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+
+\title{Spectre et idéaux premiers}
+
+\externaldocument{categories}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\setcounter{tocdepth}{1}
+\tableofcontents
+
+\else
+\chapter{Spectre et idéaux premiers}
+\fi
+
+Dans ce chapitre, sauf mention du contraire,
+les anneaux sont \emph{commutatifs} unitaires.
+
+\section{Spectre premier et maximal d'un anneau. Points rationnels et
+localisation}
+
+\subsection{Généralités sur le spectre}
+\begin{definition2}\label{premier}
+Un idéal $𝔭$ d'un anneau $A$ est dit \emph{premier} (resp. \emph{maximal}) si l'anneau quotient
+$A/𝔭$ est intègre (resp. est un corps). On note $κ(𝔭)$ le corps des fractions de
+l'anneau intègre $A/𝔭$ ; c'est le \emph{corps résiduel de $A$ en $𝔭$}.
+\end{definition2}
+
+Rappelons que par convention un anneau intègre est non nul : $0≠1$.
+
+\begin{définition2}\label{spectre}
+Soit $A$ un anneau. On appelle \emph{spectre} \index{spectre} (resp.
+\emph{spectre maximal}) \index{spectre maximal} de $A$
+l'ensemble de ses idéaux premiers (resp. maximaux).
+On le note $\Spec(A)$ (resp. $\Specmax(A)$).
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-spectre}
+Soit $f:A→B$ un morphisme d'anneaux. Pour tout idéal premier $𝔭$ de $B$, l'idéal
+$𝔮=f^{-1}(𝔭)$ de $A$ est premier. De plus, le morphisme $A/𝔮→B/𝔭$ déduit de $f$
+est injectif et induit un morphisme $κ(𝔮)↪κ(𝔭)$ entre les corps résiduels.
+\end{proposition2}
+
+On note $\Spec(f):\Spec(B)→\Spec(A)$, l'application ci-dessus.
+On vérifie sans peine que si $f:A→B$ et $g:B→C$ sont des morphismes
+d'anneaux, les applications $\Spec(gf)$ et $\Spec(f)∘\Spec(g)$
+de $\Spec(C)$ vers $\Spec(A)$ coïncident.
+En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur}), $A↦\Spec(A)$, $(f:A→B)↦\big(\Spec(f):\Spec(B)→\Spec(A)\big)$
+est un \emph{foncteur contravariant} de la catégorie des anneaux
+(commutatifs) vers la catégorie des ensembles.
+
+\begin{démo}
+Soit $𝔭∈B$. Notons $N$ le noyau du morphisme composé $A→B↠B/𝔭$.
+Le morphisme $A/N→B/𝔭$ qui s'en déduit est donc injectif ; puisque $B/𝔭$ est intègre,
+l'anneau $A/N$ l'est également. Il suffit alors de remarquer que $N=f^{-1}(𝔭)$.
+Le dernier point résulte du fait que l'inclusion $A/𝔮↪B/𝔭$ induit une inclusion
+$\Frac(A/𝔮)↪\Frac(B/𝔭)$.
+\end{démo}
+
+Observons que l'application $\Spec(f)$ n'envoie en général par le sous-ensemble
+$\Specmax(B)$ de $\Spec(B)$ dans $\Specmax(A)⊆\Spec(A)$ : un sous-anneau intègre
+d'un corps n'est pas nécessairement un corps.
+
+Considérons maintenant le cas particulier où $B$ est un quotient de $A$.
+
+\begin{proposition2}\label{ideaux-quotient}
+Soient $A$ est un anneau, $I$ un idéal de $A$ et $π$ la surjection canonique
+$A↠A/I$. L'application $J \mapsto π^{-1}(J)$ induit
+une bijection, croissante pour l'inclusion, entre les idéaux (resp. les idéaux premiers, resp. les idéaux maximaux)
+de l'anneau quotient $A/I$ et l'ensemble des idéaux de $A$ (resp. premiers,
+maximaux) contenant $I$. De plus, si $𝔭∈\Spec(A/I)$ et $𝔮$ désigne son
+image dans $\Spec(A)$, l'injection canonique $κ(𝔭)↪κ(𝔮)$ est un isomorphisme.
