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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-19 17:55:10 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-19 17:55:10 +0100
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index 87414c0..0d2e633 100644
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+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -267,7 +267,7 @@ de $A$ (cf. \ref{fonctorialite-spectre}), qui ne contient pas $a$ non plus.
\end{démo}
\begin{lemme2}\label{caracterisation-polynomiale-nilpotents}
-Soient $A$ un anneau commutatif et $a∈A$.
+Soient $A$ un anneau et $a∈A$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $a∈\Nilp(A)$ ;
@@ -337,7 +337,7 @@ tout polynôme nilpotent est à coefficients nilpotents, et réciproquement.
\subsection{Algèbre de Boole des idempotents}
\begin{définition2}\label{idempotent}
-Un élément $e$ d'un anneau $A$ est dit \emph{idempotent} \index{idempotent}
+Un élément $e$ d'un anneau commutatif $A$ est dit \emph{idempotent} \index{idempotent}
si $e²=e$. On note $\Idem(A)$ leur ensemble.
\end{définition2}
@@ -351,9 +351,9 @@ Si $e ′$ est un second idempotent, on vérifie
de $A$ sont idempotents.
\begin{proposition2}\label{IdemA=Boole}
- Soit $A$ un anneau commutatif. L'ensemble $\Idem(A)$
+ Soit $A$ un anneau. L'ensemble $\Idem(A)$
muni de l'addition $⊞$ et de la multiplication $⊠$ est un
- \emph{anneau de Boole}, c'est-à-dire un anneau commutatif dont
+ \emph{anneau de Boole}, c'est-à-dire un anneau dont
chaque élément est idempotent. Les éléments
neutres pour l'addition et la multiplication sont $0_A$ et $1_A$ respectivement.
\end{proposition2}
@@ -440,6 +440,9 @@ de Boole de ses idempotents. On le note $π₀(A)$.
\subsubsection{}Soit $B$ une algèbre de Boole et soit $x ∈ B$.
Les égalités $4x=4x²=(2x)²=2x$ montrent que $2x=0$
de sorte que $B$ est naturellement une $𝐅₂$-algèbre.
+Pour cette raison, on dira souvent « algèbre de Boole »
+(sous-entendu : sur $𝐅₂$) pour « anneau de Boole »,
+ces derniers étant d'ailleurs également appelés « anneau booléien ».
D'après \ref{SpecBoole=HomF2} et \ref{points rationnels et ideaux
maximaux}, appliqués à $\Idem(A)$, on a donc :
\[
@@ -448,7 +451,7 @@ maximaux}, appliqués à $\Idem(A)$, on a donc :
où l'ensemble de droite est $\Hom_{𝐅₂}(\Idem(A),𝐅₂)$.
\begin{proposition2}
-Soit $A$ un anneau commutatif. Les conditions suivantes sont
+Soit $A$ un anneau. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
\begin{enumerate}
\item l'ensemble $π₀(A)$ est un singleton ;
@@ -461,13 +464,13 @@ Soit $A$ un anneau commutatif. Les conditions suivantes sont
Boole $\Idem(A)$ est isomorphe à $𝐅₂$ et son spectre est
ponctuel. (i) → (ii). Nous allons montrer plus généralement
que si $B$ est une algèbre de Boole de spectre ponctuel,
- alors $B$ est isomorphe à $𝐅₂$. Supposons que $B$ ne soit pas
- isomorphe à $𝐅₂$ ; il existe donc $x ∈ B$ différent de $0$ et
- $1$. L'idéal $(x)=Bx$ engendré par $x$ est strict car $x$ ne
+ alors $B$ est isomorphe à $𝐅₂$. Supposons $B$ non isomorphe
+ à $𝐅₂$ de sorte qu'il existe $x ∈ B$ différent de $0$ et $1$.
