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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-16 16:17:30 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-16 16:17:30 +0100
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[Spec, Alg] End_k(k^X) ⥲ End_Ens(X) déplacé vers [Alg] avec nouvelle démo et autres menus changements
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index 678a167..e53a038 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -352,13 +352,6 @@ En effet, le nilradical est un nil-idéal par définition ; c'est d'ailleurs le
plus grand. Si $A$ est nœthérien, il est de type fini.
\end{démo}
-
-\begin{exercice2}
-Soit $A$ un anneau. Montrer que $\Nilp(A[X])=\Nilp(A)[X]$ :
-tout polynôme nilpotent est à coefficients nilpotents, et réciproquement.
-\end{exercice2}
-
-
\section{Idempotents d'un anneau, connexité}\label{idempotents I}
\subsection{Algèbre de Boole des idempotents}
@@ -370,6 +363,9 @@ si $e²=e$. On note $\Idem(A)$ leur ensemble.
Si $A$ est un anneau intègre, on a $\Idem(A)=\{0,1\}$.
+Deux idempotents de produit nul sont dits
+\emph{orthogonaux}\index{idempotents orthogonaux}.
+
\subsubsection{Opération sur les idempotents}\label{opérations sur idempotents}
Soit $e$ un idempotent d'un anneau $A$. L'élément $¬e:=1-e$
est également idempotent : $(¬e)²=1-2e+e²=1-2e+e= ¬e$.
@@ -447,7 +443,7 @@ Tout idéal de type fini d'une algèbre de Boole est principal.
Cela résulte immédiatement du fait que tout ensemble fini
a une borne inférieure pour l'ordre défini ci-dessus et du fait
qu'un idéal est stable par l'opération $∨$.
-Voir aussi \ref{exercice-idéal idempotent engendré par idempotent}.
+Voir aussi l'exercice \ref{exercice-idéal idempotent engendré par idempotent}.
\end{démo}
\begin{proposition2}\label{unités et nilpotents algèbre de Boole}
@@ -560,6 +556,46 @@ nul $0$ et l'unité $1$.
Un anneau \emph{local} est connexe.
\end{exemple2}
+\subsubsection{Points et spectre d'un produit}
+\label{spectre produit}
+Soient $k$ un anneau, $A=∏_{x ∈ X} A_x$ un produit fini
+de $k$-algèbres, une $k$-algèbre $B$ et enfin
+un morphisme $f ∈ \Hom_k(A,B)$. Pour chaque $x ∈ X$,
+notons $e_x$ l'idempotent de $A$ dont la seule coordonnée
+non nulle est celle d'indice $x$, valant un.
+Notons $f_x$ son image par le morphisme $f$. Tout comme les $(e_x)$,
+les $(f_x)$ sont des idempotents orthogonaux deux-à-deux
+et de somme égale à l'unité. Si l'anneau $B$ est \emph{connexe},
+il existe donc un unique $y ∈ X$ tel que $f_y=1$.
+Il en résulte que pour chaque $a ∈ A$,
+l'égalité $f(a)=∑_x f(ae²_x)=∑_x f(ae_x)f_x$
+devient $f(a)=f(ae_y)f_y$. En d'autres termes,
+$f$ se factorise, de façon unique, à travers le quotient $A ↠ A_y$.
+
+On peut appliquer cette observation à $B=A/𝔭$, où $𝔭$ est un idéal
+premier de $A$ : le morphisme canonique $A ↠ A/𝔭$ se factorise, de façon
+unique, à travers un quotient $q:A ↠ A_{x_𝔭}$ : l'idéal
+$𝔭 ∈ \Spec(A)$ appartient à l'image de l'injection $\Spec(q)$.
+
+Nous avons démontré de la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}
+\label{produit=somme}
+Soient $k$ un anneau et $A=∏_{x ∈ X} A_x$ un produit \emph{fini} de $k$-algèbres.
