
\subsection{Degré $2$}
\subsubsection{} Si $k$ est un corps de caractéristique $\neq 2$ et $f