+ L'idéal $(x)=Bx$ engendré par $x$ est strict car $x$ ne
peut pas être une unité, sans quoi l'égalité $x(1-x)=0$
- entraînerait $x=1$. Ainsi, il existe un idéal maximal $𝔪$
+ entraînerait $x=1$. Ainsi, il existe un idéal maximal
contenant $x$. Pour la même raison, il existe un idéal
- maximal $𝔪 ′$ contenant $1-x$. Ces idéaux sont nécessairement
+ maximal contenant $1-x$. Ces idéaux sont nécessairement
distincts : s'ils étaient égaux, ils contiendraient
$x+(1-x)=1$.
\end{démo}
@@ -482,7 +485,7 @@ Un tel anneau est alors non nul et ses idempotents sont l'élément
neutre $0$ et l'unité $1$.
\subsubsection{Fonctorialité}
-Soit $f:A → B$ un morphisme d'anneaux commutatifs.
+Soit $f:A → B$ un morphisme d'anneaux.
L'image par $f$ d'un idempotent de $A$ étant idempotent,
le morphisme $f$ induit un morphisme d'anneau $\Idem(f):\Idem(A)
→ \Idem(B)$. On vérifie sans peine que si $g:B→C$
@@ -495,85 +498,145 @@ algèbres de Boole. Par passage au spectre, chaque morphisme $f:A → B$
induit (de façon contravariante) une application $π₀(f): π₀(B) →
π₀(A)$.
-\subsubsection{}Soit $X$ un ensemble. On définit sur l'ensemble $𝔓(X)$
-des parties de $X$ est une structure d'anneau booléien
-en posant : $EF=E ∩ F$ et $E+F=(E ∩ CF) ∪ (F ∩ CE)$ (différence
-symétrique, aussi notée $E Δ F$). Cet anneau est isomorphe à l'anneau $𝐅₂^X$ des
-applications de $X$ dans $𝐅₂$ : on envoie une partie $E ⊆X$
-sur sa fonction caractéristique $χ_E$.
+\subsection{Fonctions sur un ensemble à valeurs dans un anneau ; l'algèbre de Boole des parties d'un ensemble}\label{algèbre Boole PX}
+
+\subsubsection{}\label{idempotents-produit}
+Soit $X$ un ensemble. On définit sur l'ensemble $𝔓(X)$
+des parties de $X$ une structure d'anneau booléien
+en posant : $EF=E ∩ F$ et $E+F=(E ∩ 𝖢F) ∪ (F ∩ 𝖢E)$ (différence
+symétrique, aussi notée $E Δ F$).
+Soit $A_x$, $x ∈ X$ une famille d'anneaux. L'anneau des
+idempotents du produit $∏_{x ∈ X} A_x$ est naturellement
+isomorphe au produit $∏_{x ∈ X} \Idem(A_x)$ :
+$(a_x)_x$ est idempotent si et seulement
+chaque $a_x$ l'est. Si les $A_x$ sont connexes, c'est-à-dire
+si $\Idem(A_x)=𝐅₂$, l'anneau $\Idem(∏_x A_x)$ est donc isomorphe
+à l'anneau booléien $𝐅₂^X=\Hom(X,𝐅₂)$.
+Cet anneau est, à son tour, isomorphe à l'anneau
+$𝔓(X)$ : l'application $f ↦ f^{-1}(1)$ est un isomorphisme
+d'anneau de Boole d'inverse envoyant un sous-ensemble $E$
+de $X$ sur sa fonction caractéristique.
+
+\begin{proposition2}\label{SpecPX et ideaux-k-X}
+Soient $X$ un ensemble et $k$ un corps.
+\begin{enumerate}
+\item \begin{enumerate}
+ \item Pour chaque $x ∈ X$, l'ensemble $𝔭_x=\{E ⊆X:x ∉ E\}$ est un idéal maximal de $𝔓(X)$.
+ \item Pour chaque $x ∈ X$, l'ensemble $𝔮_x=\{f ∈ k^X:f(x)=0\}$ est un idéal maximal de $k^X$.
+\end{enumerate}
+\item Supposons $X$ fini.