+\end{proposition2}
+
+Cf. \bbka{I}{8}{8}{proposition 5}. \XXX
+
+\begin{convention2}\label{convention image inverse idéal}
+Un morphisme $f:A→B$ étant donné, on note parfois $𝔮∩A$ (resp. $J∩A$) l'image
+inverse $f^{-1}(𝔮)$ (resp. $f^{-1}(J)$) de l'idéal premier $𝔮$ (resp.
+de l'idéal $J$) de $B$.
+\end{convention2}
+
+\begin{théorème2}[Krull]\label{Krull}
+Tout idéal strict d'un anneau est contenu dans un idéal maximal.
+\end{théorème2}
+
+Cf. \bbka{I}{8}{6}{théorème 1}. \XXX
+
+De même :
+
+\begin{théorème2}
+Tout idéal premier d'un anneau contient un idéal premier
+\emph{minimal}.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Il suffit d'après le théorème de Zorn de vérifier que si $P$ est une famille
+non vide d'idéaux premiers, totalement ordonnée pour l'inclusion, l'intersection
+$𝔭$ des idéaux $𝔮∈P$ est un idéal premier.
+Or, si ni $x$ ni $y$ n'appartiennent à $𝔭$,
+il existe $𝔮∈P$ tel que $x∉𝔮$ et $y∉𝔮$, la famille
+des idéaux étant totalement ordonnée.
+Ainsi, $xy∉𝔮$ et, \emph{a fortiori}, $xy∉𝔭$.
+\end{démo}
+
+\subsection{Points d'une $k$-algèbre}\label{points-algebre}
+
+Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire
+la donnée d'un morphisme d'anneaux $k→A$.
+Pour toute $k$-algèbre $B$, on note $A^\japmath{田}(B)$
+l'ensemble $\Hom_k(A,B)$ (cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}).
+
+Le lemme suivant décrit cet ensemble comme
+un ensemble de points d'un espace affine.
+
+\begin{lemme2}\label{points-quotient}
+Si $A=k[X₁,\dots,X_n]/(f₁,\dots,f_e)$, et $B$ est une $k$-algèbre, l'application
+$$
+A^\japmath{田}(B)=\Hom_k(A,B)→\{(b₁,\dots,b_n)∈B^n:f₁(b₁,\dots,b_n)=\cdots=f_e(b₁,\dots,b_n)=0\}
+$$
+$$
+\big(φ:A→B\big)↦\big(φ(x₁),\dots,φ(x_n)\big),
+$$
+où les $x_i$ sont les images dans $A$ des variables $X_i$,
+est une bijection.
+\end{lemme2}
+
+En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur-representable}),
+l'anneau $A$ représente le foncteur covariant « solutions dans $B$ »
+des équations $f₁,\dots,f_e$. Il résulte de la démonstration
+(ci-dessous) que ce lemme est également, avec les modifications
+évidentes, pour les quotients d'un anneau de polynômes
+ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini d'indéterminées
+par un idéal ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini
+de générateurs.
+
+Dans cet énoncé, on a implicitement fait usage de la convention
+d'écriture suivante.
+
+\begin{convention2}\label{changement-de-base-polynome}
+Soient $k$ un anneau, $C$ une $k$-algèbre et $P∈k[X]$.
+Si aucune confusion ne semble pouvoir en résulter,
+on notera encore $P$ l'image dans $C[X]$ du polynôme $P$ par le morphisme
+canonique $k[X]→C[X]$.
