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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-01-25 13:12:09 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-01-25 13:12:09 (GMT)
commitb3220ea3460ffdd4933afcd00225ce3b84b55265 (patch)
tree454fc9818996a4b3d4b095ba7046ec9a209f927f /chapitres/radicaux.tex
parent78e24972c84af8d7dd1d5630eb6e4b5b4537b127 (diff)
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[Radicaux] Très légères améliorations rédactionnelles.
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex17
1 files changed, 12 insertions, 5 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 0b8f1f2..4bcf56f 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1256,7 +1256,13 @@ de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ près. Compte tenu du fait que $\xi_0 + \xi_1 +
(selon le choix de la détermination de chaque racine cubique)
parcourent les $\zeta^j \xi_i$.
-\XXX
+En résumé, les racines de $X^3 + pX + q$ en caractéristique $\neq 2,3$
+sont de la forme :
+\[
+\zeta^{j} \root3\of{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}
++ \zeta^{j'} \root3\of{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}
+\]
+pour certaines combinaisons de $j,j'$.
\subsubsection{} Pour $k$ de caractéristique $3$, étudions maintenant
la résolution par radicaux de l'équation $X^3 + b X^2 + c X + d = 0$
@@ -1304,14 +1310,15 @@ a bien sûr pour solution (unique) $\root 3\of{-d}$, qui n'est pas une
polynôme de degré $4$ sur un corps $k$, dont on cherche à exprimer les
racines, $\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4$.
-Lorsque $k$ est de caractéristique $\neq 2$, on peut commencer par
+Lorsque $k$ est de caractéristique $\neq 2$, on pourrait commencer par
utiliser la transformation de Tschirnhaus $U = X + \frac{a_1}{4}$ (qui
transforme $f$ en $X^4 + b_2 X^2 + b_3 X + b_4$ avec $b_2 =
-\frac{3}{8} a_1^2 + a_2$, $b_3 = \frac{1}{8} a_1^3 - \frac{1}{2} a_1
a_2 + a_3$ et $b_4 = -\frac{3}{256} a_1^4 + \frac{1}{16} a_1^2 a_2 -
-\frac{1}{4} a_1 a_3 + a_4$). L'intérêt de cette opération est de
-simplifier les calculs en annulant le terme sous-dominant, mais elle
-ne sera pas fondamentalement utile pour ce qui va suivre.
+\frac{1}{4} a_1 a_3 + a_4$). Cette opération permettrait de
+simplifier légèrement les calculs en annulant le terme sous-dominant,
+mais elle ne sera pas fondamentalement utile pour ce qui va suivre et
+nous ne l'appliquerons donc pas.
On a vu en \refext{Calculs}{calcul-galois-degre-4} que la quantité
$\pi = \xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4$, choisie pour stabiliser le