summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/radicaux.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 18:28:01 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-29 18:28:01 +0200
commitde01519d52a1f455cc1f3a808ee6556e14c34ed0 (patch)
tree1a569256b95f8d4dd08732254773cb4ca8c51e5f /chapitres/radicaux.tex
parent2af2331dcf36dd8c34e63217298f5dc0b3c959ac (diff)
downloadgalois-de01519d52a1f455cc1f3a808ee6556e14c34ed0.zip
galois-de01519d52a1f455cc1f3a808ee6556e14c34ed0.tar.gz
galois-de01519d52a1f455cc1f3a808ee6556e14c34ed0.tar.bz2
[radicaux] Explications sur le calcul de cos(2π/13).
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex60
1 files changed, 45 insertions, 15 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 7777b6d..5315690 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -690,7 +690,7 @@ forcément le cas.
\XXX --- Y a-t-il moyen plus intelligent d'« expliquer » le fait que
$\root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} =
-\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$.
+\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ ?
\subsubsection{$n=6$}\label{racine-6e-de-1} Si $1,\zeta,\zeta^2$
désignent les racines cubiques de l'unité, alors les racines sixièmes
@@ -703,10 +703,11 @@ principale, la racine sixième principale est $-\zeta^2$.)
\subsubsection{$n=7$}\label{racine-7e-de-1} Pour exprimer les racines
$7$-ièmes de l'unité, on commence par choisir une base des racines
$6$-ièmes : comme le paragraphe précédent l'explique, celles-ci seront
-notées $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$ avec $\zeta$ une racine
-primitive cubique de l'unité, et on choisira la $\QQ$-base
-$1,\sqrt{-3}$ de $\QQ(\zeta) = \QQ(-\zeta^2)$ pour exprimer les
-résultats (on a vu que $\zeta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}$).
+notées $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$ avec $\zeta =
+e^{2i\pi/3}$ une racine primitive cubique de l'unité, et on choisira
+la $\QQ$-base $1,\sqrt{-3}$ de $\QQ(\zeta) = \QQ(-\zeta^2)$ pour
+exprimer les résultats (on a vu que $\zeta = \frac{1}{2} +
+\frac{1}{2}\sqrt{-3}$).
Si $\omega$ désigne une racine primitive $7$-ième de l'unité, alors vu
que $3$ est primitif modulo $7$ on considère les quantités $\alpha_j
@@ -720,8 +721,9 @@ Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega +
\frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4)$ : on va donc calculer
$(\alpha_2)^3$ et $(\alpha_4)^3$ en travaillant modulo $\Phi_7$. On
trouve $(\alpha_2)^3 = -7 - 21\zeta = \frac{7}{2} -
-\frac{21}{2}\sqrt{-3}$ et $(\alpha_4)^3 = 14 + 21\zeta = \frac{7}{2} +
-\frac{21}{2}\sqrt{-3}$ (soit en faisant un nouveau calcul, soit en
+\frac{21}{2}\sqrt{-3} = \frac{7}{2}(1-\sqrt{-3})$ et $(\alpha_4)^3 =
+14 + 21\zeta = \frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3} =
+\frac{7}{2}(1+\sqrt{-3})$ (soit en faisant un nouveau calcul, soit en
appliquant la conjugaison complexe c'est-à-dire en faisant agir le
groupe de Galois de $\QQ(\zeta)\bo\QQ$,
cf. \ref{remarque-groupe-de-galois-sur-zeta-dans-calcul-de-omega}).