+\end{convention2}
+
+\begin{démo}
+Observons que d'une part l'application $\Hom_k(k[X₁,\dots,X_n],B)→B^n$,
+$ψ↦\big(ψ(X_i)=:b_i\big)_{1≤i≤n}$ est une bijection et que d'autre part, par définition du quotient, un tel morphisme $ψ$
+se factorise à travers le quotient $k[X₁,\dots,X_n]↠A$ en un morphisme $φ:A→B$
+\ssi $ψ(f_j)=0$ pour chaque $1≤j≤e$. La conclusion résulte du fait que
+$ψ(f_j)=f_j(b₁,\dots,b_n)$.
+\end{démo}
+
+Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $A^\japmath{田}(k)=\Hom_k(A,k)$ s'appelle
+\emph{l'ensemble des points rationnels} \index{point
+rationnel} de $A$.
+%Remarquons que tout morphisme de $k$-algèbres
+%$A→k$ est surjectif car l'image est une sous-$k$-algèbre de $k$
+%contenant l'unité.
+
+Soit $f∈A^\japmath{田}(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est
+l'ensemble à un élément $\Spec(k)=\{(0)\}$. L'image de $\Spec(f)$ dans
+$\Spec(A)$ est, par définition, le singleton d'élément $f^{-1}(0)=\Ker(f)∈\Spec(A)$.
+
+\begin{lemme2}\label{points rationnels et ideaux maximaux}
+L'application $A^\japmath{田}(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image
+contenue dans $\Specmax(A)$. Son image est l'ensemble des $𝔮$ dans $\Specmax(A)$
+tel que le morphisme composé $k→A↠A/𝔮$ soit un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Commençons par montrer que pour chaque $f$ comme dans l'énoncé, $𝔭_f:=\Ker(f)$
+est maximal. Le morphisme $\bar{f}:A/𝔭_f→k$ déduit de $f$ par passage au
+quotient est, par construction, une injection. Puisque son image est une
+sous-$k$-algèbre de $k$, donc égale à $k$, $\bar{f}$ est un isomorphisme.
+L'idéal $𝔭_f$ est donc maximal. D'autre part, le morphisme composé
+$k→A↠A/𝔭_f→k$, où la première flèche est le morphisme structural
+$\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est
+l'identité car $\Hom_k(k,k)=\{\Id\}$. L'isomorphisme
+$A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant
+le quotient $A/𝔭_f$ de sa structure de $k$-algèbre naturelle.
+L'injectivité de l'application $A^\japmath{田}(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente :
+le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où
+la seconde flèche est l'inverse de l'isomorphisme $k→A↠A/𝔭$.
+Il résulte de cette description que l'image de l'ensemble des points rationnels
+dans $\Specmax(A)$ est l'ensemble des idéaux maximaux de corps résiduel $k$.
+\end{démo}
+
+\subsection{Localisation}\label{Spec-localisation}
+
+\subsubsection{}Soit $A$ un anneau. Une partie $S$ de $A$ est dite « multiplicative »
+si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou,
+de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$.
+Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une
+plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$
+contenant $S$ et multiplicative.
+
+Si $S$ est une partie multiplicative,
+la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par
+$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$
+tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note
+$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$.
+On vérifie immédiatement que les opérations
+\[(a/s)+(a'/s'):=(as'+a's)/(ss')\] et
+\[a/s)×(a'/s')=(aa')/(ss')\] munissent l'ensemble $A[S^{-1}]$
+d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application
+$A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}.
+Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose
+$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l'
+\emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la
+$A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément
+de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle
+localisation}). Si $𝔭$ est un idéal \emph{premier} de $A$, l'ensemble
+$A-𝔭$ est une partie multiplicative et on note plutôt
+$A_𝔭$ l'anneau $A[(A-𝔭)^{-1}]$, appelé \emph{localisé
+de $A$ en $𝔭$}. On vérifie immédiatement que si $A$ est un anneau intègre,
+le localisé $A_{(0)}$ est le \emph{corps des fractions} de $A$.