+\begin{enumerate}
+\item Pour toute $k$-algèbre \emph{connexe} $B$, l'application
+\[
+∐_x \Hom_k(A_x,B)→\Hom_k(A,B)
+\]
+induite par les surjections $A↠A_x$ est une \emph{bijection}.
+\item L'application $∐_x \Spec(A_x) → \Spec(A)$
+déduite des applications canoniques $\Spec(A_x) → \Spec(A)$
+est une \emph{bijection}.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+
+
\subsubsection{Fonctorialité}
\label{fonctorialité pi0}
Soit $f:A → B$ un morphisme d'anneaux.
@@ -618,7 +654,8 @@ $𝔓(X)$ : l'application $f ↦ f^{-1}(1)$ est un isomorphisme
d'algèbres de Boole d'inverse envoyant un sous-ensemble $E$
de $X$ sur sa fonction caractéristique.
-\begin{proposition2}\label{SpecPX et ideaux-k-X}
+\begin{proposition2}
+\label{SpecPX et ideaux-k-X}
Soient $X$ un ensemble et $k$ un corps.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
@@ -673,40 +710,22 @@ discret $X$, cf. \ref{ultrafiltres et produits infinis}.
% algebraic groups ».
\end{remarque2}
-\begin{exercice2}\label{ultrafiltres et produits infinis}
-Soit $X$ un ensemble non vide. Un \emph{ultrafiltre}\index{ultrafiltre} $𝔉$
-sur $X$ est un ensemble de parties non vides de $X$ stable par intersection finie
-et maximal pour l'inclusion. Il est dit \emph{principal}
-si $⋂_{E ∈ 𝔉}E ≠ ∅$.
-\begin{enumerate}
-\item Montrer qu'un ultrafiltre non principal ne
-contient pas d'ensemble fini. En déduire qu'un tel
-ultrafiltre contient tous les ensembles cofinis
-(c'est-à-dire de complémentaire fini).
-\item Vérifier que les ensembles cofinis
-d'un ensemble $X$ ne constituent \emph{pas} un
-ultrafiltre.
-\item Soit $k$ un corps. Montrer que l'application $𝔉↦𝔭_𝔉=\{χ_E:X → k| E∉𝔉\}$, où $χ$
-désigne la fonction caractéristique, est une bijection entre l'ensemble
-des ultrafiltres sur $X$ et le spectre de l'anneau $k^X$.
-\end{enumerate}
-Dans un chapitre ultérieur, on munira le spectre d'un anneau
-commutatif d'une topologie, dite de \emph{Zariski}.
-On peut alors montrer que l'espace \emph{topologique}
-$\Spec(k^X)$ est homéomorphe au compactifié de Stone-Čech
-$β(X)$ de l'espace topologique discret $X$,
-lui-même trivialement homéomorphe au coproduit $∐_{x ∈ X} \Spec(k)$.
-\end{exercice2}
-
\begin{corollaire2}\label{pi0 produit}
Soit $A=∏_{x ∈ X} A_x$ un produit \emph{fini} d'anneaux \emph{connexes}.
-L'application $X → π₀(A)$, $x ↦ 𝔭_x=e_x\Idem(A)$ est une bijection,
+L'application $X → π₀(A)$, $x ↦ 𝔭_x=(¬e_x)\Idem(A)$ est une bijection,
où $e_x$ désigne l'idempotent de $A$ sont toutes les coordonnées
-sont égales à un sauf celle indicée par $x$, nulle.
+sont nulles exceptée celle indicée par $x$, égale à un.
\end{corollaire2}
+\begin{démo}
+Résulte de la discussion \ref{idempotents-produit} et
+de la proposition \ref{SpecPX et ideaux-k-X}.
+\end{démo}
+
+(Nous ferons parfois implicitement l'identification précédente.)
