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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-12 23:58:48 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-12 23:58:48 +0100
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[Azu,Boole,Ent,CG,Spec,tmp] multiples copiés-collés
J'ai essayé de réduire autant que possible le contenu du chapitre Spec (chap. 0). Il faut cependant donner quelques compléments sur la connexité. Si ça devient trop long, on peut faire une digression dans [CG] voire, si on veut rendre ce chapitre plus simple, déplacer les « G-algèbres galoisiennes » dans [Azu] (ce qui aurait un certain sens).
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-rw-r--r--chapitres/spectre.tex240
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--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -14,12 +14,14 @@
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{srcltx}
-\title{Spectre et idéaux premiers}
+\synctex=1
\externaldocument{categories}
\begin{document}
-\maketitle
+\begin{center}
+Spectre et idéaux premiers
+\end{center}
\setcounter{tocdepth}{1}
\tableofcontents
@@ -60,7 +62,7 @@ On vérifie sans peine que si $f:A→B$ et $g:B→C$ sont des morphismes
d'anneaux, les applications $\Spec(gf)$ et $\Spec(f)∘\Spec(g)$
de $\Spec(C)$ vers $\Spec(A)$ coïncident.
En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur}), $A↦\Spec(A)$, $(f:A→B)↦\big(\Spec(f):\Spec(B)→\Spec(A)\big)$
-est un \emph{foncteur contravariant} de la catégorie des anneaux
+est un \emph{foncteur contravariant} de la catégorie des anneaux
(commutatifs) vers la catégorie des ensembles.
\begin{démo}
@@ -117,70 +119,30 @@ des idéaux étant totalement ordonnée.
Ainsi, $xy∉𝔮$ et, \emph{a fortiori}, $xy∉𝔭$.
\end{démo}
-\subsection{Points d'une $k$-algèbre}\label{points-algebre}
-
-Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire
-la donnée d'un morphisme d'anneaux $k→A$.
-Pour toute $k$-algèbre $B$, on note $A^\japmath{田}(B)$
-l'ensemble $\Hom_k(A,B)$ (cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}).
-
-Le lemme suivant décrit cet ensemble comme
-un ensemble de points d'un espace affine.
-
-\begin{lemme2}\label{points-quotient}
-Si $A=k[X₁,\dots,X_n]/(f₁,\dots,f_e)$, et $B$ est une $k$-algèbre, l'application
-$$
-A^\japmath{田}(B)=\Hom_k(A,B)→\{(b₁,\dots,b_n)∈B^n:f₁(b₁,\dots,b_n)=\cdots=f_e(b₁,\dots,b_n)=0\}
-$$
-$$
-\big(φ:A→B\big)↦\big(φ(x₁),\dots,φ(x_n)\big),
-$$
-où les $x_i$ sont les images dans $A$ des variables $X_i$,
-est une bijection.
-\end{lemme2}
-
-En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur-representable}),
-l'anneau $A$ représente le foncteur covariant « solutions dans $B$ »
-des équations $f₁,\dots,f_e$. Il résulte de la démonstration
-(ci-dessous) que ce lemme est également, avec les modifications
-évidentes, pour les quotients d'un anneau de polynômes
-ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini d'indéterminées
-par un idéal ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini
-de générateurs.
-
-Dans cet énoncé, on a implicitement fait usage de la convention
-d'écriture suivante.
-
-\begin{convention2}\label{changement-de-base-polynome}
-Soient $k$ un anneau, $C$ une $k$-algèbre et $P∈k[X]$.
-Si aucune confusion ne semble pouvoir en résulter,
-on notera encore $P$ l'image dans $C[X]$ du polynôme $P$ par le morphisme
-canonique $k[X]→C[X]$.
-\end{convention2}
-
-\begin{démo}
-Observons que d'une part l'application $\Hom_k(k[X₁,\dots,X_n],B)→B^n$,
-$ψ↦\big(ψ(X_i)=:b_i\big)_{1≤i≤n}$ est une bijection et que d'autre part, par définition du quotient, un tel morphisme $ψ$
-se factorise à travers le quotient $k[X₁,\dots,X_n]↠A$ en un morphisme $φ:A→B$
-\ssi $ψ(f_j)=0$ pour chaque $1≤j≤e$. La conclusion résulte du fait que
-$ψ(f_j)=f_j(b₁,\dots,b_n)$.