+
+\begin{proposition2}\label{Spec-spectre du localisé}
+Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
+Le morphisme canonique $A→A[S^{-1}]$ induit
+une \emph{injection} $\Spec(A[S^{-1}])→\Spec(A)$
+d'image
+\[
+\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}.
+\]
+\end{proposition2}
+
+En particulier, pour tout idéal premier $𝔭'$ de $A$,
+le spectre $\Spec(A_𝔭)$ s'identifie à $\{𝔭:𝔭⊆𝔭'\}$
+car la condition $𝔭∩(A-𝔭')=∅$ se $𝔭⊆𝔭'$.
+L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal
+maximal.
+
+\begin{démo}
+On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car
+$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
+Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
+réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
+car tout élément de $S$ est envoyé
+par $A→A[S^{-1}]$ sur un élément inversible
+et $𝔮$ ne contient pas de tels éléments.
+Montrons que l'application $c:\Spec(A[S^{-1}])→
+\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}$, $𝔮↦𝔮∩A$, est une bijection.
+Nous allons vérifier ci-dessous que l'application
+envoyant $𝔭∈\Spec(A)$ tel que $𝔭∩S=∅$ sur
+l'idéal $𝔮=𝔭A[S^{-1}]$ de $A[S^{-1}]$
+en est l'inverse. Fixons $𝔭$.
+Commençons par observer que tout élément de $𝔮$
+est de la forme $x/s$ où $x∈𝔭$ et $s∈S$.
+(Toute somme finie $∑_i x_i/s_i$ où $x_i∈𝔭$ et $s_i∈S$
+se met au même dénominateur.)
+Vérifions maintenant que l'idéal $𝔮$ est premier.
+Soient $a/s$ et $a'/s'$ tels que $(a/s)(a'/s')=x/{s''}∈𝔮$,
+où $x∈𝔭$. Par définition de l'anneau
+des fractions, il existe $t∈S$ tel que
+\[(ts'')(aa')=(tss')x.\]
+Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$.
+Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à
+$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$.
+Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application
+$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite
+de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$.
+D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel
+que $a/1=x/s$. On en tire $(ts)a=tx$ pour un $t∈S$ convenable
+et, finalement, $a∈𝔭$.
+Pour conclure, il nous reste à vérifier que pour tout
+$𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$, l'inclusion \emph{a priori}
+$(𝔮∩A)A[S^{-1}]⊆𝔮$ est une égalité. Soit $x=a/s∈𝔮$, où $a∈A$
+et $s∈S$. L'élément $a/1=(s/1)(a/s)$ appartient également à
+l'idéal $𝔮$ de sorte que $a∈𝔮∩A$. L'égalité $x=(a/1)(1/s)$ montre
+que $x∈(𝔮∩A)A[S^{-1}]$.
+\end{démo}
+
+Si $B$ est une $A$-algèbre et $S$ une partie de $A$,
+on note $B[S^{-1}]$ l'anneau des fractions de $B$
+défini par l'\emph{image} de $S$ dans $B$.
+
+Nous ferons régulièrement usage du lemme suivant,
+qui est un cas particulier d'un résultat de \emph{platitude}
+(cf. \refext{Tens}{platitude localisation}).
+
+\begin{proposition2}\label{Spec-cas particulier platitude localisation}
+Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
+Si $f:A→B$ est un morphisme \emph{injectif} d'anneau,
+le morphisme $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$, $a/s↦f(a)/f(s)$,
+est également injectif.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau.
+Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$.
+Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que
+$f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et,
+finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori},
+son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul.
+\end{démo}
+
+
+\section{Idéaux étrangers, lemme chinois}
+
+\subsection{Idéaux étranger}
+
+\begin{définition2}\label{ideaux etrangers}\index{idéaux étrangers}
+Deux idéaux $I$ et $J$ d'un anneau $A$ sont dits \emph{étrangers} si l'idéal
+$I+J$ qu'ils engendrent est égal à $A$.
