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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-04-07 18:12:08 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-04-07 18:12:08 (GMT)
commitb3bd3196365a348db12731c68e1fc66bdee4f601 (patch)
tree0d819a1ccd54e44ed01169aac744a7c70ef755e6 /chapitres/radicaux.tex
parentfc1ab3baf396cce97e519ec6e4c82d1137c25eb6 (diff)
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[radicaux] petits commentaires très mineurs suite à relecture rapide
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex16
1 files changed, 11 insertions, 5 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index de9fdfa..1249899 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -24,8 +24,8 @@
\subsection{Clôture par radicaux}
\begin{convention2}
-Si $k$ est un corps et $m$ un entier non multiple de la
-caractéristique de $k$, on dit que $k$ \emph{contient les racines
+Si $k$ est un corps et $m$ un entier \commentaire{$>0$ ?}
+non multiple de la caractéristique de $k$, on dit que $k$ \emph{contient les racines
$m$-ièmes de l'unité} lorsque le polynôme $X^m-1$, ou, de façon
équivalente, le polynôme cyclotomique $\Phi_m$, est scindé sur $k$.
Lorsque c'est le cas, on notera $\bimu_m(k)$, ou simplement $\bimu_m$,
@@ -65,7 +65,7 @@ Sinon, il faut peut-être la déplacer ailleurs.
\begin{definition2}\label{definition-corps-clos-par-radicaux}
Soit $k$ un corps. On dit que $k$ est \emph{clos par radicaux},
-resp. \emph{clos par radicaux $\leq N$-ièmes}, lorsque les deux
+resp. \commentaire{problème espacement} \emph{clos par radicaux $\leq N$-ièmes}, lorsque les deux
conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{itemize}
\item si $m$ (resp. $m \leq N$) est un entier non multiple de la
@@ -89,12 +89,18 @@ expressions en radicaux $\leq N$-ièmes) sur $k$, et notée $k\resol$
(resp. $k\resol[\leq N]$).
\end{definition2}
+\commentaire{« la » ⤳ « une » clôture par radicaux ? Parler
+d'unicité à isom. près ?}
+
Autrement dit, on dit qu'un corps est clos par radicaux lorsqu'il
contient les racines $m$-ièmes de tous ses éléments, pour les $m$ pour
lesquels il contient les racines $m$-ièmes de l'unité, ainsi que les
« racines $\wp$-ièmes » en caractéristique $p>0$, en notant comme
d'habitude $\wp(x) = x^p - x$.
+\commentaire{Si $N=2$, c'est la « clôture quadratique ». Cf.
+exo sur $𝐅₂$ et chapitre \XXX.}
+
Il existe différentes variations sur cette définition : la plupart des
auteurs demandent plutôt \emph{a priori} que $k$ contienne toutes les
racines de l'unité, ou au moins qu'on puisse extraire une racine
@@ -119,7 +125,7 @@ Soit $k$ un corps. On appelle \emph{tour d'extensions par radicaux}
(resp. tour d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes) sur $k$ une
suite $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r$ de corps
tels que, pour chaque $i$, le corps $k_{i+1}$ soit engendré sur $k_i$
-par un unique élément $\alpha_i$ vérifiant l'une des propriétés
+par un unique \commentaire{sens unicité ?} élément $\alpha_i$ vérifiant l'une des propriétés
suivantes :
\begin{itemize}
\item il existe $m_i \geq 1$ entier (resp. avec $m_i \leq N$), non
@@ -745,7 +751,7 @@ $\alpha_1 = -\root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et
de même, ou en faisant agir la conjugaison complexe, $(\alpha_5)^6 =
-112 - 273\zeta = -\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3} =
\frac{7}{2}(-71 + 39\sqrt{-3})$ d'où $\alpha_6 =
-\root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au final, on
+\root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au final \commentaire{ → finalement ?}, on
obtient l'expression de $\omega = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \cdots +
\alpha_5)$ sous la forme $\cos\frac{2\pi}{7} + \sqrt{-1} \,
\sin\frac{2\pi}{7}$ où :