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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-05-31 13:16:20 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-05-31 13:16:20 (GMT)
commitaa0cac96af7cedce60857e44ac6dc0233bb9e390 (patch)
tree2b1022daf6fa1f2e705e5af64dcd454e1c29ad43 /chapitres/radicaux.tex
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[radicaux] Remaniement des équations cubiques pour faire usage des généralités introduites.
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex66
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index 1dcbe53..3b898fd 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1072,7 +1072,8 @@ où $f$ est un polynôme séparable de degré $n$ petit sur un corps $k$.
On notera généralement $\xi_0, \ldots, \xi_{n-1}$ les racines de $f$
(qu'on cherche à exprimer) dans un corps de décomposition.
-On considérera souvent des « expressions » des racines, c'est-à-dire
+\label{remarque-expressions-racines-et-permutations}On considérera
+souvent des « expressions » des racines, c'est-à-dire
des polynômes ou fractions rationnelles en $\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$ :
il faut considérer qu'une telle expression $u$ est un élément de
$k[Z_0,\ldots,Z_{n-1}]$ ou $k(Z_0,\ldots,Z_{n-1})$ et qu'on le confond
@@ -1103,7 +1104,7 @@ galoisiennes dont le groupe de Galois est cyclique ou même résoluble.
Nous allons maintenant revisiter cette question dans l'optique de la
résolution des équations. Le cas des équations cycliques est clair :
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{resolution-equations-cycliques-cas-kummer}
Soit $K$ un corps contenant une racine primitive $n$-ième de
l'unité $\zeta$, où $n$ est un entier non multiple de la
caractéristique de $K$. Soit $\sigma$ l'automorphisme de
@@ -1123,7 +1124,7 @@ C'est évident.
\XXX --- C'est une trivialité, mais où est-ce que je veux en venir, au
juste ?
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{resolution-equations-cycliques-cas-artin-schreier}
Soit $K$ un corps de caractéristique $p > 0$. Soit $\sigma$
l'automorphisme de $K[Z_0,\ldots,Z_{n-1}]$ qui laisse invariant les
coefficients et permute cycliquement les variables ($\sigma(Z_i) =
@@ -1216,12 +1217,13 @@ sous-groupes $1 \leq C_3 \leq \mathfrak{S}_3$ où $C_3$ est le
sous-groupe cyclique d'ordre $3$ de $\mathfrak{S}_3$ (distingué dans
celui-ci) engendré par la permutation $\sigma$ de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$
qui envoie chacun sur le suivant cycliquement. La somme de Lagrange
-$\xi_0 + \zeta \xi_1 + \zeta^2 \xi_2$ est multipliée par $\zeta^{-1}$
-sous l'effet de la permutation $\sigma$ : le cube de cette quantité
-(que pour des raisons essentiellement historiques on va noter $27 u$)
-est donc invariant par $C_3$. Une quantité conjuguée s'obtient en
-échangeant, disons, $\xi_1$ et $\xi_2$ (permutation représentant
-l'autre classe de $C_3$ dans $\mathfrak{S}_3$).
+$L_1 = \xi_0 + \zeta \xi_1 + \zeta^2 \xi_2$ est multipliée
+par $\zeta^{-1}$ sous l'effet de la permutation $\sigma$ : le cube de
+cette quantité (que pour des raisons essentiellement historiques on va
+noter $27 u$) est donc invariant par $C_3$. Une quantité conjuguée
+s'obtient en échangeant, disons, $\xi_1$ et $\xi_2$ (permutation
+représentant l'autre classe de $C_3$ dans $\mathfrak{S}_3$) : c'est
+tout simplement $L_2$.
Bref, on introduit les quantités $u := \frac{1}{27} (\xi_0 + \zeta
\xi_1 + \zeta^2 \xi_2)^3$ et $v := \frac{1}{27} (\xi_0 + \zeta \xi_2 +
@@ -1257,27 +1259,31 @@ parcourent les $\zeta^j \xi_i$.