+\end{définition2}
+
+\begin{lemme2}\label{puissance-etrangers=etrangers}
+Soient $I$ et $J$ deux idéaux étrangers d'un anneau $A$ et $N$ un entier.
+Alors $I^N$ et $J^N$ sont étrangers.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Par hypothèse, $I+J=A$ ; il existe donc deux éléments $i∈I$ et $j∈J$ tels que
+$i+j=1$. D'après la formule du binôme de Newton, l'élément $1=(i+j)^{2N}$ est la
+somme de $i'=∑_{α=0}^N \big({2N \choose α} j^α\big) i^{2N-α}∈I^N$ et
+de $j'=∑_{α=N+1}^{2N} \big({2N \choose α} i^{2N-α}\big) j^α∈J^N$.
+On a donc $I^N+J^N=A$.
+\end{démo}
+
+\subsection{Théorème chinois}
+
+\begin{théorème2}\label{lemme chinois}
+Soient $I₁,\dots,I_n$ ($n≥1$) des idéaux d'un anneau $A$, deux-à-deux étrangers.
+L'homomorphisme $A→∏_{i=1}^n A/I_i$ est \emph{surjectif}
+de noyau $I₁∩\cdots∩I_n=I₁\cdots I_n$.
+\end{théorème2}
+
+Cf. \bbkac{II}{1}{2}{proposition 5}.
+
+\section{Nilradical d'un anneau et anneaux réduits}
+
+\subsection{Définitions et premiers résultats}
+
+\begin{définition2}\label{nilpotents}
+Soit $A$ un anneau. Un élément $a∈A$ est dit \emph{nilpotent} \index{nilpotent}
+s'il existe un entier $n∈𝐍$ tel que $a^n=0$. On note $\Nilp(A)$ leur ensemble.
+\end{définition2}
+
+Il résulte de la formule du binôme de Newton que la somme de deux éléments
+nilpotents est nilpotente. D'autre part, le produit d'un élément nilpotent par
+un élément quelconque est nilpotent. L'ensemble $\Nilp(A)$ est donc un
+\emph{idéal} de $A$. Par construction, l'anneau quotient $A/\Nilp(A)$ n'a pas
+d'élément nilpotent non nul.
+
+\begin{définition2}\label{reduit}
+Un anneau $A$ est dit \emph{réduit} \index{réduit} si $\Nilp(A)=\{0\}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Pour tout anneau $A$, l'anneau quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$ est réduit.
+C'est le plus grand quotient réduit de $A$ : pour tout morphisme d'anneau $A→B$
+avec $B$ réduit, il existe un unique morphisme $A_{\red}→B$ à travers lequel
+$A→B$ se factorise.
+\end{proposition2}
+
+En d'autres termes, le foncteur $A↦A_{\red}$, de la catégorie des anneaux
+(commutatifs) vers la catégorie des anneaux (commutatifs) réduits, est un adjoint à gauche du foncteur
+d'oubli (inclusion des anneaux réduits dans les anneaux). Alternativement,
+l'application injective $A_{\red}^\japmath{田}(B)→A^\japmath{田}(B)$ déduite de la surjection $A↠A_{\red}$
+est une bijection si $B$ est réduit.
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\subsection{Une autre description du nilradical}
+
+\begin{proposition2}\label{red=homeo}
+Pour tout anneau $A$, la surjection canonique $A↠A_{\red}$
+induit une bijection $\Spec(A_{\red}) ⥲ \Spec(A)$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+D'après \ref{ideaux-quotient}, cela revient à démontrer que tout idéal premier
+de $A$ contient $\Nilp(A)$.
+Or, si $𝔭∈\Spec(A)$, et $x∈\Nilp(A)$, il existe $n_x∈𝐍$ tel que $x^{n_x}=0∈𝔭$.
