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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-09 21:28:11 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-09 21:28:11 +0100
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[Alg,Spec,formes] π₀ (suite)
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-rw-r--r--chapitres/spectre.tex114
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index 177f4ad..dbad3a2 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -399,42 +399,55 @@ et
\[f ⊠ (e ⊞ e ′)=f(e-e ′)²=f²(e-e ′)²=(fe-fe ′)²= (f ⊠ e)⊞(f ⊠ e ′).\]
\end{démo}
-\begin{exercice2}\label{addition dans IdemA}
+\subsubsection{Treillis et algèbres de Boole}
+\label{addition dans IdemA}
On appelle \emph{treillis} (ou \emph{ensemble réticulé})
un ensemble ordonné dans lequel toute famille finie (ou de façon équivalente : à deux
éléments) a une borne inférieure et une borne supérieure.
-%Cela revient à dire que dans la catégorie associée à la relation
-%d'ordre, les limites et colimites finies existent.
-Il est dit « distributif » si le minimum (noté souvent $∧$, « et »)
-de deux éléments et le maximum (souvent noté $∨$, « ou ») de deux éléments
+(Cela revient à dire que, dans la catégorie associée à la relation
+d'ordre, les limites et colimites finies existent.)
+Il est dit « distributif » si le minimum (noté souvent $∧$, lu « et »)
+de deux éléments et le maximum (souvent noté $∨$, lu « ou ») de deux éléments
sont des opérations distributives l'une par rapport à
l'autre. Explicitement : $\sup(x,\inf(y,z))=\inf(\sup(x,y),\sup(x,z))$
et $\inf(x,\sup(y,z))=\sup(\inf(x,y),\inf(x,z))$.
-
-\begin{enumerate}
-\item Soit $B$ une algèbre de Boole.
-Montrer que la relation d'ordre sur $B$ définie par :
+Considérons maintenant une algèbre de Boole $B$ dont on note $⊕$ l'addition.
+La relation d'ordre sur $B$ définie par :
\[x≤y \text{ si et seulement si } y \text{ divise } x \]
fait de $B$ est un treillis distributif d'éléments minimum $0$ et
-maximum $1$ et pour lequel $x ∧ y=xy$.
-\item Montrer que pour tout $x∈B$, il existe un unique $x'$, noté
-$¬x$, tel que $x∧x'=0$ et $x∨x'=1$.
-\item Montrer que pour chaque $x,y$ dans $B$ on a les égalités
+maximum $1$ et pour lequel $x ∧ y=xy$. Fixons en effet
+deux éléments $x$ et $y$ dans $B$. Si $z$ satisfait
+les deux inégalités $z≤x$ et $z≤y$, il existe donc $a$ et $b$ dans $B$
+tels que $z=xa$ et $z=yb$. On a donc $z²=z=xy(ab)$ ; il en résulte
+immédiatement que le produit $xy$ est le minimum $x∧y$ de $x$ et $y$.
+D'autre part, on a les égalités $x=(x+y+xy)x$ et de même pour $y$
+si bien que $x+y+xy$ majore $x$ et $y$. Réciproquement, si $x≤z$ et $y≤z$
+— c'est-à-dire si $x=za$ et $y=zb$ pour $a$ et $b$ dans $B$ — on a $x+y+xy=z(a+b+ab)$
+d'où $x+y+zy≤z$. Il en résulte que le maximum $x∨y$ de $x$ et $y$
+existe et vaut $x+y+xy$. La distributivité résulte
+d'un simple calcul : on vérifie par exemple que $x∨(y∧z)=x+yz+xyz$
+et $(x∨y)∧(x∨z)=(x+y+xy)(x+z+xz)=x+yz+xyz$.