-\end{démo}
-
-Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $A^\japmath{田}(k)=\Hom_k(A,k)$ s'appelle
-\emph{l'ensemble des points rationnels} \index{point
-rationnel} de $A$.
+\subsubsection{}\label{points-algebre}Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire
+un morphisme d'anneaux $k→A$.
+Pour toute $k$-algèbre $T$, on notera souvent $A^\japmath{田}(T)$
+ou $\japmath{田}A(T)$ l'ensemble $\Hom_k(A,T)$\footnote{L'usage
+le plus courant est d'utiliser plutôt les lettres $h$ (« Hom ») ou
+$y$ (« Yoneda ») au lieu de $\japmath{田}$.}
+En un sens qu'il n'est pas nécessaire de préciser ici,
+la collection des $\japmath{田}A(T)$, pour $T$ variable,
+caractérise $A$ (cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}).
+L'ensemble $\japmath{田}A(k)$ joue souvent
+un rôle particulier ; c'est l'ensemble des \emph{points rationnels} \index{point
+rationnel} de $A$.
%Remarquons que tout morphisme de $k$-algèbres
%$A→k$ est surjectif car l'image est une sous-$k$-algèbre de $k$
%contenant l'unité.
-Soit $f∈A^\japmath{田}(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est
+Soit $f∈\japmath{田}A(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est
l'ensemble à un élément $\Spec(k)=\{(0)\}$. L'image de $\Spec(f)$ dans
$\Spec(A)$ est, par définition, le singleton d'élément $f^{-1}(0)=\Ker(f)∈\Spec(A)$.
\begin{lemme2}\label{points rationnels et ideaux maximaux}
-L'application $A^\japmath{田}(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image
+L'application $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image
contenue dans $\Specmax(A)$. Son image est l'ensemble des $𝔮$ dans $\Specmax(A)$
-tel que le morphisme composé $k→A↠A/𝔮$ soit un isomorphisme.
+tel que le morphisme composé $k→A↠A/𝔮$ soit un isomorphisme.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -190,126 +152,17 @@ quotient est, par construction, une injection. Puisque son image est une
sous-$k$-algèbre de $k$, donc égale à $k$, $\bar{f}$ est un isomorphisme.
L'idéal $𝔭_f$ est donc maximal. D'autre part, le morphisme composé
$k→A↠A/𝔭_f→k$, où la première flèche est le morphisme structural
-$\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est
+$\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est
l'identité car $\Hom_k(k,k)=\{\Id\}$. L'isomorphisme
$A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant
le quotient $A/𝔭_f$ de sa structure de $k$-algèbre naturelle.
-L'injectivité de l'application $A^\japmath{田}(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente :
-le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où
+L'injectivité de l'application $\japmath{田}A(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente :
+le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où
la seconde flèche est l'inverse de l'isomorphisme $k→A↠A/𝔭$.
Il résulte de cette description que l'image de l'ensemble des points rationnels
dans $\Specmax(A)$ est l'ensemble des idéaux maximaux de corps résiduel $k$.
\end{démo}
-\subsection{Localisation}\label{Spec-localisation}
-
-\subsubsection{}Soit $A$ un anneau. Une partie $S$ de $A$ est dite « multiplicative »
-si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou,
-de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$.
-Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une
-plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$
-contenant $S$ et multiplicative.
-
-Si $S$ est une partie multiplicative,
-la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par
-$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$
-tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note
-$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$.
-On vérifie immédiatement que les opérations
-\[(a/s)+(a'/s'):=(as'+a's)/(ss')\] et
-\[a/s)×(a'/s')=(aa')/(ss')\] munissent l'ensemble $A[S^{-1}]$
-d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application
-$A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}.
-Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose
-$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l'
-\emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la
-$A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément
-de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle
-localisation}). Si $𝔭$ est un idéal \emph{premier} de $A$, l'ensemble
-$A-𝔭$ est une partie multiplicative et on note plutôt
-$A_𝔭$ l'anneau $A[(A-𝔭)^{-1}]$, appelé \emph{localisé
-de $A$ en $𝔭$}. On vérifie immédiatement que si $A$ est un anneau intègre,
-le localisé $A_{(0)}$ est le \emph{corps des fractions} de $A$.