+Il en résulte que $x∈𝔭$. CQFD.
+\end{démo}
+
+Comme on vient de le voir, la proposition précédente est
+équivalente à l'inclusion $\Nilp(A)⊆⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭$. Cette dernière est une égalité :
+
+\begin{proposition2}\label{caracterisation-nilpotents}
+Soit $A$ un anneau.
+$$\Nilp(A)=⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭.$$
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soit $a$ un élément non nilpotent. D'après le
+lemme ci-dessous, l'idéal principal $(1-aT)$ de $A[T]$
+est distinct de $A[T]$. D'après le théorème de Krull,
+il existe donc un idéal maximal $\MM$ de $A[T]$ contenant
+$1-aT$. Observons qu'il ne contient pas l'élément $a$ sans quoi $1$
+appartiendrait à $𝔪$. L'image inverse de $𝔪$ dans $A$ est un idéal premier
+de $A$ (cf. \ref{fonctorialite-spectre}), qui ne contient pas $a$ non plus.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{caracterisation-polynomiale-nilpotents}
+Soient $A$ un anneau commutatif et $a∈A$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item $a∈\Nilp(A)$ ;
+\item $1-aX∈A[X]^×$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+L'implication (i)⇒(ii) résulte de l'égalité
+« formelle » $(1-aX)\cdot (∑_{i≥0}a^i X^i)=1$ : le terme de droite est un polynôme
+si $a$ est nilpotent.
+
+Réciproquement, supposons que $1-aX$ soit une unité de $A[X]$ et notons
+$b₀+b₁X+\cdots+b_rX^r$ son inverse. De l'égalité
+$$
+1=(1-aX)(b₀+b₁X+\cdots+b_rX^r)=(-ab_r)X^{r+1}+(b_r-ab_{r-1})X^r+\cdots+(b_i-ab_{i-1})X^i+\cdots+(b₁-ab₀)+b₀,
+$$
+on tire : $b₀=1$, $a=b₁$ (car $b₁-ab₀=0$), $b₂=ab₁=a²$ (car $b₂-ab₁=0$) et, par
+récurrence, $b_i=ab_{i-1}=a^i$ pour $i≤r$. D'autre part, $a^{r+1}=ab_r=0$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{remarques2}
+On trouvera en \refext{Tens}{nilradical} une autre démonstration
+de cette proposition par \emph{localisation} ; elles sont en
+fait identiques, au langage près.
+
+Nous introduirons dans un chapitre ultérieur l'anneau $A[[X]]$ des séries formelles à
+coefficients dans $A$.
+\end{remarques2}
+
+\subsection{Nil-idéal et idéal nilpotent}
+
+\begin{définition2}
+On dit qu'un idéal $I$ d'un anneau est un \emph{nil-idéal} (resp. nilpotent) si tous ses éléments sont
+nilpotents (resp. si il existe un entier $N$ tel que $I^N=\{0\}$).
+\end{définition2}
+
+Tout idéal nilpotent est donc nil ; la réciproque est fausse en général.
+Cependant, on a la réciproque partielle suivante.
+
+\begin{lemme2}\label{Nil+noeth-implique-nilp}
+Tout nil-idéal de type fini est nilpotent.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soit $I=a₁A+\cdots+a_rA$ un nil-idéal de type fini d'un anneau $A$.
+Par hypothèse, il existe un entier $n$ tel que pour tout $1≤i≤r$, on ait
+$a_i^n=0$. Puisque tout élément de l'idéal $I^{rN+1}$ est somme de multiples des
+$a_i^N$, l'idéal $I$ est nilpotent.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{Nilradical-est-nilp}
+Le nilradical d'un anneau nœthérien est nilpotent.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+En effet, le nilradical est un nil-idéal par définition — c'est d'ailleurs le
+plus grand — ; il est de type fini, comme tout idéal de $A$, si $A$ est nœthérien.