+
Nous allons montrer (\ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini}) que,
-réciproquement, tout anneau dont l'ensemble
+réciproquement au (i) ci-dessus, tout anneau dont l'ensemble
des composantes connexes est fini est isomorphe à un produit d'anneaux
connexes. L'observation suivante est un premier pas important dans cette
direction.
@@ -714,10 +733,10 @@ direction.
\begin{proposition2}
Soient $A$ un anneau et $e$ un idempotent de $A$.
\begin{enumerate}
- \item Le morphisme canonique $A → A/e × A/(1-e)$ est un isomorphisme.
- \item L'application $A/e → A (1-e)$, $x \mod e ↦ x(1-e)$ est un
- isomorphisme d'anneaux si l'on munit $A(1-e)$ de l'addition
- et la multiplication déduites de $A$ par restriction.
+\item Le morphisme canonique $A → A/e × A/(1-e)$ est un isomorphisme.
+\item L'application $A/e → A (1-e)$, $x \mod e ↦ x(1-e)$ est un
+isomorphisme d'anneaux si l'on munit $A(1-e)$ de l'addition
+et la multiplication déduites de $A$ par restriction.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -733,17 +752,14 @@ chinois}). Le second est trivial.
Soient $A$ un anneau, $e$ un idempotent. Notons
$f$ son complément $¬e=1-e$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
- \item l'anneau $A/e$ est connexe ;
- \item l'idéal engendré par $e$ dans $\Idem(A)$ est \emph{premier} ;
- \item l'anneau $Af$ est connexe ;
- \item l'idempotent $f$ est non nul et il n'existe pas
+\item l'anneau $A/e$ est connexe ;
+\item l'idéal engendré par $e$ dans $\Idem(A)$ est \emph{premier} ;
+\item l'anneau $Af$ est connexe ;
+\item l'idempotent $f$ est non nul et il n'existe pas
d'idempotents non nuls $f₁,f₂$ tels que $f=f₁+f₂$ et $f₁f₂=0$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-Deux idempotents de produit nul sont dits
-\emph{orthogonaux}\index{idempotents orthogonaux}.
-
\begin{définition2}
Un idempotent $e$ d'un anneau $A$ est dit \emph{indécomposable}\index{idempotent décomposable}
s'il satisfait les conditions équivalentes de la proposition précédente.
@@ -780,9 +796,9 @@ Le morphisme canonique
est un \emph{isomorphisme} et chaque quotient $A_𝔵=A/𝔵A$ est \emph{connexe}.
\end{proposition2}
-On peut montrer que les idéaux $𝔵A$ sont [à une racine près peut-être]
-les idéaux $I$ de $A$ engendrés par des idempotents
-avec $A/I$ connexe. \XXX %cf. de Jong, Algebra.tex,
+% On peut montrer que les idéaux $𝔵A$ sont [à une racine près peut-être]
+% les idéaux $I$ de $A$ engendrés par des idempotents
+% avec $A/I$ connexe. \XXX %cf. de Jong, Algebra.tex,
% lemma-closed-union-connected-components et lemma-connected-component
\begin{démo}
@@ -828,6 +844,9 @@ famille décroissante (resp. croissante) d'idéaux
est stationnaire.
\end{définition2}
+Il résulte immédiatement de \ref{ideaux-quotient} qu'un quotient d'un anneau artinien
+(resp. nœthérien) est artinien (resp. nœthérien).
+
\begin{proposition2}
\label{pi0(artinien)=fini}
Si $A$ est un anneau \emph{artinien}, l'ensemble $π₀(A)$ est \emph{fini}.
@@ -845,7 +864,8 @@ croissante ; c'est absurde.
\begin{proposition2}
\label{artinien connexe implique local}
Un anneau artinien connexe $A$ est \emph{local},
-d'idéal maximal $\Nilp(A)$.
+d'idéal maximal $\Nilp(A)$. Si $A$ est de plus intègre, c'est un
+corps.
