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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-19 15:21:13 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-19 15:21:13 (GMT)
commitb69de5b220eb7d0cb6dacf9c98735ca03cc81f48 (patch)
treee075efca419d029968ea710d974f2696daa3c475 /chapitres/radicaux.tex
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[radicaux] Résolution des équations cubiques en caractéristique ≠3.
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex40
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 22368ce..9e8826c 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1091,6 +1091,46 @@ notation $\root\wp\of t$ désigne un antécédent de $t$ par $\wp$ et
$\big\lwave\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\big\rwave$ signifie « soit
$0$ soit $1$ » (ce qui permet d'obtenir l'autre antécédent).
+\subsection{Degré $3$}
+
+\subsubsection{} Si $k$ est de caractéristique différente de $3$ et $P
+= X^3 + bX^2 + cX + d$, on peut commencer par appliquer la
+transformation de Tschirnhaus $U = X+\frac{b}{3}$ qui transforme $P$
+en $Q = X^3 + pX + q$ où $p = -\frac{1}{3}b^2 + c$ et $q =
+\frac{2}{27} b^3 - \frac{1}{3} bc + d$. Ce polynôme $Q$ est donc
+scindé si et seulement si le polynôme $P$ initial l'est, et on peut
+donc supposer avoir affaire à un polynôme de cette forme.
+
+Si $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ désignent les racines de $Q$ dans une extension
+de $k$ contenant également une racine primitive cubique de
+l'unité $\zeta$, on peut introduire les quantités $u := \frac{1}{27}
+(\xi_1 + \zeta \xi_2 + \zeta^2 \xi_3)^3$ et $v := \frac{1}{27} (\xi_1
++ \zeta \xi_3 + \zeta^2 \xi_2)^3$ : elles sont, bien sûr, invariantes
+par renumérotation cyclique de $\xi_1,\xi_2,\xi_3$. En développant
+complètement $u + v = 2(\xi_1^3 + \xi_2^3 + \xi_3^3) - 3 (\xi_1^2
+\xi_2 + \xi_2^2 \xi_3 + \xi_3^2 \xi_1 + \xi_1^2 \xi_3 + \xi_2^2 \xi_1
++ \xi_3^2 \xi_2) + 12\xi_1 \xi_2 \xi_3$ et en remplaçant les fonctions
+symétriques élémentaires $\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 = 0$, $\xi_1 \xi_2 +
+\xi_2 \xi_3 + \xi_3 \xi_1 = p$ et $\xi_1\xi_2\xi_3 = -q$ par leurs
+valeurs, on trouve $u + v = -q$, et par un calcul semblable, $uv =
+-\frac{1}{27}p^3$. Les quantités $u$ et $v$ sont donc solutions de
+l'équation quadratique $Z^2 + qZ - \frac{1}{27}p^3 = 0$. En
+appliquant les résultats de la section précédente pour résoudre
+celle-ci, on obtient une équation en radicaux de $u,v$ (excepté en
+caractéristique $2$ si $q=0$, ce cas étant de toute façon
+inintéressant), par exemple
+$\big\lwave\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\big\rwave = -\frac{q}{2} \pm
+\sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}$ en caractéristique $\neq 2$.
+En notant $\root3\of{u}$ et $\root3\of{v}$ des racines cubiques
+quelconques de respectivement $u$ et $v$, qui sont donc égales à
+$\frac{1}{3} (\xi_1 + \zeta \xi_2 + \zeta^2 \xi_3)$ et $\frac{1}{3}
+(\xi_1 + \zeta \xi_3 + \zeta^2 \xi_2)$ respectivement, à une puissance
+de $\zeta$ près, ou ce qui revient au même à renumérotation cyclique
+de $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ près. Compte tenu du fait que $\xi_1 + \xi_2 +
+\xi_3 = 0$, les différentes valeurs de $\root3\of{u} + \root3\of{v}$
+(selon le choix de la détermination de chaque racine cubique)
+parcourent les $\zeta^j \xi_i$.
+
\ifx\danslelivre\undefined