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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-11-15 14:48:14 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-11-15 14:48:14 (GMT)
commited398a52da602a7bce2ffa47ef268dfc4391c9b4 (patch)
treeface18628b1365e1aab77f0ae1cadf7b598da834 /chapitres/radicaux.tex
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[Radicaux] Algorithme de calcul des expressions des racines en radicaux: cas de la caractéristique 0 sans hypothèse de racines de l'unité.
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-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex42
1 files changed, 37 insertions, 5 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index b853aba..5fbdf53 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1559,7 +1559,10 @@ k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ est le corps de décomposition de $f$, et le
groupe $G$ des permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ laissant $J$ invariant
est le groupe de Galois de $f$. On sait effectuer algorithmiquement
des calculs dans $E$, et on sait naturellement faire agir $G$ sur ses
-éléments (puisqu'il s'agit simplement de permutations des $Z_i$).
+éléments (puisqu'il s'agit simplement de permutations des $Z_i$). En
+réalité, dans ce qui suit, nous n'aurons pas besoin du fait que $G$
+soit exactement le groupe de Galois de $f$, il suffira qu'il le
+contienne.
On supposera que $k$ contient les racines $N$-ièmes de l'unité, où $N$
est tel que $g^N = 1$ pour tout $g \in G$ (et dès lors que $k$
@@ -1618,10 +1621,10 @@ déterminations des racines $m$-ièmes. Pour pouvoir réaliser ce choix,
il faut, lorsqu'on réalise le corps de décomposition de $f$ comme
$k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$, choisir en même temps un plongement compatible
dans $\CC$, c'est-à-dire trouver une numérotation des racines
-complexes $\zeta_1,\ldots,\zeta_d$ de $f$ telles que toutes les
-relations engendrant $J$ soient satisfaites pour cette numérotation
-(ou inversement, choisir l'idéal $J$ premier contenant $I$ qui soit
-compatible avec la numérotation préalablement choisie des $\zeta_i$).
+complexes $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$ telles que toutes les relations
+engendrant $J$ soient satisfaites pour cette numérotation (ou
+inversement, choisir l'idéal $J$ premier contenant $I$ qui soit
+compatible avec la numérotation préalablement choisie des $\xi_i$).
Ceci permet, à chaque étape de l'algorithme, d'obtenir une valeur
complexe approchée des éléments de $E$ qui apparaissent, et donc,
quand il s'agit d'extraire une racine $m$-ième de $a$, de choisir
@@ -1629,6 +1632,35 @@ l'écriture $\zeta^t \root m\of a$ qui fait intervenir la détermination
principale complexe.
\end{remarque2}
+\subsubsection{Cas de caractéristique $0$ sans hypothèse de racines de l'unité}
+Supposons maintenant relaxée l'hypothèse que le corps de base $k$
+possède assez de racines de l'unité.
+
+On peut se ramener au cas précédent en introduisant le corps $k' =
+k(\zeta)$ où $\zeta$ est une racine $N$-ième de l'unité avec $N$
+choisi de sorte que $g^N = 1$ pour tout $g$ dans le groupe de Galois
+de $f$ sur $k$ (ou, dans le pire cas, $\ppcm(1,2,\ldots,d)$). Pour
+cela, on factorise le $N$-ième polynôme cyclotomique $\Phi_N$ sur $k$,
+on en choisit un facteur irréductible $\chi$ quelconque, et on appelle
+$k'$ le corps de rupture (qui est aussi corps de décomposition) de
+$\chi$ sur $k$ : manifestement, on sait effectuer des calculs
+dans $k'$, et on sait aussi factoriser des polynômes sur $k'$ car \XXX
+\textcolor{Magenta}{[il faut décider où expliquer ce fait : pour
+ l'instant, il est prévu dans le chapitre « Calculs », mais ce
+ n'est pas forcément idéal]}. Soulignons que le groupe de Galois
+de $f$ sur $k'$ peut très bien être strictement plus petit que sur $k$
+(lorsque $k'$ et $\dec_k(f)$ ne sont pas linéairement disjoints).
+
+Plutôt que de travailler sur le corps $k'$, on peut préférer
+travailler toujours sur $k$ : ceci peut se faire en ajoutant une
+nouvelle indéterminée $\Omega$ (qui représentera une racine $N$-ième
+de l'unité) et la relation $\Phi_N(\Omega)$ dans l'idéal $I$ : en
+trouvant comme précédemment un idéal $J$ premier contenant $I$, le
+corps $E = k[Z_1,\ldots,Z_d,\Omega]/J$ sera alors le corps de
+décomposition de $\Phi_N \times f$ sur $k$, c'est-à-dire le corps de
+décomposition de $f$ sur $k'$. Le choix de $J$ équivaut ici au calcul
+du groupe de Galois de $f$ sur $k'$.
+
\ifx\danslelivre\undefined