+Observons que pour tout $x∈B$, il existe un unique élément,
+appelé « complément » et noté $¬x$, tel que $x∧ ¬x=0$ et $x∨ ¬x=1$ :
+poser $¬ x=1+x$. Les opérations précédentes permettent
+de retrouver l'addition dans l'algèbre de Boole $B$ :
+pour chaque $x$ et $y$ on a les égalités
\[x⊕y=(x∧¬y)∨(¬x∧y)=¬(¬(x∧¬y)∧¬(¬x∧y)).\]
+Il en résulte notamment que l'addition $⊞$
+définie en \ref{opérations sur idempotents}
+est la seule addition sur $\Idem(A)$ pour laquelle on ait
+$e∧e'=ee'$ (produit dans $A$) et $¬e=1-e$ (soustraction dans $A$).
-% Solution. Supposons $z≤x$ et $z≤y$ de sorte que $z=xa$ et $z=yb$. On a donc
-% $z²=z=xy(ab)$ ; $xy$ est donc le min $x∧y$ de $x$ et $y$. D'autre part,
-% $x=(x+y+xy)×(x)$ donc $x≤(x+y+xy)$. Réciproquement, si $x≤z$ et $y≤z$
-% (càd $x=za$, $y=zb$), $x+y+xy=z(a+b+ab)$ d'où $x+y+zy≤z$ ; $x+y+xy$ est
-% donc le max $x∨y$ de $x$ et $y$. Distributivité : $x∨(y∧z)=x+yz+xyz$
-% et $(x∨y)∧(x∨z)=(x+y+xy)(x+z+xz)=x+yz+xyz$. Idem pour
-% l'autre. Enfin, le « complément » $¬x$ de $x$ est $1+x$.
-
-\item En déduire que l'addition $⊞$ définie en \ref{opérations sur idempotents}
-est la seule addition pour laquelle on a :
-$e∧e'=ee'$ (produit dans $A$) et $¬e=1-e$ (dans $A$).
-\end{enumerate}
-\end{exercice2}
+\begin{proposition2}
+\label{ideal Boole type fini est principal}
+Tout idéal de type fini d'une algèbre de Boole est principal.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte immédiatement du fait que tout ensemble fini
+a une borne inférieure pour l'ordre défini ci-dessus.
+Voir aussi \ref{exercice-idéal idempotent engendré par idempotent}.
+\end{démo}
\begin{proposition2}\label{unités et nilpotents algèbre de Boole}
Le seul élément idempotent \emph{inversible} (resp. \emph{nilpotent})
@@ -483,6 +496,7 @@ le quotient $B/𝔭$ est une algèbre de Boole intègre.
\subsection{Ensemble des composantes connexes, connexité}
\begin{définition2}
+\label{composantes connexes}
On appelle \emph{ensemble des composantes connexes}
\index{composantes connexes}\index{π₀} d'un anneau
commutatif $A$ le spectre $\Spec(\Idem(A))$ de l'algèbre
@@ -498,7 +512,7 @@ ou « spectre booléien » de l'anneau $A$, cf.
Les égalités $4x=4x²=(2x)²=2x$ montrent que $2x=0$
de sorte que $B$ est naturellement une $𝐅₂$-algèbre.
Ceci justifie la terminologie ; notons cependant
-que N. Bourbaki les appellent plutôt « anneaux booléiens ».
+que N. Bourbaki les appelle plutôt « anneaux booléiens ».
D'après \ref{SpecBoole=HomF2} et \ref{points rationnels et ideaux
maximaux}, appliqués à $\Idem(A)$, on a donc :
\[
@@ -560,6 +574,30 @@ algèbres de Boole. Par passage au spectre, chaque morphisme $f:A → B$
induit (de façon contravariante) une application $π₀(f): π₀(B) →
π₀(A)$.
+\begin{proposition2}
+\label{pi0=quotient Spec}
+L'application $\Spec(A) → π₀(A)$, $𝔭 ↦ 𝔭 ∩ \Idem(A)$ est surjective.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Notons que $𝔭 ∩ \Idem(A)$ est bien un idéal premier de $\Idem(A)$ :
+c'est le noyau du morphisme $\Idem(A) → \Idem(A/𝔭)=𝐅₂$.
+Soit $𝔵 ∈ π₀(A)=\Spec(\Idem(A))$. L'idéal $𝔵A$ de $A$
+engendré par $𝔵$ (vu comme sous-ensemble de $A$) est strict.