+\begin{enumerate}
+\item Les applications $𝔭 : X → \Spec(𝔓(X))$ et $𝔮:X → \Spec(k^X)$ sont des bijections.
+\item L'application $E \mapsto ℐ_E:=\{f\colon X→k:f(E)=\{0\}\,\}$
+est une \emph{bijection} entre $𝔓(X)$ et l'ensemble des idéaux de $k^X$.
+De plus, pour tout $E⊆X$ le morphisme de projection $k^X→k^E$
+(restriction des fonctions) induit un isomorphisme $k^X/ℐ_E ⥲ k^E$.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
-\begin{proposition2}
-Soient $A$ un anneau commutatif connexe, $X$ un ensemble
-et $A^X$ l'anneau produit $\Hom_{\Ens}(X,A)$ des fonctions
-à valeurs dans $A$. L'application $\Idem(A^X) → 𝒫(X)$,
-$(φ: X → A) ↦ (φ^{-1}(1))$ est un isomorphisme
-d'algèbres de Boole.
+\begin{corollaire2}
+Soient $A$ un anneau connexe et $X$ un ensemble fini.
+L'ensemble $π₀(A^X)$ des composantes connexes
+de $A^X$ est naturellement en bijection avec l'ensemble $X$.
+\end{corollaire2}
+\begin{démo}[Démonstration de la proposition]
+ (i)(a) Pour chaque $x$, l'image de $𝔭_x$ par $χ$ est le sous-ensemble de
+$𝐅₂^X$ des fonctions nulles en $x$. Il suffit donc de démontrer la
+proposition pour l'anneau $𝐅_2^X$ et, plus généralement,
+$k^X$ où $k$ est un corps. (Notons que $k^X$ n'est booléien
+que lorsque le corps $k$ est $𝐅₂$.)
+(b) Il est clair que $𝔮_x$ est un idéal de $k^X$,
+maximal. (Notons d'ailleurs que l'application quotient $k^X ↠ k=k^X / 𝔮_x$
+n'est autre que le morphisme d'évaluation $\ev_x$ en $x$.)
+(ii)(a) Il suffit de vérifier l'énoncé concernant $k^X$. Soit $𝔪$ un idéal maximal de
+$k^X$ et supposons qu'il est différent de chacun des
+idéaux maximaux $𝔮_x$. Il existe donc pour chaque $x ∈ X$,
+un élément $f_x ∈ 𝔪$ tel que $f_x(x)$ soit non nul
+(nécessairement égal à $1$). Quitte à multiplier
+$f_x$ par la fonction $\frac{1}{f_x(x)} χ_{\{x\}}$,
+on peut supposer que la fonction caractéristique
+$χ_{\{x\}}$ du singleton appartient à $𝔪$.
+Si $X$ est fini, la somme $∑_{x ∈ X} χ_{\{x\}}$ a un sens
+et est égale à l'unité de $k^X$. Elle appartient à $𝔪$ ; absurde.
+(b) Soit $ℐ$ un idéal de $k^X$ et soit $E ⊆ X$
+l'ensemble l'annulation de $ℐ$, c'est-à-dire
+l'ensemble des $x∈X$ tels que $f(x)=0$ pour chaque $f$ dans $ℐ$.
+Par construction on a l'inclusion $ℐ⊆ℐ_{E}$. D'autre part, pour chaque
+$x∉E$, il existe une fonction $f∈ℐ$ telle que $f(x)≠0$. Comme
+ci-dessus, on constate que $χ_{\{x\}}$ appartient également à $ℐ$.
+Ces fonctions caractéristiques (« Dirac ») engendrent, comme $k$-espace vectoriel,
+l'idéal $ℐ_E$ de sorte que l'on a l'inclusion $ℐ_Y⊆ℐ$ et, finalement, l'égalité.