\end{proposition2}
Rappelons que l'on a déjà constaté qu'un anneau local
@@ -865,7 +885,10 @@ et $e = a^n x^n = e a^n x^n = e²$. Ainsi, $(x^n)$ est l'idéal
engendré par l'idempotent $e$ (voir aussi l'exercice \ref{exercice-idéal idempotent engendré par idempotent}).
L'anneau $A$ étant connexe,
on a $e=0$ ou bien $e=1$. Dans le premier cas, $x$ est nilpotent ;
-dans le second, il est inversible. CQFD.
+dans le second, il est inversible.
+
+Si $A$ est intègre, l'argument précédent montre que tout élément
+non nul (donc non nilpotent) est inversible.
\end{démo}
\begin{corollaire2}
@@ -882,102 +905,54 @@ sont des bijections.
% dire que artinien ⇒ Spec=Specmax
\begin{démo}
-\XXX Utilise ce qui suit (produit etc. ) ⤳ déplacer la section
-suivante un cran plus haut.
+(i). Résulte de \ref{pi0(artinien)=fini}, \ref{décomposition en
+produit de connexes si pi0 fini} et \ref{artinien connexe implique
+local}.
+(ii) Soit $𝔭$ un idéal premier d'un anneau artinien. Le quotient $A/𝔭$ est
+intègre et artinien ; c'est un corps d'après \emph{loc. cit.} :
+l'inclusion $\Specmax(A) ↪ \Spec(A)$ est une bijection.
+Le fait que $\Spec(A) ↠ π₀(A)$ soit une bijection
+résulte de \ref{produit=somme} et du fait que le composé
+$\Spec(A_𝔵) ↪ \Spec(A) ↠ π₀(A)$ est d'image $𝔵$.
+% détailler ?
\end{démo}
-\subsection{Une application : calculs d'ensembles d'homomorphismes}
-\subsubsection{}Soient $k$ un anneau et $A,B$ deux $k$-algèbres. Posons $X=π₀(A)$ et $Y=π₀(B)$.
-% MOCHE
-Chaque morphisme $f:A → B$ de $k$-algèbres induit une application
-$π₀(f):Y → X$. Fixons un élément point $𝔶$ de $Y$ ; son
-image $𝔵$ dans $X$ par $π₀(f)$ est l'idéal
-premier $\Idem(A) ∩ f^{-1}(𝔶)$ de $\Idem(A)$.
-Ce sous-ensemble de $A$ est contenu
-dans le noyau du morphisme composé $A \dessusdessous{f}{→} B ↠ B/𝔶B$.
-Il en résulte que le morphisme $f$ induit un morphisme $f_𝔶$
-de $k$-algèbres $A/𝔵A → B/𝔶B$. Faisant varier $𝔶$, on obtient
-un élément de l'ensemble produit $∏_{𝔶 ∈ Y} \Hom_k(A/π₀(f)(𝔶)A,B/𝔶B)$.
-
-Réciproquement, fixons $φ:Y → X$ et des morphismes $f_𝔶 ∈
-\Hom_k(A/φ(𝔶)A,B/𝔶B)$. On définit un morphisme de $k$-algèbres
-$A → ∏_{𝔶 ∈ Y} B/𝔶B$ en envoyant $a ∈ A$ sur $\big(f_𝔶(a \mod φ(𝔶)A)\big)_{𝔶 ∈ Y}$.
-Lorsque $Y$ est \emph{fini}, l'isomorphisme canonique $B ⥲ ∏_{𝔶 ∈ Y} B/𝔶B$ nous permet
-d'en déduire un morphisme $f ∈ \Hom_k(A,B)$. Par construction, les
-applications $d:f ↦ (π₀(f),(f_𝔶)_𝔶)$ et $s:(φ,(f_𝔶)_𝔶) ↦ f$ ainsi construites sont des bijections
-réciproques :
-%$d ∘ s=\Id$ et $s ∘ d=\Id$.
+\section{Exercices}
-\begin{proposition2}
-Soient $k$ un anneau et $A,B$ deux $k$-algèbres.