+En effet si l'unité $1$ appartenait à $𝔵A$, elle appartiendrait
+à un $𝔶A$, pour une idéal $𝔶$ de type fini convenable de $\Idem(A)$
+contenu dans $𝔵$. (Écrire $1$ comme une somme finie.) Or, $𝔶$ est
+principal (\ref{ideal Boole type fini est principal}) : on a
+donc $1=ya$, d'où $y ∈ A^×$ et, finalement $y=1$ (\ref{unités et nilpotents algèbre de Boole}).
+C'est absurde car $𝔵$ est un idéal strict de $\Idem(A)$.
+L'idéal $𝔵A$ étant strict, il est contenu dans un idéal maximal $𝔪$
+de $A$. Par construction l'idéal premier $𝔪 ∩ \Idem(A)$ contient $𝔵$. Comme $𝔵$ est
+maximal (\ref{SpecBoole=HomF2}), on a l'égalité $𝔪 ∩ \Idem(A)=𝔵$.
+CQFD.
+%(Variante : $1=ae+bf=(e+f-ef)(ae+bf)$ et $e+f-ef$ appartient à l'idéal
+%de $\Idem(A)$ engendré par $e$ et $f$ ; on a $e+f-ef=(e ⊞ f)⊞(e ⊠ f)$.)
+\end{démo}
+
\subsection{Produit et connexité}\label{algèbre Boole PX}
\subsubsection{}\label{idempotents-produit}
@@ -776,7 +814,9 @@ est un idempotent de $A$ d'image $ε$ dans $A_𝔵$.
L'idéal $𝔵$ de $\Idem(A)$ étant premier, il résulte de l'identité
$e(1-e)=0$ que soit $e$ appartient à $𝔵$ soit son complément
$1-e$ lui appartient. Dans le premier cas, $ε=0$ ;
-dans le second, $ε=1$. CQFD.
+dans le second, $ε=1$. Enfin, on a vu en \ref{pi0=quotient
+Spec} (démonstration) que $A/𝔵A$ est un anneau non nul :
+on a donc $1 ≠ 0$. CQFD.
\end{démo}
\begin{définition2}
@@ -829,12 +869,25 @@ dans le second, il est inversible. CQFD.
\begin{corollaire2}
\label{artinien=produit anneaux locaux}
-Tout anneau artinien est isomorphe à un produit fini d'anneaux locaux.
+Soit $A$ un anneau artinien.
+\begin{enumerate}
+\item L'anneau $A$ est isomorphe au produit fini
+des anneaux locaux artiniens $A/𝔵A$, où $𝔵$ parcourt $π₀(A)$.
+\item Les applications $\Specmax(A) ↪ \Spec(A)$ et $\Spec(A) ↠ π₀(A)$
+sont des bijections.
+\end{enumerate}
\end{corollaire2}
+% regarder Grothendieck, Bourbaki, appendice.
+% dire que artinien ⇒ Spec=Specmax
+\begin{démo}
+\XXX Utilise ce qui suit (produit etc. ) ⤳ déplacer la section
+suivante un cran plus haut.
+\end{démo}
\subsection{Une application : calculs d'ensembles d'homomorphismes}
\subsubsection{}Soient $k$ un anneau et $A,B$ deux $k$-algèbres. Posons $X=π₀(A)$ et $Y=π₀(B)$.
+% MOCHE
Chaque morphisme $f:A → B$ de $k$-algèbres induit une application
$π₀(f):Y → X$. Fixons un élément point $𝔶$ de $Y$ ; son
image $𝔵$ dans $X$ par $π₀(f)$ est l'idéal
@@ -956,7 +1009,8 @@ fixé ou bien au voisinage de l'infini. Etc.
Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau $A$.
Montrer que si $I=I²$, il existe $e ∈ \Idem(A)$
tel que $I=(e)$.
-% Matsumura, exercice 2.1
+% 松村, exercice 2.1
+% 中山 ⇒ ∃ i tel que (1-i)I=0$. OPS I principal et c'est alors facile
\end{exercice2}