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path: root/chapitres/radicaux.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-05-31 14:37:32 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-05-31 14:37:32 (GMT)
commitf098eeea7029b0d353bacdbd3e1e11df214de4d8 (patch)
tree1cccfdfee52c4c2b3275b1d6adf47fcefab09103 /chapitres/radicaux.tex
parent98a794b359b8ab7b15f81ca3025e78e63062dbf4 (diff)
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[radicaux] Début discussion équation degré 4.
Diffstat (limited to 'chapitres/radicaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/radicaux.tex33
1 files changed, 33 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 3b898fd..fd41846 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1295,6 +1295,39 @@ $\sqrt{-c}$ fois cette quantité. L'équation inséparable $X^3 + d = 0$
a bien sûr pour solution (unique) $\root 3\of{-d}$, qui n'est pas une
écriture en radicaux avec nos définitions.
+\subsection{Degré $4$}
+
+\subsubsection{} Soit $f = X^4 + a_1 X^3 + a_2 X^2 + a_3 X + a_4$ un
+polynôme de degré $4$ sur un corps $k$, dont on cherche à exprimer les
+racines, $\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4$.
+
+Lorsque $k$ est de caractéristique $\neq 2$, on peut commencer par
+utiliser la transformation de Tschirnhaus $U = X + \frac{a_1}{4}$ (qui
+transforme $f$ en $X^4 + b_2 X^2 + b_3 X + b_4$ avec $b_2 =
+-\frac{3}{8} a_1^2 + a_2$, $b_3 = \frac{1}{8} a_1^3 - \frac{1}{2} a_1
+a_2 + a_3$ et $b_4 = -\frac{3}{256} a_1^4 + \frac{1}{16} a_1^2 a_2 -
+\frac{1}{4} a_1 a_3 + a_4$). L'intérêt de cette opération est de
+simplifier les calculs en annulant le terme sous-dominant, mais elle
+ne sera pas fondamentalement utile pour ce qui va suivre.
+
+On a vu en \refext{Calculs}{calcul-galois-degre-4} que la quantité
+$\pi = \xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4$, choisie pour stabiliser le
+sous-groupe $D_4 \leq \mathfrak{S}_4$, est racine du polynôme
+résolvant $X^3 - a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4 a_4) X + (- a_1 ^2 a_4 - a_3^2
++ 4 a_2 a_4)$ (on parle généralement de \emph{résolvante cubique} ou
+de \emph{résolvante de Ferrari} pour désigner cette équation).
+Puisqu'il s'agit d'une équation de degré $3$, on peut supposer,
+d'après les résultats précédents, qu'on dispose d'une expression
+de $\pi$ (les différentes solutions de l'équation cubique
+correspondent aux différentes classes de conjugaison de $D_4$
+dans $\mathfrak{S}_4$, choix qui ne nous importe pas puisque la
+numérotation des racines était arbitraire). On a également vu que la
+quantité $\varsigma = \xi_1^2 \xi_2 + \xi_2^2 \xi_3 + \xi_3^2 \xi_4 +
+\xi_4^2 \xi_1$, choisie pour stabiliser le sous-groupe $C_4 \leq D_4$,
+est alors racine du polynôme $X^2 + (a_1 a_2 - 2 a_3 - a_1 \pi) X +
+(a_1^3 a_3 - a_1^2 a_4 - 5 a_1 a_2 a_3 + a_2^3 + 4 a_2 a_4 + 4 a_3^2 +
+(- a_1^2 a_2 + 2 a_1 a_3 + a_2^2 - 4 a_4) \pi + (a_1^2 - 2 a_2)
+\pi^2)$ : on peut donc également supposer connue cette quantité.
\ifx\danslelivre\undefined