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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 17:59:10 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 17:59:10 +0200
commitd4a6d26081fcf774faec41b52476faae7629cf5e (patch)
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[radicaux] Remaniement n=11.
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex101
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index 44ed8a0..7777b6d 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -706,7 +706,7 @@ $6$-ièmes : comme le paragraphe précédent l'explique, celles-ci seront
notées $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$ avec $\zeta$ une racine
primitive cubique de l'unité, et on choisira la $\QQ$-base
$1,\sqrt{-3}$ de $\QQ(\zeta) = \QQ(-\zeta^2)$ pour exprimer les
-résultats car elle est plus commode que $1,\zeta$.
+résultats (on a vu que $\zeta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}$).
Si $\omega$ désigne une racine primitive $7$-ième de l'unité, alors vu
que $3$ est primitif modulo $7$ on considère les quantités $\alpha_j
@@ -772,67 +772,72 @@ Comme pour le cas $n=5$ on pouvait aussi calculer $\sin\frac{2\pi}{7}
= \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{7}}$, mais l'expression ainsi obtenue ne
semble pas plus agréable que celle reproduite ci-dessus.
-\subsubsection{$n=11$}\label{racine-11e-de-1} Maintenant $\omega$ désigne une racine
-primitive $11$-ième de l'unité. On considère les quantités $\alpha_j
-:= \sum_{i=0}^9 (-\zeta^3)^{ij} \omega^{2^i}$ où $\zeta$ est une
-racine primitive $5$-ième de l'unité (et donc $-\zeta^3$ une racine
-primitive $10$-ième de l'unité, et précisément $e^{i \pi/5}$ si $\zeta
-= e^{2 i \pi/5}$), qu'on a vu ci-dessus qu'on pouvait écrire
-$\frac{1}{4}\big(-1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}}\big)$. On a bien
-sûr $\alpha_0 = -1$.
+\subsubsection{$n=11$}\label{racine-11e-de-1} De nouveau, on doit
+commencer par choisir une base raisonnable des racines $(n-1)$-ièmes,
+c'est-à-dire $10$-ièmes, de l'unité : on choisit $1, \sqrt{5},
+\penalty-100 \sqrt{-10-2\sqrt{5}}, \penalty-100 \sqrt{-10+2\sqrt{5}}$,
+on rappelle (\ref{racine-5e-de-1}) que $\zeta := e^{2i\pi/5}$ est
+donnée par $-\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{5} + \frac{1}{4}
+\sqrt{-10-2\sqrt{5}}$ (et la racine primitive $10$-ième de l'unité
+$-\zeta^3 = e^{i\pi/5}$ vaut $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{5} +
+\frac{1}{4} \sqrt{-10+2\sqrt{5}}$).
+
+Maintenant $\omega$ désigne une racine primitive $11$-ième de l'unité.
+On considère les quantités $\alpha_j := \sum_{i=0}^9 (-\zeta^3)^{ij}
+\omega^{2^i}$ où $\zeta = e^{2i\pi/5}$ et $-\zeta^3 = e^{i\pi/5}$, et
+on a utilisé le fait que $2$ est primitif modulo $11$. On a bien sûr
+$\alpha_0 = -1$.
Pour calculer $\cos\frac{2\pi}{11}$, on calculera d'abord
-$(\alpha_2)^5 = -286 - 220 \zeta + 165 \zeta^2 - 110 \zeta^3$ : on
-voudra surtout réexprimer cette quantité sur la $\QQ$-base de
-$\QQ(\zeta)$ donnée par $1, \sqrt{5}, \penalty-100
-\sqrt{-10+2\sqrt{5}}, \penalty-100 \sqrt{-10-2\sqrt{5}}$ (soit $1,
--1-2\zeta^2-2\zeta^3, \penalty-100 2\zeta^2-2\zeta^3, \penalty-100 2 +
-4\zeta + 2\zeta^2 + 2\zeta^3$) : on trouve $(\alpha_2)^5 =
-\frac{11}{4}(-89 - 25\sqrt{5} + \penalty-100 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} -
-\penalty-100 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}})$. En ajoutant la bonne puissance
-de $\zeta$ pour trouver la valuation principale choisie, on peut alors
-écrire : $\alpha_2 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0
+$(\alpha_2)^5 = -286 - 220 \zeta + 165 \zeta^2 - 110 \zeta^3 =
+\frac{11}{4}(-89 - 25\sqrt{5} - \penalty-100 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} +
+\penalty-100 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}})$ : en cherchant la bonne
+puissance de $\zeta$ à multiplier par la valuation principale, on peut
+écrire $\alpha_2 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0
\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}}
-\penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} -
- 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$. Des calculs analogues donnent : $\alpha_4
-= \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big)
+\penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} +
+ 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}$. Des calculs analogues, ou l'application
+soigneuse du groupe de Galois de $\QQ(\zeta)\bo\QQ$ (cyclique
+d'ordre $4$), donnent : $\alpha_4 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} +
+\penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root
+5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} -
+ 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}$, $\alpha_6 =
+\frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} - \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big)
\penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 +
- 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$,
-$\alpha_6 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} - \penalty0
+ 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}$, et
+$\alpha_8 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} - \penalty0
\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}}
-\penalty-100 \root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} +
- 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$, et $\alpha_8 = \frac{1}{4} \big(
--1+\sqrt{5} - \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root
-5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} -
- 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$. Finalement, pour
-$\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{11} =
-\frac{1}{10}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4 + \alpha_6 + \alpha_8)$,
+\penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} -
+ 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}$. Finalement, pour $\gamma :=
+\frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{11} =
+\frac{1}{10}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_8 + \alpha_4 + \alpha_6)$,
on trouve :
\[
\begin{array}{rl}
\rlap{$\displaystyle\cos\frac{2\pi}{11} \;\;\; = \;\;\; -\frac{1}{10} \;\;\;
+ \;\;\; \frac{1}{40} \, \root5\of{\frac{11}{4}} \;\; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\
&\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
-\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
-\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} - 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
-\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
-\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}
+\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}
\rlap{\;\;\Bigg)}
\end{array}
\]
-Le calcul de $\omega = e^{2i\pi/11}$ peut se faire de façon analogue :
-on calcule par exemple $(\alpha_1)^{10} = \frac{11}{4}(51\,061 +
-2\,725\sqrt{5} + \penalty-100 5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} -
-\penalty-100 6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}})$, ce qui permet d'écrire
-$\alpha_1 = \frac{1}{4} \big( 1-\sqrt{5} + \penalty0
-\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root {10}\of{\frac{11}{4}}
-\penalty-100 \root{10}\of{\Big(} 51\,061 + 2\,725\sqrt{5} +
-\penalty-100 5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - \penalty-100
-6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \overline{\Big)}$. Les cas de
+Le calcul du reste de $\omega = e^{2i\pi/11}$ peut se faire de façon
+analogue : on calcule par exemple $(\alpha_1)^{10} =
+\frac{11}{4}(51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - \penalty-100
+6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + \penalty-100
+5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}})$, ce qui permet d'écrire $\alpha_1 =
+\frac{1}{4} \big( 1-\sqrt{5} + \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big)
+\penalty-100 \root {10}\of{\frac{11}{4}} \penalty-100
+\root{10}\of{\Big(} 51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - \penalty-100
+6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + \penalty-100
+5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} \overline{\Big)}$. Les cas de
$\alpha_3,\alpha_7,\alpha_9$ sont analogues. Quant à $\alpha_5$, il
vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement :
\[\footnotesize
@@ -840,13 +845,13 @@ vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement :
\rlap{$\displaystyle\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{11} \;\;\; = \;\;\; \frac{\sqrt{-11}}{10} \;\;\;
+\;\; \frac{1}{40}\, \root{10}\of{\frac{11}{4}} \; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\
&\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \hphantom{-}\Big( 1-\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
-\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} + 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
-\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} + 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \hphantom{-}\Big( 1+\sqrt{5} - \sqrt{-10+2\sqrt{5}} \Big)
-\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} - 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} - 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \Big( -1-\sqrt{5} - \sqrt{-10+2\sqrt{5}} \Big)
-\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} + 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}
+\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} + 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}
\rlap{\;\;\Bigg)}\\
\end{array}
\]