summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/spectre.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-02 14:53:54 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-02 14:53:54 +0100
commit16209f8dd1c677d63196e63e3bfe0c0db3833363 (patch)
treed90f4b2821c9b957bd0a52f80f781d04ed1e0d3b /chapitres/spectre.tex
parent519bbc0f40e1adeb74ddd21767ec5cb4b67d4a8c (diff)
downloadgalois-16209f8dd1c677d63196e63e3bfe0c0db3833363.zip
galois-16209f8dd1c677d63196e63e3bfe0c0db3833363.tar.gz
galois-16209f8dd1c677d63196e63e3bfe0c0db3833363.tar.bz2
[Spec, Alg] artinien=produit fini de connexes ; cas particulier k-algèbres finies
Diffstat (limited to 'chapitres/spectre.tex')
-rw-r--r--chapitres/spectre.tex109
1 files changed, 97 insertions, 12 deletions
diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index 48b7846..3da134f 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -32,8 +32,7 @@ Spectre et idéaux premiers
Dans ce chapitre, sauf mention du contraire,
les anneaux sont \emph{commutatifs} unitaires.
-\section{Spectre premier et maximal d'un anneau. Points rationnels et
-localisation}
+\section{Spectre premier et maximal d'un anneau. Points rationnels.}
\subsection{Généralités sur le spectre}
\begin{definition2}\label{premier}
@@ -99,10 +98,38 @@ de l'idéal $J$) de $B$.
\begin{théorème2}[Krull]\label{Krull}
Tout idéal strict d'un anneau est contenu dans un idéal maximal.
\end{théorème2}
-
+
Cf. \bbka{I}{8}{6}{théorème 1}. \XXX
-De même :
+\begin{définition2}
+\label{définition:local}
+Un anneau est dit local s'il possède un unique idéal maximal.
+\end{définition2}
+
+\begin{exemple2}
+\label{exemple anneau local}
+Si $𝔪$ est un idéal maximal d'un anneau $A$,
+le quotient $A/𝔪^n$ est local pour tout entier $n ≥ 1$.
+En effet, tout idéal maximal d'un tel quotient contient $𝔪^n$
+(\ref{ideaux-quotient}) donc $𝔪$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{proposition2}\label{unités anneau local}
+Soit $A$ un anneau local d'idéal maximal $𝔪$.
+L'ensemble $A^×$ des unités de $A$ est égal à $A-𝔪$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Une unité d'un anneau n'étant contenue dans aucun idéal strict,
+on a l'inclusion $A^× ⊆ A - 𝔪$. Réciproquement, si $x ∈ A-𝔪$,
+l'idéal $(x)=Ax$ n'est pas contenu dans $𝔪$. S'il était
+différent de $A$ tout entier, il serait contenu dans un idéal
+maximal (\ref{Krull}), qui ne peut être que $𝔪$, l'anneau étant
+supposé local. Ainsi $(x)=A$ : l'élément $x$ est inversible.
+\end{démo}
+
+Bien que nous n'en ferons pas un usage immédiat,
+signalons l'énoncé suivant, dual de \ref{Krull} :
\begin{théorème2}
Tout idéal premier d'un anneau contient un idéal premier
@@ -110,7 +137,7 @@ Tout idéal premier d'un anneau contient un idéal premier
\end{théorème2}
\begin{démo}
-Il suffit d'après le théorème de Zorn de vérifier que si $P$ est une famille
+Il suffit d'après le théorème de Zorn de vérifier que si $P$ est une famille
non vide d'idéaux premiers, totalement ordonnée pour l'inclusion, l'intersection
$𝔭$ des idéaux $𝔮∈P$ est un idéal premier.
Or, si ni $x$ ni $y$ n'appartiennent à $𝔭$,
@@ -420,6 +447,19 @@ entraîne $1-e=0$. Si $e$ est nilpotent, les égalités $e^n=e$ pour
tout $n ≥ 1$ entraînent $e=0$.
\end{démo}
+\begin{corollaire2}
+\label{local implique connexe}
+Un anneau local est connexe.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Soit $e$ un idempotent d'un anneau local $A$ d'idéal
+maximal $𝔪$. L'un des deux idempotents $e, ¬e=1-e$ n'appartient
+pas à $𝔪$ et est donc inversible (\ref{unités anneau local}).
+D'après \ref{unités et nilpotents algèbre de Boole}, cet idempotent
+est l'unité de l'anneau. Ainsi, $e=0$ ou $e=1$.
+\end{démo}
+
\begin{proposition2}
Toute algèbre de Boole intègre est isomorphe au corps $𝐅₂=𝐙/2$.