-
-\begin{proposition2}\label{Spec-spectre du localisé}
-Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
-Le morphisme canonique $A→A[S^{-1}]$ induit
-une \emph{injection} $\Spec(A[S^{-1}])→\Spec(A)$
-d'image
-\[
-\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}.
-\]
-\end{proposition2}
-
-En particulier, pour tout idéal premier $𝔭'$ de $A$,
-le spectre $\Spec(A_𝔭)$ s'identifie à $\{𝔭:𝔭⊆𝔭'\}$
-car la condition $𝔭∩(A-𝔭')=∅$ se $𝔭⊆𝔭'$.
-L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal
-maximal.
-
-\begin{démo}
-On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car
-$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
-Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
-réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
-car tout élément de $S$ est envoyé
-par $A→A[S^{-1}]$ sur un élément inversible
-et $𝔮$ ne contient pas de tels éléments.
-Montrons que l'application $c:\Spec(A[S^{-1}])→
-\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}$, $𝔮↦𝔮∩A$, est une bijection.
-Nous allons vérifier ci-dessous que l'application
-envoyant $𝔭∈\Spec(A)$ tel que $𝔭∩S=∅$ sur
-l'idéal $𝔮=𝔭A[S^{-1}]$ de $A[S^{-1}]$
-en est l'inverse. Fixons $𝔭$.
-Commençons par observer que tout élément de $𝔮$
-est de la forme $x/s$ où $x∈𝔭$ et $s∈S$.
-(Toute somme finie $∑_i x_i/s_i$ où $x_i∈𝔭$ et $s_i∈S$
-se met au même dénominateur.)
-Vérifions maintenant que l'idéal $𝔮$ est premier.
-Soient $a/s$ et $a'/s'$ tels que $(a/s)(a'/s')=x/{s''}∈𝔮$,
-où $x∈𝔭$. Par définition de l'anneau
-des fractions, il existe $t∈S$ tel que
-\[(ts'')(aa')=(tss')x.\]
-Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$.
-Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à
-$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$.
-Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application
-$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite
-de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$.
-D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel
-que $a/1=x/s$. On en tire $(ts)a=tx$ pour un $t∈S$ convenable
-et, finalement, $a∈𝔭$.
-Pour conclure, il nous reste à vérifier que pour tout
-$𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$, l'inclusion \emph{a priori}
-$(𝔮∩A)A[S^{-1}]⊆𝔮$ est une égalité. Soit $x=a/s∈𝔮$, où $a∈A$
-et $s∈S$. L'élément $a/1=(s/1)(a/s)$ appartient également à
-l'idéal $𝔮$ de sorte que $a∈𝔮∩A$. L'égalité $x=(a/1)(1/s)$ montre
-que $x∈(𝔮∩A)A[S^{-1}]$.
-\end{démo}
-
-Si $B$ est une $A$-algèbre et $S$ une partie de $A$,
-on note $B[S^{-1}]$ l'anneau des fractions de $B$
-défini par l'\emph{image} de $S$ dans $B$.
-
-Nous ferons régulièrement usage du lemme suivant,
-qui est un cas particulier d'un résultat de \emph{platitude}
-(cf. \refext{Tens}{platitude localisation}).
-
-\begin{proposition2}\label{Spec-cas particulier platitude localisation}
-Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
-Si $f:A→B$ est un morphisme \emph{injectif} d'anneau,
-le morphisme $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$, $a/s↦f(a)/f(s)$,
-est également injectif.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau.
-Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$.
-Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que
-$f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et,
-finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori},
-son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul.
-\end{démo}
\section{Idéaux étrangers, lemme chinois}
@@ -367,14 +220,15 @@ Un anneau $A$ est dit \emph{réduit} \index{réduit} si $\Nilp(A)=\{0\}$.
Pour tout anneau $A$, l'anneau quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$ est réduit.