+Le dernier point est évident.\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Lorsque $X$ est infini, on dispose d'une caractérisation
+semblable des idéaux de $k^{(X)}$ (fonctions à support fini) ;
+les idéaux maximaux de $k^X$ sont quant à eux associés
+aux \emph{ultrafiltres} sur $X$. \XXX
+\end{remarque2}
-\end{proposition2}
+\subsection{Idempotents et décomposition en produit}
+\begin{lemme2}
+Soit $A$ un anneau.
+Pour tout idempotent $e∈A$, l'addition et la multiplication de $A$ induisent une
+structure d'\emph{anneau} sur l'idéal $Ae$, dont l'identité est
+$e$. L'application $A→Ae$, $a\mapsto ae$, est un morphisme surjectif d'anneaux.
+\end{lemme2}
-\subsection{Idempotents et décomposition en produit}
+Par la suite, les idéaux $Ae$ seront toujours munis
+de la structure d'anneau induite. Notons que
+l'inclusion $Ae ↪ A$ n'est \emph{pas} un morphisme d'anneaux
+lorsque $e ≠ 1$ ; elle induit cependant une injection
+$\Idem(Ae) ↪ \Idem(A)$.
-\begin{définition2}\label{idempotent indécomposable}
+\begin{proposition2}\label{idempotent indécomposable}
+Soient $A$ un anneau et $e$ un idempotent \emph{non nul}.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
- \item Deux idempotents $e,e'$ sont dit \emph{orthogonaux} \index{idempotents orthogonaux} si $ee'=0$.
- \item Un idempotent $e$ est dit \emph{décomposable} \index{idempotent décomposable} s'il existe
-deux idempotents non nuls $e₁$ et $e₂$ tels que $e=e₁+e₂$ et $e₁e₂=0$. Dans le cas contraire, il est dit
-\emph{indécomposable}.
+ \item l'anneau $Ae$ est connexe ;
+ \item l'idempotent $e$ est \emph{indécomposable}\index{idempotent décomposable} :
+ il n'existe pas d'idempotents non nuls $e₁,e₂$ tels
+ que $e=e₁+e₂$ et $e₁e₂=0$.
\end{enumerate}
-\end{définition2}
-
+\end{proposition2}
-\begin{lemme2}\label{idempotents-produit}
-Soient $A$ un anneau \emph{intègre} et $X$ un ensemble \emph{fini}.
-Les applications « fonction caractéristique » et « image réciproque de $1$ »
-sont des bijections inverses l'une de l'autre entre
-l'ensemble $𝒫(X)$ des parties de $X$ et l'ensemble $\Idem(A^X)$
-des idempotents de l'algèbre des fonctions sur $X$ à valeur dans $A$.
-Par cette bijection, les singletons de $𝒫(X)$ correspondent aux idempotents indécomposables
-de $\Idem(A^X)$.
-\end{lemme2}
+Deux idempotents de produit nul sont dits
+\emph{orthogonaux}\index{idempotents orthogonaux}.
\begin{démo}
-Soit $\mathbf{1}:𝒫(X)→\Idem(A^X)$ (resp. $S:\Idem(A^X)→𝒫(X)$) l'application envoyant une partie $Y⊆X$ sur sa
-fonction caractéristique $\mathbf{1}_Y$ (resp. une fonction idempotente $e:X→A$
-sur son support $e^{-1}(1)$). Par définition, $S\mathbf{1}=\Id$.
-Pour montrer que ce sont des bijections inverses l'une de l'autre, il suffit de
-vérifier que l'application $\mathbf{1}$ est surjective, \cad que toute fonction
-idempotente de $A^X$ ne prend que $0$ et $1$ pour valeurs. Or, si $e$ est une
-fonction idempotent, et $x∈X$, l'élément $e(x)∈A$ est idempotent. L'anneau $A$
-étant intègre, on a donc $e(x)∈\{0,1\}$. CQFD.
-
-Les décompositions $e=e₁+e₂$ d'une fonction idempotente de $A^X$
-en idempotents orthogonaux correspondent par la bijection précédente aux
-partitions de $S(e)$ en deux parties disjointes. L'énoncé sur les
-indécomposables en résulte.