\end{proposition2}
@@ -501,6 +541,10 @@ Soit $A$ un anneau. Les conditions suivantes sont
Un tel anneau est alors non nul et ses idempotents sont l'élément
nul $0$ et l'unité $1$.
+\begin{exemple2}
+Un anneau \emph{local} est connexe.
+\end{exemple2}
+
\subsubsection{Fonctorialité}
\label{fonctorialité pi0}
Soit $f:A → B$ un morphisme d'anneaux.
@@ -735,22 +779,60 @@ $1-e$ lui appartient. Dans le premier cas, $ε=0$ ;
dans le second, $ε=1$. CQFD.
\end{démo}
+\begin{définition2}
+\label{définition artinien-noethérien}
+Un anneau commutatif $A$ est dit \emph{artinien}\index{artinien}
+(resp. \emph{nœthérien}\index{nœthérien}) si toute
+famille décroissante (resp. croissante) d'idéaux
+est stationnaire.
+\end{définition2}
+
\begin{proposition2}
\label{pi0(artinien)=fini}
Si $A$ est un anneau \emph{artinien}, l'ensemble $π₀(A)$ est \emph{fini}.
\end{proposition2}
-[On veut plutôt énoncé dans cas nœthérien ; cf. exercice \XXX]
-
\begin{démo}
Supposons qu'il existe une suite infini $𝔵₁,𝔵₂,…$ d'éléments
distincts de $π₀(A)$. On a vu ci-dessus (\ref{décomposition en produit
de connexes si pi0 fini}, démonstration) que pour chaque $n ≥ 1$,
le morphisme canonique $A → A/𝔵₁A× \cdots × A/𝔵_nA$ est
\emph{surjectif}. La suite des noyaux est donc strictement
-croissante ; absurde.
+croissante ; c'est absurde.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+\label{artinien connexe implique local}
+Un anneau artinien connexe $A$ est \emph{local},
+d'idéal maximal $\Nilp(A)$.
+\end{proposition2}
+
+Rappelons que l'on a déjà constaté qu'un anneau local
+est connexe \ref{local implique connexe}.
+
+\begin{démo}
+Soit $A$ un tel anneau. Nous allons montrer
+que l'idéal $\Nilp(A)$ est maximal. Il suffit pour
+cela de montrer que son complémentaire $A-\Nilp(A)$ est constitué
+d'unités. Soit $x ∈ A$. L'anneau $A$ étant supposé
+artinien, la suite décroissante d'idéaux $A ⊇ (x) ⊇ (x²) ⊇ \cdots$
+est stationnaire. Existent donc un entier $n ∈ 𝐍$ et un
+élément $a ∈ A$ tels que $x^n=ax^{n+1}$. On en déduit immédiatement,
+par récurrence, l'égalité $x^n=a^r x^r x^n$ pour chaque $r ≥ 0$.
+Prenant $r=n$, on obtient : $x^n=e x^n$, où $e=a^n x^n$,
+et $e = a^n x^n = e a^n x^n = e²$. Ainsi, $(x^n)$ est l'idéal
+engendré par l'idempotent $e$ (voir aussi l'exercice \ref{exercice-idéal idempotent engendré par idempotent}).
+L'anneau $A$ étant connexe,
+on a $e=0$ ou bien $e=1$. Dans le premier cas, $x$ est nilpotent ;
+dans le second, il est inversible. CQFD.
\end{démo}
+\begin{corollaire2}
+\label{artinien=produit anneaux locaux}
+Tout anneau artinien est isomorphe à un produit fini d'anneaux locaux.
+\end{corollaire2}
+
+
\subsection{Une application : calculs d'ensembles d'homomorphismes}
\subsubsection{}Soient $k$ un anneau et $A,B$ deux $k$-algèbres. Posons $X=π₀(A)$ et $Y=π₀(B)$.
Chaque morphisme $f:A → B$ de $k$-algèbres induit une application
@@ -845,10 +927,6 @@ Comparer le résultat obtenu avec \ref{décomposition en produit de connexes si
\end{exercice2}
\begin{exercice2}
-Montrer qu'un anneau local est connexe.
-\end{exercice2}
-
-\begin{exercice2}
Soit $A$ l'anneau des suites de nombres rationnels
constantes à partir d'un certain rang.
\begin{enumerate}
@@ -862,6 +940,13 @@ fixé ou bien au voisinage de l'infini. Etc.
\end{enumerate}
\end{exercice2}
+\begin{exercice2}
+\label{exercice-idéal idempotent engendré par idempotent}
+Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau $A$.
+Montrer que si $I=I²$, il existe $e ∈ \Idem(A)$
+tel que $I=(e)$.
+% Matsumura, exercice 2.1
+\end{exercice2}
\ifx\danslelivre\undefined