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path: root/chapitres/spectre.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-31 22:00:54 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-31 22:00:54 +0100
commit3ab13e83f8e9b5bfdff5e72b53ff54f8995628bb (patch)
treea1a13b9d695a832d88f042653b47772cf369fd12 /chapitres/spectre.tex
parent8e974aad89268218a0059545fe75e5b845beac22 (diff)
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[Spec] π₀(artinien)=fini
J'aimerais plutôt le cas nœthérien, que j'avais mis en exercice. On n'utilisera pas ce résultat je crois, si ce n'est de façon anecdotique (en « complément ») dans le cas artinien (algèbre fini sur un corps).
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-rw-r--r--chapitres/spectre.tex16
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diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index 3fb4a55..48b7846 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -735,6 +735,22 @@ $1-e$ lui appartient. Dans le premier cas, $ε=0$ ;
dans le second, $ε=1$. CQFD.
\end{démo}
+\begin{proposition2}
+\label{pi0(artinien)=fini}
+Si $A$ est un anneau \emph{artinien}, l'ensemble $π₀(A)$ est \emph{fini}.
+\end{proposition2}
+
+[On veut plutôt énoncé dans cas nœthérien ; cf. exercice \XXX]
+
+\begin{démo}
+Supposons qu'il existe une suite infini $𝔵₁,𝔵₂,…$ d'éléments
+distincts de $π₀(A)$. On a vu ci-dessus (\ref{décomposition en produit
+de connexes si pi0 fini}, démonstration) que pour chaque $n ≥ 1$,
+le morphisme canonique $A → A/𝔵₁A× \cdots × A/𝔵_nA$ est
+\emph{surjectif}. La suite des noyaux est donc strictement
+croissante ; absurde.
+\end{démo}
+
\subsection{Une application : calculs d'ensembles d'homomorphismes}
\subsubsection{}Soient $k$ un anneau et $A,B$ deux $k$-algèbres. Posons $X=π₀(A)$ et $Y=π₀(B)$.
Chaque morphisme $f:A → B$ de $k$-algèbres induit une application