la résolution par radicaux de l'équation $X^3 + b X^2 + c X + d = 0$
avec $b\neq 0$. On notera $f$ le polynôme membre de gauche de cette
équation, et $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ ses racines dans une certaine
-extension de $k$. Appelons $\alpha$ la quantité $\frac{1}{b}(\xi_1
-- \xi_2)$ (c'est-à-dire, si on préfère, $\alpha
-= \frac{1}{b}\sum_{i=0}^2 i \xi_i$) : le choix de cette expression est
-dicté par le fait que si on dispose d'un automorphisme $\sigma$
-envoyant cycliquement chacun de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ sur le suivant,
-alors $\sigma(\alpha) = \alpha+1$. La quantité $w := \wp(\alpha)
-= \alpha^3 - \alpha$ (en notant comme d'habitude $\wp(x) = x^3 - x$) a
-pour carré $w^2 = -\frac{d}{b^3} + \frac{c^2}{b^4} - \frac{c^3}{b^6}$,
-comme on peut le vérifier en remplaçant $b,c,d$ par
-$-(\xi_0+\xi_1+\xi_2)$, $\xi_0 \xi_1 + \xi_1 \xi_2 + \xi_2 \xi_0$ et
-$-\xi_0 \xi_1 \xi_2$ respectivement dans les deux membres de cette
-égalité. On peut donc écrire $\alpha
-= \pm \root\wp\of{\sqrt{-\frac{d}{b^3} + \frac{c^2}{b^4}
-- \frac{c^3}{b^6}}} + \big\lwave0,1,2\big\rwave$ (le choix du signe
-devant les racines, et du terme $0,1,2$ étant lié à la détermination
-des racines). Reste à expliquer comment retrouver $\xi_0,\xi_1,\xi_2$
-à partir de $\alpha$ : pour cela, remarquons que $b^2 \alpha^2 =
-\xi_1^2 + \xi_1 \xi_2 + \xi_2^2 = b^2 - c + b\xi_0$, ce qui permet
-d'écrire $\xi_0 = b \alpha^2 - b + \frac{c}{b}$, et on a alors
-facilement $\xi_1 = b \alpha^2 - b\alpha + \frac{c}{b}$ et $\xi_2 =
-b \alpha^2 + b\alpha + \frac{c}{b}$.
+extension de $k$. Appelons $\alpha$ la quantité $\frac{1}{b}(\xi_1 -
+\xi_2)$ (c'est-à-dire, si on préfère, $\alpha =
+\frac{1}{b}\sum_{i=0}^2 i \xi_i$) : le choix de cette expression est
+dicté par le fait que si on appelle $\sigma$ la permutation de
+$\xi_0,\xi_1,\xi_2$ envoyant chacun sur le suivant, alors
+$\sigma(\alpha) = \alpha+1$ (on renvoie à la remarque faite
+en \ref{remarque-expressions-racines-et-permutations} sur le sens à
+donner à l'application de $\sigma$ à $\alpha$).
+
+La quantité $w := \wp(\alpha) = \alpha^3 - \alpha$ (en notant comme
+d'habitude $\wp(x) = x^3 - x$) a pour carré $w^2 = -\frac{d}{b^3} +
+\frac{c^2}{b^4} - \frac{c^3}{b^6}$, comme on peut le vérifier en
+remplaçant $b,c,d$ par $-(\xi_0+\xi_1+\xi_2)$, $\xi_0 \xi_1 + \xi_1
+\xi_2 + \xi_2 \xi_0$ et $-\xi_0 \xi_1 \xi_2$ respectivement dans les
+deux membres de cette égalité. On peut donc écrire $\alpha = \pm
+\root\wp\of{\sqrt{-\frac{d}{b^3} + \frac{c^2}{b^4} - \frac{c^3}{b^6}}}
++ \big\lwave0,1,2\big\rwave$ (le choix du signe devant les racines, et
+du terme $0,1,2$ étant lié à la détermination des racines). Reste à
+expliquer comment retrouver $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ à partir de $\alpha$ :
+pour cela, remarquons que $b^2 \alpha^2 = \xi_1^2 + \xi_1 \xi_2 +
+\xi_2^2 = b^2 - c + b\xi_0$, ce qui permet d'écrire $\xi_0 = b
+\alpha^2 - b + \frac{c}{b}$, et on a alors facilement $\xi_1 = b
+\alpha^2 - b\alpha + \frac{c}{b}$ et $\xi_2 = b \alpha^2 + b\alpha +
+\frac{c}{b}$ (ces formules pouvaient se trouver en appliquant la
+proposition \ref{resolution-equations-cycliques-cas-artin-schreier}).
Reste à dire un mot en caractéristique $3$ des équations $X^3 + c X +
d = 0$ avec $c \neq 0$, et $X^3 + d = 0$. Lorsque $-c$ est un carré,