[Radicaux] Un lemme sur les sous-groupes résolubles transitifs de 𝔖_p.

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@@ -1707,6 +1707,87 @@ coefficients sont calculables
 comme $c_i = -\Tr(x y^{p-1-i})$ sauf $c_0 = -\Tr(x y^{p-1}) + \Tr(x)$.
 On a donc écrit $x$ en radicaux, ce qui complète la récurrence.
 
+\section{Polynômes résolubles de degré $p$}
+
+\subsection{Sous-groupes résolubles transitifs de $\mathfrak{S}_p$}
+
+\subsubsection{} Soit $p$ un nombre premier.  On identifie $\mathfrak{S}_p$ à
+l'ensemble des permutations de $\FF_p$ et à l'intérieur de ce groupe
+on note $C_p$ (isomorphe au groupe additif $\FF_p$) le groupe cyclique
+des translations $t \mapsto t+b$ pour $b \in \FF_p$ et $\AGL_1(\FF_p)$
+(isomorphe au produit semidirect $\FF_p \rtimes \FF_p^\times$) le
+groupe des transformations affines $t \mapsto at+b$ pour $b \in \FF_p$
+et $a \in \FF_p^\times$.  Rappelons le fait bien connu (ou facile à
+vérifier) que $\AGL_1(\FF_p)$ est le normalisateur de $C_p$ dans
+$\mathfrak{S}_p$ (c'est-à-dire le groupe des permutations $\gamma \in
+\mathfrak{S}_p$ telles que $\gamma \tau \gamma^{-1}$ s'écrive de la
+forme $\tau^u$ pour un certain $u$).
+
+\begin{lemme2}
+Le groupe $C_p$ est l'unique sous-groupe d'ordre $p$ dans
+$\AGL_1(\FF_p)$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Si $t \mapsto at + b$ est d'ordre $p$ alors $a^p = 1$ dans
+$\FF_p^\times$ donc $a=1$, et l'élément en question est bien
+dans $C_p$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $G \leq \mathfrak{S}_p$ un sous-groupe transitif (c'est-à-dire
+que son action sur $\FF_p$ est transitive).  Alors il existe $\sigma
+\in \mathfrak{S}_p$ tel que $C_p \leq \sigma G \sigma^{-1}$.  Si de
+plus on suppose que $G$ et résoluble, alors pour tout tel $\sigma$ on
+aussi $\sigma G \sigma^{-1} \leq \AGL_1(\FF_p)$
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Puisque $G$ est transitif, le stabilisateur $H$ d'un point quelconque
+vérifie $\#G/\#H = p$ et en particulier $p$ divise l'ordre de $G$ :
+par un théorème de Cauchy, il existe donc un élément de $G$
+d'ordre $p$.  Vu dans $\mathfrak{S}_p$, cet élément est un $p$-cycle,
+et quitte à conjuguer par une permutation $\sigma$ appropriée, on peut
+réétiqueter ce cycle de façon qu'il soit $(0\;1\;2\;\cdots\;(p-1))$
+c'est-à-dire $\tau \mapsto t \mapsto t+1$.  On a alors $C_p \leq
+\sigma G \sigma^{-1}$ comme annoncé.
+
+Supposons maintenant (quitte à conjuguer) qu'on ait $C_p \leq G$ avec
+$G$ résoluble, et on souhaite montrer $G \leq \AGL_1(\FF_p)$.
+
+Il existe une chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$
+de sous-groupes de $G$ telle que pour chaque $i$ le sous-groupe
+$G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que le quotient $G_i/G_{i+1}$
+soit cyclique d'ordre premier.
+
+Considérons d'abord le plus grand $i$ tel que $C_p \leq G_i$.  Le
+groupe $G_i/G_{i+1}$ est nécessairement d'ordre $p$ : s'il était d'un
+ordre $\ell \neq p$, alors en notant $\tau$ le générateur $t \mapsto
+t+1$ de $C_p$, on aurait $\tau^\ell$ trivial modulo $G_{i+1}$
+c'est-à-dire $\tau^\ell \in G_{i+1}$ et comme $\tau^\ell$
+engendre $C_p$ on aurait encore $C_p \leq G_{i+1}$, ce qui contredit
+la maximalité de $i$.  Montrons maintenant que $i=r-1$ c'est-à-dire
+que $G_{i+1}$ est trivial : si ce n'était pas le cas, il existerait un
+$\gamma \in G_{i+1}$ différent de l'identité, disons $\gamma(u) = v$
+avec $u\neq v$ dans $\FF_p$, alors $\varrho := \tau^{u-v}\gamma$ fixe
+le point $u$ donc est dans un conjugué de $\mathfrak{S}_{p-1}$ donc
+est d'un ordre non multiple de $p$, c'est-à-dire que $\varrho$ peut
+s'écrire comme une puissance de $\varrho^p$ ; mais $\varrho^p \in
+G_{i+1}$ puisque $G_i/G_{i+1}$ est cyclique d'ordre $p$, donc $\varrho
+\in G_{i+1}$ donc $\tau^{u-v} \in G_{i+1}$ donc $C_p \leq G_{i+1}$, ce
+qui de nouveau contredit la maximalité de $i$.
+
+On sait donc que $G_{r-1} = C_p$, et en particulier $G_{r-1} \leq
+\AGL_1(\FF_p)$.
+
+Montrons maintenant par récurrence descendante sur $i$ que $G_i \leq
+\AGL_1(\FF_p)$ pour tout $i \leq r-1$.  Si on a $G_{i+1} \leq
+\AGL_1(\FF_p)$, et si $\gamma \in G_i$, on a $\gamma\tau\gamma^{-1}
+\in G_{i+1}$ (car $G_{i+1}$ est distingué dans $G_i$), donc
+$\gamma\tau\gamma^{-1} \in \AGL_1(\FF_p)$, donc $\gamma\tau\gamma^{-1}
+\in C_p$ d'après le lemme qui précède ; or ceci implique $\gamma \in
+\AGL_1(\FF_p)$ d'après la remarque faite avant ce lemme.  Ceci conclut
+la récurrence.
+\end{proof}
+
 
 
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