+ (i) ⇒ (ii). Supposons $e$ somme de deux idempotents
+ orthogonaux. Multipliant l'égalité $e=e₁+e₂$ par $e₁$, on
+ obtient : $e₁e=e₁$. Ainsi,
+$e₁$ appartient à $Ae$. Cet anneau étant connexe, les idempotents
+de $Ae$ sont l'unité $e$ et $0$. (Ils sont distincts par hypothèse.)
+Ainsi, $e₁=e$ ou $e₁=0$ c'est-à-dire $e₂=0$ ou $e₁=0$. CQFD.
+ (ii) ⇒ (i). Supposons $e$ indécomposable et montrons que
+ l'anneau $Ae$ est connexe. Soit $f$ un idempotent de $Ae$
+ (donc de $A$). Les éléments $fe$ et $(1-f)e$ sont des idempotents
+ orthogonaux et on a l'égalité : $e=fe+(1-f)e$. Il en résulte
+ que $fe=0$ ou bien $(1-f)e=0$. Or, $fe=f$, comme on le
+ constate en multipliant $f ∈ Ae$ par $e$ à droite
+ ($(ae)e=ae²=ae$) de sorte que $f=0$ ou $f=e$.
\end{démo}
-On verra dans un chapitre ultérieur que les applications définies dans le lemme
-sont des isomorphismes d'\emph{algèbres de Boole}.
-
-\begin{lemme2}\label{decomposition-idempotents-orthogonaux}
-Soit $A$ un anneau.
-\begin{enumerate}
-\item Pour tout idempotent $e∈A$, l'addition et la multiplication de $A$ induisent une
-structure d'\emph{anneau} sur l'idéal $Ae$, dont l'identité est
-$e$. L'application $A→Ae$, $a\mapsto ae$, est un morphisme surjectif d'anneaux.
-\item Le morphisme $δ:A→Ae×A¬e$, $a\mapsto (a\cdot e,a\cdot ¬e)$
+\begin{proposition2}\label{decomposition-idempotents-orthogonaux}
+Soient $A$ un anneau et $e$ un idempotent de $A$.
+Le morphisme $δ:A→Ae×A¬e$, $a\mapsto (a\cdot e,a\cdot ¬e)$
est un isomorphisme, d'inverse $σ:(a',b')\mapsto a'+b'$.
-Plus généralement, si $(e_i)_{i∈I}$ est une famille finie orthogonale d'idempotents
-telle que $∑_i e_i=1$, le morphisme $A→∏_i Ae_i$, $a\mapsto (ae_i)_{i∈I}$, est un isomorphisme.
-\end{enumerate}
-\end{lemme2}
+Plus généralement, si $(e_i)_{i∈I}$ est une famille finie
+d'idempotents deux à deux orthogonaux telle que $∑_i e_i=1$,
+le morphisme $A→∏_i Ae_i$, $a\mapsto (ae_i)_{i∈I}$, est un isomorphisme.
+\end{proposition2}
La propriété $∑_i e_i=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idempotents est \emph{complète}.
(On peut y penser comme à une partition de l'unité particulière.)
\begin{démo}
-(i) Cela résulte des identités : $(a+b)e=ae+be$ et $(ab)e=(ae)(be)$.
-(ii) Puisque $a\cdot e+a\cdot ¬e=a$, on a $σδ=\Id$. Inversement, si $a'=αe$ et
+Puisque $a\cdot e+a\cdot ¬e=a$, on a $σδ=\Id$. Inversement, si $a'=αe$ et
$b'=β¬e$, on a $δσ(a',b')=δ(αe+β¬e)=\big((αe+β¬e)e,(αe+β¬e)¬e\big)=(αe,β¬e)$ car
$e¬e=0$. Ainsi $δσ=\Id$. La démonstration du cas général est identique.
\end{démo}