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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-03-29 17:59:10 +0200 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-03-29 17:59:10 +0200 |
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[radicaux] Remaniement n=11.
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 44ed8a0..7777b6d 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -706,7 +706,7 @@ $6$-ièmes : comme le paragraphe précédent l'explique, celles-ci seront notées $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$ avec $\zeta$ une racine primitive cubique de l'unité, et on choisira la $\QQ$-base $1,\sqrt{-3}$ de $\QQ(\zeta) = \QQ(-\zeta^2)$ pour exprimer les -résultats car elle est plus commode que $1,\zeta$. +résultats (on a vu que $\zeta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}$). Si $\omega$ désigne une racine primitive $7$-ième de l'unité, alors vu que $3$ est primitif modulo $7$ on considère les quantités $\alpha_j @@ -772,67 +772,72 @@ Comme pour le cas $n=5$ on pouvait aussi calculer $\sin\frac{2\pi}{7} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{7}}$, mais l'expression ainsi obtenue ne semble pas plus agréable que celle reproduite ci-dessus. -\subsubsection{$n=11$}\label{racine-11e-de-1} Maintenant $\omega$ désigne une racine -primitive $11$-ième de l'unité. On considère les quantités $\alpha_j -:= \sum_{i=0}^9 (-\zeta^3)^{ij} \omega^{2^i}$ où $\zeta$ est une -racine primitive $5$-ième de l'unité (et donc $-\zeta^3$ une racine -primitive $10$-ième de l'unité, et précisément $e^{i \pi/5}$ si $\zeta -= e^{2 i \pi/5}$), qu'on a vu ci-dessus qu'on pouvait écrire -$\frac{1}{4}\big(-1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}}\big)$. On a bien -sûr $\alpha_0 = -1$. +\subsubsection{$n=11$}\label{racine-11e-de-1} De nouveau, on doit +commencer par choisir une base raisonnable des racines $(n-1)$-ièmes, +c'est-à-dire $10$-ièmes, de l'unité : on choisit $1, \sqrt{5}, +\penalty-100 \sqrt{-10-2\sqrt{5}}, \penalty-100 \sqrt{-10+2\sqrt{5}}$, +on rappelle (\ref{racine-5e-de-1}) que $\zeta := e^{2i\pi/5}$ est +donnée par $-\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{5} + \frac{1}{4} +\sqrt{-10-2\sqrt{5}}$ (et la racine primitive $10$-ième de l'unité +$-\zeta^3 = e^{i\pi/5}$ vaut $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{5} + +\frac{1}{4} \sqrt{-10+2\sqrt{5}}$). + +Maintenant $\omega$ désigne une racine primitive $11$-ième de l'unité. +On considère les quantités $\alpha_j := \sum_{i=0}^9 (-\zeta^3)^{ij} +\omega^{2^i}$ où $\zeta = e^{2i\pi/5}$ et $-\zeta^3 = e^{i\pi/5}$, et +on a utilisé le fait que $2$ est primitif modulo $11$. On a bien sûr +$\alpha_0 = -1$. Pour calculer $\cos\frac{2\pi}{11}$, on calculera d'abord -$(\alpha_2)^5 = -286 - 220 \zeta + 165 \zeta^2 - 110 \zeta^3$ : on -voudra surtout réexprimer cette quantité sur la $\QQ$-base de -$\QQ(\zeta)$ donnée par $1, \sqrt{5}, \penalty-100 -\sqrt{-10+2\sqrt{5}}, \penalty-100 \sqrt{-10-2\sqrt{5}}$ (soit $1, --1-2\zeta^2-2\zeta^3, \penalty-100 2\zeta^2-2\zeta^3, \penalty-100 2 + -4\zeta + 2\zeta^2 + 2\zeta^3$) : on trouve $(\alpha_2)^5 = -\frac{11}{4}(-89 - 25\sqrt{5} + \penalty-100 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - -\penalty-100 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}})$. En ajoutant la bonne puissance -de $\zeta$ pour trouver la valuation principale choisie, on peut alors -écrire : $\alpha_2 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0 +$(\alpha_2)^5 = -286 - 220 \zeta + 165 \zeta^2 - 110 \zeta^3 = +\frac{11}{4}(-89 - 25\sqrt{5} - \penalty-100 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + +\penalty-100 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}})$ : en cherchant la bonne +puissance de $\zeta$ à multiplier par la valuation principale, on peut +écrire $\alpha_2 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}} -\penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$. Des calculs analogues donnent : $\alpha_4 -= \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) +\penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}$. Des calculs analogues, ou l'application +soigneuse du groupe de Galois de $\QQ(\zeta)\bo\QQ$ (cyclique +d'ordre $4$), donnent : $\alpha_4 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + +\penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root +5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} - + 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}$, $\alpha_6 = +\frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} - \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 + - 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$, -$\alpha_6 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} - \penalty0 + 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}$, et +$\alpha_8 