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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-01-25 17:13:46 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-01-25 17:13:46 +0100 |
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[Radicaux] Un lemme sur les sous-groupes résolubles transitifs de 𝔖_p.
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-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 81 |
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 4bcf56f..cdc07a0 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -1707,6 +1707,87 @@ coefficients sont calculables comme $c_i = -\Tr(x y^{p-1-i})$ sauf $c_0 = -\Tr(x y^{p-1}) + \Tr(x)$. On a donc écrit $x$ en radicaux, ce qui complète la récurrence. +\section{Polynômes résolubles de degré $p$} + +\subsection{Sous-groupes résolubles transitifs de $\mathfrak{S}_p$} + +\subsubsection{} Soit $p$ un nombre premier. On identifie $\mathfrak{S}_p$ à +l'ensemble des permutations de $\FF_p$ et à l'intérieur de ce groupe +on note $C_p$ (isomorphe au groupe additif $\FF_p$) le groupe cyclique +des translations $t \mapsto t+b$ pour $b \in \FF_p$ et $\AGL_1(\FF_p)$ +(isomorphe au produit semidirect $\FF_p \rtimes \FF_p^\times$) le +groupe des transformations affines $t \mapsto at+b$ pour $b \in \FF_p$ +et $a \in \FF_p^\times$. Rappelons le fait bien connu (ou facile à +vérifier) que $\AGL_1(\FF_p)$ est le normalisateur de $C_p$ dans +$\mathfrak{S}_p$ (c'est-à-dire le groupe des permutations $\gamma \in +\mathfrak{S}_p$ telles que $\gamma \tau \gamma^{-1}$ s'écrive de la +forme $\tau^u$ pour un certain $u$). + +\begin{lemme2} +Le groupe $C_p$ est l'unique sous-groupe d'ordre $p$ dans +$\AGL_1(\FF_p)$. +\end{lemme2} +\begin{proof} +Si $t \mapsto at + b$ est d'ordre $p$ alors $a^p = 1$ dans +$\FF_p^\times$ donc $a=1$, et l'élément en question est bien +dans $C_p$. +\end{proof} + +\begin{proposition2} +Soit $G \leq \mathfrak{S}_p$ un sous-groupe transitif (c'est-à-dire +que son action sur $\FF_p$ est transitive). Alors il existe $\sigma +\in \mathfrak{S}_p$ tel que $C_p \leq \sigma G \sigma^{-1}$. Si de +plus on suppose que $G$ et résoluble, alors pour tout tel $\sigma$ on +aussi $\sigma G \sigma^{-1} \leq \AGL_1(\FF_p)$ +\end{proposition2} +\begin{proof} +Puisque $G$ est transitif, le stabilisateur $H$ d'un point quelconque +vérifie $\#G/\#H = p$ et en particulier $p$ divise l'ordre de $G$ : +par un théorème de Cauchy, il existe donc un élément de $G$ +d'ordre $p$. Vu dans $\mathfrak{S}_p$, cet élément est un $p$-cycle, +et quitte à conjuguer par une permutation $\sigma$ appropriée, on peut +réétiqueter ce cycle de façon qu'il soit $(0\;1\;2\;\cdots\;(p-1))$ +c'est-à-dire $\tau \mapsto t \mapsto t+1$. On a alors $C_p \leq +\sigma G \sigma^{-1}$ comme annoncé. + +Supposons maintenant (quitte à conjuguer) qu'on ait $C_p \leq G$ avec +$G$ résoluble, et on souhaite montrer $G \leq \AGL_1(\FF_p)$. + +Il existe une chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ +de sous-groupes de $G$ telle que pour chaque $i$ le sous-groupe +$G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que le quotient $G_i/G_{i+1}$ +soit cyclique d'ordre premier. + +Considérons d'abord le plus grand $i$ tel que $C_p \leq G_i$. Le +groupe $G_i/G_{i+1}$ est nécessairement d'ordre $p$ : s'il était d'un +ordre $\ell \neq p$, alors en notant $\tau$ le générateur $t \mapsto +t+1$ de $C_p$, on aurait $\tau^\ell$ trivial modulo $G_{i+1}$ +c'est-à-dire $\tau^\ell \in G_{i+1}$ et comme $\tau^\ell$ +engendre $C_p$ on aurait encore $C_p \leq G_{i+1}$, ce qui contredit +la maximalité de $i$. Montrons maintenant que $i=r-1$ c'est-à-dire +que $G_{i+1}$ est trivial : si ce n'était pas le cas, il existerait un +$\gamma \in G_{i+1}$ différent de l'identité, disons $\gamma(u) = v$ +avec $u\neq v$ dans $\FF_p$, alors $\varrho := \tau^{u-v}\gamma$ fixe +le point $u$ donc est dans un conjugué de $\mathfrak{S}_{p-1}$ donc +est d'un ordre non multiple de $p$, c'est-à-dire que $\varrho$ peut +s'écrire comme une puissance de $\varrho^p$ ; mais $\varrho^p \in +G_{i+1}$ puisque $G_i/G_{i+1}$ est cyclique d'ordre $p$, donc $\varrho +\in G_{i+1}$ donc $\tau^{u-v} \in G_{i+1}$ donc $C_p \leq G_{i+1}$, ce +qui de nouveau contredit la maximalité de $i$. + +On sait donc que $G_{r-1} = C_p$, et en particulier $G_{r-1} \leq +\AGL_1(\FF_p)$. + +Montrons maintenant par récurrence descendante sur $i$ que $G_i \leq +\AGL_1(\FF_p)$ pour tout $i \leq r-1$. Si on a $G_{i+1} \leq +\AGL_1(\FF_p)$, et si $\gamma \in G_i$, on a $\gamma\tau\gamma^{-1} +\in G_{i+1}$ (car $G_{i+1}$ est distingué dans $G_i$), donc +$\gamma\tau\gamma^{-1} \in \AGL_1(\FF_p)$, donc $\gamma\tau\gamma^{-1} +\in C_p$ d'après le lemme qui précède ; or ceci implique $\gamma \in +\AGL_1(\FF_p)$ d'après la remarque faite avant ce lemme. Ceci conclut +la récurrence. +\end{proof} + \ifx\danslelivre\undefined |