@@ -747,13 +749,15 @@ conduit déjà à l'expression suivante pour $\gamma =
Pour le sinus, on calcule d'abord $(\alpha_3)^2 = -7$ ce qui donne
(une fois vérifiée la détermination) $\alpha_3 = \sqrt{-7}$. Puis
$(\alpha_1)^6 = -385 - 273\zeta = -\frac{497}{2} -
-\frac{273}{2}\sqrt{-3}$ d'où $\alpha_1 = -\root6\of{-\frac{497}{2} -
- \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et de même, ou en faisant agir la
-conjugaison complexe, $(\alpha_5)^6 = -112 - 273\zeta = -\frac{497}{2}
-+ \frac{273}{2}\sqrt{-3}$ d'où $\alpha_6 = \root6\of{-\frac{497}{2} +
- \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au final, on obtient l'expression
-de $\omega = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \cdots + \alpha_5)$ sous la forme
-$\cos\frac{2\pi}{7} + \sqrt{-1} \, \sin\frac{2\pi}{7}$ où :
+\frac{273}{2}\sqrt{-3} = \frac{7}{2}(-71 - 39\sqrt{-3})$ d'où
+$\alpha_1 = -\root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et
+de même, ou en faisant agir la conjugaison complexe, $(\alpha_5)^6 =
+-112 - 273\zeta = -\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3} =
+\frac{7}{2}(-71 + 39\sqrt{-3})$ d'où $\alpha_6 =
+\root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au final, on
+obtient l'expression de $\omega = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \cdots +
+\alpha_5)$ sous la forme $\cos\frac{2\pi}{7} + \sqrt{-1} \,
+\sin\frac{2\pi}{7}$ où :
\[
\begin{array}{rl}
\displaystyle\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{7}
@@ -856,8 +860,34 @@ vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement :
\end{array}
\]
-\subsubsection{$n=13$}\label{racine-13e-de-1} \XXX
+\subsubsection{$n=13$}\label{racine-13e-de-1} Cette fois nous nous
+contenterons d'une expression du cosinus : pour ça, on n'aura donc pas
+besoin des racines $12$-ièmes de l'unité, mais seulement des racines
+$6$-ièmes (cf. \ref{generalites-calcul-expressions-cos-2pi-sur-n}).
+On fait le même choix de base qu'en \ref{racine-7e-de-1}, c'est-à-dire
+qu'on note $\zeta = e^{2i\pi/3}$ et on choisit d'utiliser la
+$\QQ$-base $1,\sqrt{-3}$ de $\QQ(\zeta) = \QQ(-\zeta^2)$ pour exprimer
+les résultats (on a vu que $\zeta = \frac{1}{2} +
+\frac{1}{2}\sqrt{-3}$).
+
+Maintenant $\omega$ désigne une racine primitive $13$-ième de l'unité,
+et comme d'habitude $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$. On
+considère les quantités $\alpha_{2j} := \sum_{i=0}^9 (-\zeta^2)^{ij}
+\omega^{2^i}$ où $\zeta = e^{2i\pi/3}$ et $-\zeta^2 = e^{i\pi/3}$, et
+on a utilisé le fait que $2$ est primitif modulo $13$. On a bien sûr
+$\alpha_0 = -1$.
+En calculant modulo $\Phi_{13}$, on trouve $(\alpha_2)^6 = -2288
+-195\zeta = -\frac{4\,381}{2} -\frac{195}{2} \sqrt{-3} =
+\frac{13}{2}(-337 - 15\sqrt{-3})$, et de même (ou par conjugaison
+complexe) $(\alpha_{10})^6 = -2093 +195\zeta = -\frac{4\,381}{2}
++\frac{195}{2} \sqrt{-3} = \frac{13}{2}(-337 + 15\sqrt{-3})$. Les
+autres termes sont plus simples : $(\alpha_4)^3 = -52 - 39\zeta =
+-\frac{65}{2} -\frac{39}{2} \sqrt{-3} = \frac{13}{2}(-5 - 3\sqrt{-3})$
+et $(\alpha_8)^3 = -13 + 39\zeta = -\frac{65}{2} +\frac{39}{2}
+\sqrt{-3} = \frac{13}{2}(-5 + 3\sqrt{-3})$, et enfin $(\alpha_6)^2 =
+13$. En prenant les bonnes racines, une fois vérifiée la
+détermination, on obtient finalement :
\[
\begin{array}{rl}
\displaystyle\cos\frac{2\pi}{13}