+\end{démo}
+
+
+\begin{exercice2}
+Soit $A$ un anneau. Montrer que $\Nilp(A[X])=\Nilp(A)[X]$ :
+tout polynôme nilpotent est à coefficients nilpotents, et réciproquement.
+\end{exercice2}
+
+
+\section{Idempotents d'un anneau (I)}\label{idempotents I}
+
+\subsection{Définitions}
+
+\begin{définition2}\label{idempotent}
+Un élément $e$ d'un anneau $A$ est dit \emph{idempotent} \index{idempotent}
+si $e²=e$. On note $\Idem(A)$ leur ensemble.
+\end{définition2}
+
+Si $A$ est un anneau intègre, on a $\Idem(A)=\{0,1\}$.
+
+Il est immédiat que si $e$ est un idempotent, $¬e:=1-e$ l'est également
+et que l'on a $e\cdot ¬e=0$.
+
+\begin{définition2}
+Deux idempotents $e,e'$
+sont dit \emph{orthogonaux} \index{idempotents orthogonaux} si $ee'=0$.
+\end{définition2}
+
+\begin{définition2}\label{idempotent indécomposable}
+Un idempotent $e$ est dit \emph{décomposable} \index{idempotent décomposable} s'il existe
+deux idempotents non nuls $e₁$ et $e₂$ tels que $e=e₁+e₂$ et $e₁e₂=0$. Dans le cas contraire, il est dit
+\emph{indécomposable}.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Idempotents et décomposition en produit}
+
+\begin{lemme2}\label{idempotents-produit}
+Soient $A$ un anneau \emph{intègre} et $X$ un ensemble \emph{fini}.
+Les applications « fonction caractéristique » et « image réciproque de $1$ »
+sont des bijections inverses l'une de l'autre entre
+l'ensemble $𝒫(X)$ des parties de $X$ et l'ensemble $\Idem(A^X)$
+des idempotents de l'algèbre des fonctions sur $X$ à valeur dans $A$.
+Par cette bijection, les singletons de $𝒫(X)$ correspondent aux idempotents indécomposables
+de $\Idem(A^X)$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soit $\mathbf{1}:𝒫(X)→\Idem(A^X)$ (resp. $S:\Idem(A^X)→𝒫(X)$) l'application envoyant une partie $Y⊆X$ sur sa
+fonction caractéristique $\mathbf{1}_Y$ (resp. une fonction idempotente $e:X→A$
+sur son support $e^{-1}(1)$). Par définition, $S\mathbf{1}=\Id$.
+Pour montrer que ce sont des bijections inverses l'une de l'autre, il suffit de
+vérifier que l'application $\mathbf{1}$ est surjective, \cad que toute fonction
+idempotente de $A^X$ ne prend que $0$ et $1$ pour valeurs. Or, si $e$ est une
+fonction idempotent, et $x∈X$, l'élément $e(x)∈A$ est idempotent. L'anneau $A$
+étant intègre, on a donc $e(x)∈\{0,1\}$. CQFD.
+
+Les décompositions $e=e₁+e₂$ d'une fonction idempotente de $A^X$
+en idempotents orthogonaux correspondent par la bijection précédente aux
+partitions de $S(e)$ en deux parties disjointes. L'énoncé sur les
+indécomposables en résulte.
+\end{démo}
+
+On verra dans un chapitre ultérieur que les applications définies dans le lemme
+sont des isomorphismes d'\emph{algèbres de Boole}.
+
+\begin{lemme2}\label{decomposition-idempotents-orthogonaux}
+Soit $A$ un anneau.
+\begin{enumerate}
+\item Pour tout idempotent $e∈A$, l'addition et la multiplication de $A$ induisent une
+structure d'\emph{anneau} sur l'idéal $Ae$, dont l'identité est
+$e$. L'application $A→Ae$, $a\mapsto ae$, est un morphisme surjectif d'anneaux.