-Lorsque $B$ n'a qu'un nombre fini de composantes connexes,
-l'application
-\[
-\Hom_k(A,B) → ∐_{π₀(B) \dessusdessous{φ}{→} π₀(A)} \hskip1em ∏_{𝔶 ∈ π₀(B)} \Hom_k(A/φ(𝔶)A,B/𝔶B)
-\]
-est une bijection.
-\end{proposition2}
-Cette proposition ramène le calcul d'ensembles d'homomorphismes
-au calcul de $π₀$ et d'ensembles d'homomorphismes
-entre anneaux connexes.
-
-\begin{corollaire2}
-Soient $k$ un anneau \emph{connexe} et $X$ un ensemble \emph{fini}.
-L'application $\End_{k}(k^X) → \End_{\Ens}(X)$, $f ↦ π₀(f)$,
-est un isomorphisme d'anneaux non nécessairement commutatifs.
-\end{corollaire2}
-
-La compatibilité avec la composition est un cas particulier
-de la fonctorialité du $π₀$ (\ref{fonctorialité pi0}).
-
-%\begin{démo}
-%cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.
-%\end{démo}
-
-\subsection{Points et spectre d'un produit}
-Nous avons utilisé ci-dessus la propriété universelle
-suivante du produit d'anneaux : un morphisme vers
-un produit (quelconque) correspond bijectivement avec une collection
-de morphismes vers les facteurs du produit.
-Considérons la situation duale suivante : on se
-donne un anneau $k$, un produit fini $A=∏_{x ∈ X} A_x$
-de $k$-algèbres, une $k$-algèbre $B$ et enfin
-un morphisme $f ∈ \Hom_k(A,B)$. Pour chaque $x ∈ X$,
-notons $e_x$ l'idempotent non nul de $A$
-tel que $Ae_x$ soit l'idéal $A_x$ de $A$ et $f_x$ son
-image par le morphisme $f$. Tout comme les $(e_x)$,
-les $(f_x)$ sont des idempotents orthogonaux deux-à-deux
-et de somme égale à l'unité. Si l'anneau $B$ est \emph{connexe},
-il existe donc un unique $y ∈ X$ tel que $f_y=1$.
-Il en résulte que pour chaque $a ∈ A$,
-l'égalité $f(a)=∑_x f(ae²_x)=∑_x f(ae_x)f_x$
-devient $f(a)=f(ae_y)f_y$. En d'autres termes,
-$f$ se factorise à travers le quotient $A ↠ A_y$.
-Enfin, si $𝔭$ est un idéal premier de $A$,
-le quotient $A/𝔭$ est intègre donc connexe si bien
-que, d'après ce qui précède, le morphisme $A ↠ A/𝔭$ se factorise, de façon
-unique, à travers un quotient $q:A ↠ A_{x_𝔭}$ : l'idéal
-$𝔭 ∈ \Spec(A)$ appartient à l'image de l'injection $\Spec(q)$.
-
-Nous avons démontré de la proposition suivante.
+\begin{exercice}
+Soit $A$ un anneau. Montrer que $\Nilp(A[X])=\Nilp(A)[X]$ :
+tout polynôme nilpotent est à coefficients nilpotents, et réciproquement.
+\end{exercice}
-\begin{proposition2}
-\label{produit=somme}
-Soient $k$ un anneau et $A=∏_{x ∈ X} A_x$ un produit fini de $k$-algèbres.
+\begin{exercice}
+\label{ultrafiltres et produits infinis}
+Soit $X$ un ensemble non vide. Un \emph{ultrafiltre}\index{ultrafiltre} $𝔉$
+sur $X$ est un ensemble de parties non vides de $X$ stable par intersection finie
+et maximal pour l'inclusion. Il est dit \emph{principal}
+si $⋂_{E ∈ 𝔉}E ≠ ∅$.
\begin{enumerate}
-\item Pour toute $k$-algèbre \emph{connexe} $B$, l'application
-\[
-∐_x \Hom_k(A_x,B)→\Hom_k(A,B)
-\]
-induite par les surjections $A↠A_x$ est une \emph{bijection}.