C'est le plus grand quotient réduit de $A$ : pour tout morphisme d'anneau $A→B$
avec $B$ réduit, il existe un unique morphisme $A_{\red}→B$ à travers lequel
-$A→B$ se factorise.
+$A→B$ se factorise. En d'autres termes, si $B$ est un anneau réduit,
+l'application injective $\japmath{田}A_{\red}(B)→\japmath{田}A(B)$
+déduite de la surjection $A↠A_{\red}$ est une bijection.
\end{proposition2}
-En d'autres termes, le foncteur $A↦A_{\red}$, de la catégorie des anneaux
+Dans le langage de \refext{Cat}{definition-foncteurs-adjoints},
+le \emph{foncteur} $A↦A_{\red}$, de la catégorie des anneaux
(commutatifs) vers la catégorie des anneaux (commutatifs) réduits, est un adjoint à gauche du foncteur
-d'oubli (inclusion des anneaux réduits dans les anneaux). Alternativement,
-l'application injective $A_{\red}^\japmath{田}(B)→A^\japmath{田}(B)$ déduite de la surjection $A↠A_{\red}$
-est une bijection si $B$ est réduit.
+d'oubli (inclusion des anneaux réduits dans les anneaux).
\begin{démo}
\XXX
@@ -390,12 +244,12 @@ induit une bijection $\Spec(A_{\red}) ⥲ \Spec(A)$.
\begin{démo}
D'après \ref{ideaux-quotient}, cela revient à démontrer que tout idéal premier
de $A$ contient $\Nilp(A)$.
-Or, si $𝔭∈\Spec(A)$, et $x∈\Nilp(A)$, il existe $n_x∈𝐍$ tel que $x^{n_x}=0∈𝔭$.
+Or, si $𝔭∈\Spec(A)$, et $x∈\Nilp(A)$, il existe $n_x∈𝐍$ tel que $x^{n_x}=0∈𝔭$.
Il en résulte que $x∈𝔭$. CQFD.
\end{démo}
Comme on vient de le voir, la proposition précédente est
-équivalente à l'inclusion $\Nilp(A)⊆⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭$. Cette dernière est une égalité :
+équivalente à l'inclusion $\Nilp(A)⊆⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭$. Cette inclusion est une égalité :
\begin{proposition2}\label{caracterisation-nilpotents}
Soit $A$ un anneau.
@@ -435,15 +289,6 @@ on tire : $b₀=1$, $a=b₁$ (car $b₁-ab₀=0$), $b₂=ab₁=a²$ (car $b₂-
récurrence, $b_i=ab_{i-1}=a^i$ pour $i≤r$. D'autre part, $a^{r+1}=ab_r=0$. CQFD.
\end{démo}
-\begin{remarques2}
-On trouvera en \refext{Tens}{nilradical} une autre démonstration
-de cette proposition par \emph{localisation} ; elles sont en
-fait identiques, au langage près.
-
-Nous introduirons dans un chapitre ultérieur l'anneau $A[[X]]$ des séries formelles à
-coefficients dans $A$.
-\end{remarques2}
-
\subsection{Nil-idéal et idéal nilpotent}
\begin{définition2}
@@ -481,7 +326,7 @@ tout polynôme nilpotent est à coefficients nilpotents, et réciproquement.
\end{exercice2}
-\section{Idempotents d'un anneau (I)}\label{idempotents I}
+\section{Idempotents d'un anneau, connexité (I)}\label{idempotents I}
\subsection{Définitions}
@@ -603,6 +448,27 @@ En d'autres termes, l'ensemble des points d'un
produit de $k$-algèbres à valeurs dans une $k$-algèbre \emph{connexe} (par exemple intègre)
est la réunion disjointes des points des facteurs.
+
+\begin{lemme2}
+$π₀(A)=\Spec(\Idem(A))$ etc.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+
+\begin{lemme2}
+$\End_{A}(A^X) → \End_{\Ens}(X)$ via connexité/spectre.
+compatible avec composition ; cas où $X=G$ ou $G$-ensemble.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.
+\end{démo}
+
+Pour des compléments ; cf. \refext{Boole}{}.
+
\begin{exercice2}
Montrer que si $A$ est un anneau nœthérien, tout
idempotent de $A$ est une somme d'idempotents indécomposables. En déduire que