+\item Le morphisme $δ:A→Ae×A¬e$, $a\mapsto (a\cdot e,a\cdot ¬e)$
+est un isomorphisme, d'inverse $σ:(a',b')\mapsto a'+b'$.
+Plus généralement, si $(e_i)_{i∈I}$ est une famille finie orthogonale d'idempotents
+telle que $∑_i e_i=1$, le morphisme $A→∏_i Ae_i$, $a\mapsto (ae_i)_{i∈I}$, est un isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+La propriété $∑_i e_i=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idempotents est \emph{complète}.
+(On peut y penser comme à une partition de l'unité particulière.)
+
+\begin{démo}
+(i) Cela résulte des identités : $(a+b)e=ae+be$ et $(ab)e=(ae)(be)$.
+(ii) Puisque $a\cdot e+a\cdot ¬e=a$, on a $σδ=\Id$. Inversement, si $a'=αe$ et
+$b'=β¬e$, on a $δσ(a',b')=δ(αe+β¬e)=\big((αe+β¬e)e,(αe+β¬e)¬e\big)=(αe,β¬e)$ car
+$e¬e=0$. Ainsi $δσ=\Id$. La démonstration du cas général est identique.
+\end{démo}
+
+\subsection{Connexité d'un anneau}
+
+\begin{définition2}\label{définition anneau connexe}
+On dit qu'un anneau $A$ est \emph{connexe} s'il possède exactement deux
+idempotents.
+\end{définition2}
+
+Un tel anneau est alors non nul et ses idempotents sont l'élément neutre $0$ et
+l'unité $1$.
+
+\begin{exercice2}
+Montrer qu'un anneau local est connexe.
+\end{exercice2}
+
+\begin{lemme2}\label{produit=somme}
+Soient $k$ un anneau, $A=∏_i A_i$ un produit fini de $k$-algèbres
+et $B$ une $k$-algèbre \emph{connexe}.
+Le morphisme canonique
+$$
+∐_i \Hom_k(A_i,B)→\Hom_k(A,B).
+$$
+déduit des applications $\Hom_k(A_i,B)→\Hom_k(A,B)$ induites
+par les surjections $A↠A_i$ est une \emph{bijection}.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soit $e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$, l'élément dont la seule coordonnée non nulle
+soit l'unité de $A_i$. Ces éléments sont idempotents, orthogonaux deux-à-deux
+et de somme égale à l'unité. Si $φ:A→B$ est un morphisme de $k$-algèbres,
+leurs images $f_i=φ(e_i)$ satisfont aux mêmes relations $f_i²=f_i$, $∑_i f_i=1$
+et $f_if_j=0$ si $i≠j$, cette fois dans $B$. Puisque $B$ est connexe,
+la relation $f_i²=f_i$ ne peut se produire que si $f_i∈\{0,1\}$. La troisième relation montre qu'il y a au plus
+un indice $i∈I$ tel que $f_i≠0$. Enfin, la première montre qu'il y en a au moins
+un puisque les $f_i$ ne peuvent être tous nuls. Finalement il existe un unique
+$i∈I$ tel que $φ(e_i)=1$. Ainsi, $φ(x)=φ(∑_j xe_j)=φ(xe_i)$.
+On en déduit immédiatement que $φ$ se factorise par l'application de
+passage au quotient $B↠A_i$. Ceci suffit pour conclure.
+\end{démo}
+
+En d'autres termes, l'ensemble des points d'un
+produit de $k$-algèbres à valeurs dans une $k$-algèbre \emph{connexe} (par exemple intègre)
+est la réunion disjointes des points des facteurs.
+
+\begin{exercice2}
+Montrer que si $A$ est un anneau nœthérien, tout
+idempotent de $A$ est une somme d'idempotents indécomposables. En déduire que
+tout anneau nœthérien est isomorphe à un produit fini d'anneaux connexes.
+\end{exercice2}
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi