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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-04-05 17:17:33 +0200 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-04-05 17:17:33 +0200 |
commit | d0f8d4a92d6eab284eb333d4e89f525c13295d12 (patch) | |
tree | 1f8f9e0ac4f59ca84621df565530feb4c2f1fa1a /chapitres/radicaux.tex | |
parent | c27c368d3439f833f112c9da5950d995996bc550 (diff) | |
download | galois-d0f8d4a92d6eab284eb333d4e89f525c13295d12.tar.gz galois-d0f8d4a92d6eab284eb333d4e89f525c13295d12.tar.bz2 galois-d0f8d4a92d6eab284eb333d4e89f525c13295d12.zip |
[radicaux] Base des racines 9-ièmes de l'unité.
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 29 |
1 files changed, 28 insertions, 1 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index ce071c3..347ee24 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -860,6 +860,30 @@ vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement : \end{array} \] +\subsubsection{$n=9$}\label{racine-9e-de-1} Si $\omega = e^{2i\pi/9}$, +on peut bien sûr simplement écrire $\omega = \root3\of\zeta$ où $\zeta += e^{2i\pi/3}$, c'est-à-dire, puisque $\zeta = -\frac{1}{2} + +\frac{1}{2}\sqrt{-3}$, qu'on a $\omega = \root3\of{-\frac{1}{2} + + \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$. Ceci conduit aux écritures +\[ +\cos\frac{2\pi}{9} = \frac{1}{2} \root3\of{-\frac{1}{2} + + \frac{1}{2}\sqrt{-3}} + \frac{1}{2} \root3\of{-\frac{1}{2} - + \frac{1}{2}\sqrt{-3}} +\] +\[ +\sqrt{-1}\sin\frac{2\pi}{9} = \frac{1}{2} \root3\of{-\frac{1}{2} + + \frac{1}{2}\sqrt{-3}} - \frac{1}{2} \root3\of{-\frac{1}{2} - + \frac{1}{2}\sqrt{-3}} +\] + +Remarquons pour plus tard qu'une base de $\QQ(\omega)$ sur $\QQ$ est +donnée par $1,1+2\zeta,\omega,\omega^{-1},-\omega^5,-\omega^{-5}$, +c'est-à-dire par $1$, $\sqrt{-3}$, $\root3\of{-\frac{1}{2} + + \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$, $\root3\of{-\frac{1}{2} - + \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$, $\root3\of{\frac{1}{2} + + \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$, $\root3\of{\frac{1}{2} - + \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$. + \subsubsection{$n=13$}\label{racine-13e-de-1} Cette fois nous nous contenterons d'une expression du cosinus : pour ça, on n'aura donc pas besoin des racines $12$-ièmes de l'unité, mais seulement des racines @@ -999,7 +1023,10 @@ Le calcul du sinus revient exactement à celui de $\beta_4 = \end{array} \] -\subsubsection{$n=19$}\label{racine-19e-de-1} \XXX +\subsubsection{$n=19$}\label{racine-19e-de-1} Nous ne donnons pas ici +les détails du calcul, qui sont extrêmement semblables au cas $n=13$. +Pour base du corps engendré par les racines $9$-ièmes (ou $18$-ièmes) +de l'unité dans $\QQ$, on choisit : \XXX \begin{center} \begin{tikzpicture} |