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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 15:46:03 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 15:46:03 +0200
commitca23a926b153d1baf0e52361af638f75fb3bc872 (patch)
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[radicaux] Suite de la réécriture de la stratégie générale de calcul.
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex113
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index d136931..8b855aa 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -412,7 +412,7 @@ caractéristique $0$ pour simplifier) :
cyclique d'ordre $m$ engendré par un élément $\sigma$ et que $k$
contient les racines $m$-ièmes de l'unité dont on note $\zeta$ une
racine primitive, alors $\alpha_j := \sum_{i=0}^{m-1} \zeta^{ij}
- \sigma^i(\gamma)$ vérifie $\sigma(\alpha_j) = \zeta^j \alpha_j$ donc
+ \sigma^i(\gamma)$ vérifie $\sigma(\alpha_j) = \zeta^{-j} \alpha_j$ donc
$a_j := \alpha_j^m$ appartient à $k$. On peut calculer $a_j$ (pour
$0\leq j \leq m-1$), puis exprimer $\alpha_j$ comme $\root m \of
a_j$ (ou peut-être comme $\zeta^{t_j} \root m\of a_j$ avec un $t_j$
@@ -485,7 +485,8 @@ de l'unité pour fixer la détermination). En fait, si $n_1$ et $n_2$
sont premiers entre eux, le théorème chinois permet d'obtenir une
expression plus agréable, puisqu'il garantit que toute racine
primitive $n$-ième de l'unité est produit d'une racine primitive
-$n_1$-ième et d'une racine primitive $n_2$-ième.
+$n_1$-ième et d'une racine primitive $n_2$-ième (par exemple,
+$e^{2i\pi/15} = e^{-2i\pi/3} \cdot e^{4i\pi/5}$).
\subsubsection{} Supposons donc $n$ premier impair. On a alors
$\varphi(n) = n-1$, et le groupe $(\ZZ/n\ZZ)^\times$ est cyclique : on
@@ -497,41 +498,79 @@ exprimer, et $\zeta$ une racine primitive $(n-1)$-ième de l'unité,
dont on suppose déjà connue une expression en radicaux.
Selon la stratégie générale exposée
-en \ref{remarque-algorithmique-expressions-radicaux}, on va définir
-$\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$.
-
-Pour calculer l'expression en radicaux d'une racine $n$-ième de
-l'unité $\omega$, on peut décrire l'algorithme précédent de la manière
-suivante, en supposant déjà connue une racine $(n-1)$-ième de
-l'unité $\zeta$ : poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij}
-\omega^{g^i}$ (on a alors $\omega = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{n-2}
-\alpha_j$) et calculer $a_j := (\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en
-fonction de $\zeta$ uniquement. Pour justifier ce fait, on peut
-invoquer le fait que $\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur
-$\QQ(\zeta)$ de groupe de Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$
-(\XXX --- référence ?), mais en fait on peut aussi simplement affirmer
-qu'on fait les calculs dans $\QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$ (pour lequel il
-est évident que $\omega \mapsto \omega^g$ constitue un automorphisme
-en notant $\omega$ la classe de $X$), ce qui est le cas en pratique.
-En fait, on n'est pas obligé de monter jusqu'à $(\alpha_j)^{n-1}$ pour
-chaque $j$ : si $d$ désigne le pgcd de $n-1$ et $j$, alors déjà
-$(\alpha_j)^{(n-1)/d}$ s'exprime en fonction de $\zeta$, et même de
-$\zeta^d$, uniquement.
-
-Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse souvent à
-l'expression $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$
-(c'est-à-dire $\cos\frac{2\pi}{n}$ pour le bon choix de $\omega$,
-cf. ci-dessous). Remarquons que $\omega^{-1} = \omega^{g^{(n-1)/2}}$,
-de sorte que $\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{-g^i}$ vaut $(-1)^j
-\alpha_j$ (toujours avec $\alpha_j = \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij}
-\omega^{g^i}$ défini plus haut). La somme $\frac{1}{2}
-\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} (\omega^j + \omega^{-j})$ qui sert, dans
-l'algorithme considéré ici, à calculer $\gamma$, vaut donc $\alpha_j$
-ou $0$ selon que $j$ est pair ou impair ; ou pour dire les choses
-différemment, le calcul de $\gamma$ passe par le calcul des $\alpha_j$
-avec $j$ pair uniquement (c'est-à-dire qu'on peut se contenter des
-racines $\frac{n-1}{2}$-ièmes de l'unité) : on a $\gamma =
-\frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{(n-3)/2} \alpha_{2j}$.
+en \ref{remarque-algorithmique-expressions-radicaux}, on va poser
+$\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ : on a alors
+$\omega = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$, et il s'agit de
+voir que $\alpha_j$ est racine $m$-ième (pour un certain $m$, par
+exemple $n-1$) d'un élément de $\QQ(\zeta)$ à calculer explicitement.
+
+Pour justifier ce fait, il est naturel d'invoquer le fait que
+$\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de
+Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX --- référence ?), avec
+pour générateur $\sigma \colon \omega\mapsto \omega^g$, de sorte que
+$\sigma(\alpha_j) = \zeta^{-j} \alpha_j$, et $\sigma(a_j) = a_j$ si
+$a_j = (\alpha_j)^{n-1}$. En vérité, on n'a pas vraiment besoin
+d'utiliser ce résultat : en effet, on peut travailler dans l'anneau $R
+:= \QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$, où on note $\mathring\omega$ la classe
+de $X$ : il est alors évident que $\sigma \colon \mathring\omega \to
+\mathring\omega^g$ constitue un automorphisme de $R$ (vu que
+$\Phi_n(\mathring\omega^g) = 0$), et une fois calculée une égalité
+dans $R$ (entre une puissance $m$-ième de $\alpha_j$ et un élément
+de $\QQ(\zeta)$), on peut l'appliquer à $\omega$ puisque
+$\Phi_n(\omega) = 0$. Cette observation indique également la manière
+dont on peut mener les calculs : travailler dans $\QQ(\zeta)[X]$
+modulo $\Phi_n$ (ou encore dans $\QQ[X]$ modulo $\Phi_{n(n-1)} =
+\Phi_n \Phi_{n-1}$).
+
+En fait, il n'est pas nécessaire de monter jusqu'à la puissance
+$(n-1)$-ième de $\alpha_j$ : si $d$ désigne le pgcd de $n-1$ et $j$,
+alors déjà $(\alpha_j)^{(n-1)/d}$ est invariant par $\sigma$ dont
+appartient à $\QQ(\zeta)$, et en fait, comme il s'agit d'une somme ne
+faisant intervenir que $\zeta^d$ (et $\omega$) et que toutes les
+remarques du paragraphe précédent s'appliquent aussi bien à
+$\QQ(\zeta^d)$, on a même $(\alpha_j)^{(n-1)/d} \in \QQ(\zeta^d)$.
+
+(Par exemple, on a $\alpha_0 \in \QQ$, et de fait, $\alpha_0 =
+\sum_{i=0}^{n-2} \omega^{g^i} = \sum_{t \in (\ZZ/n\ZZ)^\times}
+\omega^t$ est la somme des racines primitives $n$-ièmes de l'unité,
+donc l'opposé du coefficient sous-dominant de $\Phi_n = X^{n-1} +
+X^{n-2} + \cdots + 1$, c'est-à-dire $-1$. Quant à $\alpha_{(n-1)/2} =
+\sum_{t \in (\ZZ/n\ZZ)^\times} \Legendre{t}{n} \omega^t$, son carré et
+rationnel, et on peut montrer, toujours sous l'hypothèse que $n$ soit
+premier impair, que $\alpha_{(n-1)/2}$ vaut $\sqrt{n}$ ou $\sqrt{-n}$
+selon que $n\equiv 1\pmod{4}$ ou $n\equiv 3\pmod{4}$. \XXX)
+
+Pour une même valeur de $d := \pgcd(j,n-1)$, les différents $\alpha_j$
+sont reliés entre eux par l'action du groupe de Galois de
+$\QQ(\zeta,\omega)$ au-dessus de $\QQ(\omega)$ cette fois, ce qui
+signifie qu'une fois calculé l'un d'entre eux on peut en déduire tous
+les autres (c'est sans doute plus utile au niveau du
+$(\alpha_j)^{(n-1)/d}$, qui appartient à $\QQ(\zeta)$, qu'au niveau de
+$\alpha_j$ puisque celui-ci fait intervenir une racine
+$\frac{n-1}{d}$-ième dont la détermination risque de ne pas bien se
+comporter par rapport au groupe de Galois qu'on vient d'évoquer).
+Ceci n'est pas forcément d'une grande utilité dans les calculs (qu'il
+est aussi simple de refaire $\varphi(\frac{n-1}{d})$ fois), mais cela
+explique au moins la raison pour laquelle les expressions dans les
+radicaux de chacune des sommes qu'on va calculer ci-dessous sont très
+semblables les unes aux autres.
+
+\subsubsection{} Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse
+souvent à l'expression $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$,
+c'est-à-dire $\cos\frac{2\pi}{n}$ pour le choix usuel des
+déterminations complexes. Remarquons que $\omega^{-1} =
+\omega^{g^{(n-1)/2}}$, de sorte que $\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij}
+\omega^{-g^i}$ vaut $(-1)^j \alpha_j$ (toujours avec $\alpha_j =
+\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ défini plus haut). La somme
+$\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} (\omega^j + \omega^{-j})$ qui
+sert, dans l'algorithme considéré ici, à calculer $\gamma$, vaut donc
+$\alpha_j$ ou $0$ selon que $j$ est pair ou impair ; ou pour dire les
+choses différemment, le calcul de $\gamma$ passe par le calcul des
+$\alpha_j$ avec $j$ pair uniquement (et notamment, qu'on peut se
+contenter des racines $\frac{n-1}{2}$-ièmes de l'unité, et que les
+racines qui interviendront seront au plus des racines
+$\frac{n-1}{2}$-ièmes) : on a précisément $\gamma = \frac{1}{n-1}
+\sum_{j=0}^{(n-3)/2} \alpha_{2j}$.
Une fois calculé $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ (en
radicaux), on peut éventuellement en déduire une expression (toujours