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} - \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}} -\penalty-100 \root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$, et $\alpha_8 = \frac{1}{4} \big( --1+\sqrt{5} - \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root -5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} - - 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$. Finalement, pour -$\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{11} = -\frac{1}{10}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4 + \alpha_6 + \alpha_8)$, +\penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}$. Finalement, pour $\gamma := +\frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{11} = +\frac{1}{10}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_8 + \alpha_4 + \alpha_6)$, on trouve : \[ \begin{array}{rl} \rlap{$\displaystyle\cos\frac{2\pi}{11} \;\;\; = \;\;\; -\frac{1}{10} \;\;\; + \;\;\; \frac{1}{40} \, \root5\of{\frac{11}{4}} \;\; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\ &\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big) -\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\ +\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\ + &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big) -\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} - 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\ +\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\ + &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big) -\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\ +\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\ + &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big) -\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}} +\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}}} \rlap{\;\;\Bigg)} \end{array} \] -Le calcul de $\omega = e^{2i\pi/11}$ peut se faire de façon analogue : -on calcule par exemple $(\alpha_1)^{10} = \frac{11}{4}(51\,061 + -2\,725\sqrt{5} + \penalty-100 5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - -\penalty-100 6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}})$, ce qui permet d'écrire -$\alpha_1 = \frac{1}{4} \big( 1-\sqrt{5} + \penalty0 -\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root {10}\of{\frac{11}{4}} -\penalty-100 \root{10}\of{\Big(} 51\,061 + 2\,725\sqrt{5} + -\penalty-100 5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - \penalty-100 -6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \overline{\Big)}$. Les cas de +Le calcul du reste de $\omega = e^{2i\pi/11}$ peut se faire de façon +analogue : on calcule par exemple $(\alpha_1)^{10} = +\frac{11}{4}(51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - \penalty-100 +6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + \penalty-100 +5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}})$, ce qui permet d'écrire $\alpha_1 = +\frac{1}{4} \big( 1-\sqrt{5} + \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) +\penalty-100 \root {10}\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 +\root{10}\of{\Big(} 51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - \penalty-100 +6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + \penalty-100 +5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} \overline{\Big)}$. Les cas de $\alpha_3,\alpha_7,\alpha_9$ sont analogues. Quant à $\alpha_5$, il vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement : \[\footnotesize @@ -840,13 +845,13 @@ vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement : \rlap{$\displaystyle\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{11} \;\;\; = \;\;\; \frac{\sqrt{-11}}{10} \;\;\; +\;\; \frac{1}{40}\, \root{10}\of{\frac{11}{4}} \; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\ &\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \hphantom{-}\Big( 1-\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big) -\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} + 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\ +\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\ + &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big) -\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\ +\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} + 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\ + &\displaystyle \hphantom{-}\Big( 1+\sqrt{5} - \sqrt{-10+2\sqrt{5}} \Big) -\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} - 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\ +\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} - 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\ + &\displaystyle \Big( -1-\sqrt{5} - \sqrt{-10+2\sqrt{5}} \Big) -\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} + 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}}} +\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} + 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}}} \rlap{\;\;\Bigg)}\\ \end{array} \] |