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path: root/chapitres/spectre.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-20 10:36:25 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-20 10:36:25 +0100
commit5747123814cdcd81bb3826e8e706a580a7adbfef (patch)
treef1acefc8b0d12aa2313eae34056ce329aa4e6fa4 /chapitres/spectre.tex
parent25d95afc0a65777c5a102bae5da755c310a828df (diff)
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[Spec] ajout exercice/remarque sur Spec(k^X), X infini
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-rw-r--r--chapitres/spectre.tex35
1 files changed, 32 insertions, 3 deletions
diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index 79f571b..5245c9f 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -571,11 +571,40 @@ Le dernier point est évident.\end{démo}
\begin{remarque2}
Lorsque $X$ est infini, on dispose d'une caractérisation
-semblable à (ii)(b) des idéaux de $k^{(X)}$ (fonctions à support fini) ;
-les idéaux maximaux de $k^X$ sont quant à eux associés
-aux \emph{ultrafiltres} sur $X$. \XXX
+semblable à (ii)(a) de $\Spec(k^{(X)})$, où $k^{(X)}$
+désigne l'ensemble des fonctions à support fini.
+Le spectre de $k^X$ est quant à lui en bijection avec
+le compactifié de Stone-Čech de l'espace topologique
+discret $X$, cf. \ref{ultrafiltres et produits infinis}.
+% Cf. p. ex. Jardine, « Ultraproducts and the discrete cohomology of
+% algebraic groups ».
\end{remarque2}
+\begin{exercice2}\label{ultrafiltres et produits infinis}
+Soit $X$ un ensemble non vide. Un \emph{ultrafiltre}\index{ultrafiltre} $𝔉$
+sur $X$ est un ensemble de parties non vides de $X$ stable par intersection finie
+et maximal pour l'inclusion. Il est dit \emph{principal}
+si $⋂_{E ∈ 𝔉}E ≠ ∅$.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer qu'un ultrafiltre non principal ne
+contient pas d'ensemble fini. En déduire qu'un tel
+ultrafiltre contient tous les ensembles cofinis
+(c'est-à-dire de complémentaire fini).
+\item Vérifier que les ensembles cofinis
+d'un ensemble $X$ ne constituent \emph{pas} un
+ultrafiltre.
+\item Soit $k$ un corps. Montrer que l'application $𝔉↦𝔭_𝔉=\{χ_E:X → k| E∉𝔉\}$, où $χ$
+désigne la fonction caractéristique, est une bijection entre l'ensemble
+des ultrafiltres sur $X$ et le spectre de l'anneau $k^X$.
+\end{enumerate}
+Dans un chapitre ultérieur, on munira le spectre d'un anneau
+commutatif d'une topologie, dite de \emph{Zariski}.
+On peut alors montrer que l'espace \emph{topologique}
+$\Spec(k^X)$ est homéomorphe au compactifié de Stone-Čech
+$β(X)$ de l'espace topologique discret $X$,
+lui-même trivialement homéomorphe au coproduit $∐_{x ∈ X} \Spec(k)$.
+\end{exercice2}
+
\begin{corollaire2}
Soit $A=∏_{x ∈ X} A_x$ un produit \emph{fini} d'anneaux \emph{connexes}.
L'application $X → π₀(A)$, $x ↦ 𝔭_x=(1-e_x)\Idem(A)$ est une bijection,