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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-26 15:24:11 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-04-26 15:24:11 (GMT)
commitbe7f8c39cfe99120f4693795b0e0367bd58386ba (patch)
tree47a9ca6ea4953fc212bb823199513e9ba170531a /chapitres/radicaux.tex
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[radicaux] Tentative d'éclaircissement de rédaction, toujours pas satisfaisant.
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex40
1 files changed, 28 insertions, 12 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index a0767c7..845d342 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -413,12 +413,14 @@ caractéristique $0$ pour simplifier) :
\item Si $\gamma \in K$ avec $K \bo k$ galoisienne de groupe de Galois
cyclique d'ordre $m$ engendré par un élément $\sigma$ et que $k$
contient les racines $m$-ièmes de l'unité dont on note $\zeta$ une
- racine primitive, alors $\alpha_j := \sum_{i=0}^{m-1} \zeta^{ij}
- \sigma^i(\gamma)$ vérifie $\sigma(\alpha_j) = \zeta^{-j} \alpha_j$ donc
- $a_j := \alpha_j^m$ appartient à $k$. On peut calculer $a_j$ (pour
- $0\leq j \leq m-1$), puis exprimer $\alpha_j$ comme $\root m \of
- a_j$ (ou peut-être comme $\zeta^{t_j} \root m\of a_j$ avec un $t_j$
- à déterminer selon le choix de convention qui aurait été fait de la
+ racine primitive, alors la « somme de Lagrange » $\alpha_j :=
+ \sum_{i=0}^{m-1} \zeta^{ij} \sigma^i(\gamma)$ (introduite dans une
+ des démonstrations de \refext{KASW}{extension cyclique=Kummer})
+ vérifie $\sigma(\alpha_j) = \zeta^{-j} \alpha_j$ donc $a_j :=
+ \alpha_j^m$ appartient à $k$. On peut calculer $a_j$ (pour $0\leq j
+ \leq m-1$), puis exprimer $\alpha_j$ comme $\root m \of a_j$ (ou
+ peut-être comme $\zeta^{t_j} \root m\of a_j$ avec un $t_j$ à
+ déterminer selon le choix de convention qui aurait été fait de la
détermination de $\root m\of a_j$), et enfin retrouver $\gamma$ en
inversant la matrice de Vandermonde $\zeta^{ij}$, c'est-à-dire
$\gamma = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j$). Les calculs des
@@ -1101,12 +1103,26 @@ en $Q = X^3 + pX + q$ où $p = -\frac{1}{3}b^2 + c$ et $q =
scindé si et seulement si le polynôme $P$ initial l'est, et on peut
donc supposer avoir affaire à un polynôme de cette forme.
-Si $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ désignent les racines de $Q$ dans une extension
-de $k$ contenant également une racine primitive cubique de
-l'unité $\zeta$, on peut introduire les quantités $u := \frac{1}{27}
-(\xi_0 + \zeta \xi_1 + \zeta^2 \xi_2)^3$ et $v := \frac{1}{27} (\xi_0
-+ \zeta \xi_2 + \zeta^2 \xi_1)^3$ : elles sont, bien sûr, invariantes
-par renumérotation cyclique de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$. En développant
+Soient $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ les racines de $Q = X^3 + pX + q$ dans une
+extension de $k$ contenant également une racine primitive cubique de
+l'unité $\zeta$. Dans le groupe $\mathfrak{S}_3$ des permutations de
+$\xi_0,\xi_1,\xi_2$ (qu'on peut imaginer comme contenant le groupe de
+Galois de $Q$ sur $k(\zeta)$), on va utiliser la chaîne de
+sous-groupes $1 \leq C_3 \leq \mathfrak{S}_3$ où $C_3$ est le
+sous-groupe cyclique d'ordre $3$ de $\mathfrak{S}_3$ (distingué dans
+celui-ci) engendré par la permutation $\sigma$ de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$
+qui envoie chacun sur le suivant cycliquement. La somme de Lagrange
+$\xi_0 + \zeta \xi_1 + \zeta^2 \xi_2$ est multipliée par $\zeta^{-1}$
+sous l'effet de la permutation $\sigma$ : le cube de cette quantité
+(que pour des raisons essentiellement historiques on va noter $27 u$)
+est donc invariant par $C_3$. Une quantité conjuguée s'obtient en
+échangeant, disons, $\xi_1$ et $\xi_2$ (permutation représentant
+l'autre classe de $C_3$ dans $\mathfrak{S}_3$).
+
+Bref, on introduit les quantités $u := \frac{1}{27} (\xi_0 + \zeta
+\xi_1 + \zeta^2 \xi_2)^3$ et $v := \frac{1}{27} (\xi_0 + \zeta \xi_2 +
+\zeta^2 \xi_1)^3$ : elles sont, bien sûr, invariantes par
+renumérotation cyclique de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$. En développant
complètement $u + v = 2(\xi_0^3 + \xi_1^3 + \xi_2^3) - 3 (\xi_0^2
\xi_1 + \xi_1^2 \xi_2 + \xi_2^2 \xi_0 + \xi_0^2 \xi_2 + \xi_1^2 \xi_0
+ \xi_2^2 \xi_1) + 12\xi_0 \xi_1 \xi_2$ et en remplaçant les fonctions