-\item L'application $∐_x \Spec(A_x) → \Spec(A)$
-déduite des applications canoniques $\Spec(A_x) → \Spec(A)$
-est une \emph{bijection}.
+\item Montrer qu'un ultrafiltre non principal ne
+contient pas d'ensemble fini. En déduire qu'un tel
+ultrafiltre contient tous les ensembles cofinis
+(c'est-à-dire de complémentaire fini).
+\item Vérifier que les ensembles cofinis
+d'un ensemble $X$ ne constituent \emph{pas} un
+ultrafiltre.
+\item Soit $k$ un corps. Montrer que l'application $𝔉↦𝔭_𝔉=\{χ_E:X → k| E∉𝔉\}$, où $χ$
+désigne la fonction caractéristique, est une bijection entre l'ensemble
+des ultrafiltres sur $X$ et le spectre de l'anneau $k^X$.
\end{enumerate}
-\end{proposition2}
+Dans un chapitre ultérieur, on munira le spectre d'un anneau
+commutatif d'une topologie, dite de \emph{Zariski}.
+On peut alors montrer que l'espace \emph{topologique}
+$\Spec(k^X)$ est homéomorphe au compactifié de Stone-Čech
+$β(X)$ de l'espace topologique discret $X$,
+lui-même trivialement homéomorphe au coproduit $∐_{x ∈ X} \Spec(k)$.
+\end{exercice}
+
-\begin{exercice2}
+\begin{exercice}
Soit $A$ un anneau.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $(e_x)_{x∈X}$ est une famille \emph{finie}
@@ -989,9 +964,9 @@ La propriété $∑_x e_x=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idemp
Comparer le résultat obtenu avec \ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini}.
\item Montrer que si $A$ est nœthérien, $π₀(A)$ est fini.
\end{enumerate}
-\end{exercice2}
+\end{exercice}
-\begin{exercice2}
+\begin{exercice}
Soit $A$ l'anneau des suites de nombres rationnels
constantes à partir d'un certain rang.
\begin{enumerate}
@@ -1003,17 +978,36 @@ est un ensemble de fonctions nulles en un point
fixé ou bien au voisinage de l'infini. Etc.
À développer [David], cf. Gillman-Jerison. \XXX
\end{enumerate}
-\end{exercice2}
+\end{exercice}
-\begin{exercice2}
+\begin{exercice}
\label{exercice-idéal idempotent engendré par idempotent}
Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau $A$.
Montrer que si $I=I²$, il existe $e ∈ \Idem(A)$
tel que $I=(e)$.
% 松村, exercice 2.1
% 中山 ⇒ ∃ i tel que (1-i)I=0$. OPS I principal et c'est alors facile
-\end{exercice2}
+\end{exercice}
+\begin{exercice}
+\label{dévissage Hom(A,produit connexes)}
+Soit $k$ un corps et soient $A,B$ deux $k$-algèbres
+dont on note respectivement $X$ et $Y$ les ensembles de composantes
+connexes.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que pour chaque $𝔶 ∈ Y$, chaque morphisme $f:A → B$
+induit un morphisme de $k$-algèbres connexes $A/𝔵 → B/𝔶$, où $𝔵=π₀(f)(𝔶)$.
+\item Montrer que si $Y$ est fini, l'ensemble
+$\Hom_k(A,B)$ est naturellement en bijection
+avec l'ensemble
+\[
+∐_{Y \dessusdessous{φ}{→} X} \hskip1em ∏_{𝔶 ∈ Y} \Hom_k(A/φ(𝔶)A,B/𝔶B).
+\]
+\end{enumerate}
+Ainsi, le calcul d'ensembles d'homomorphismes
+se ramène au calcul d'ensembles de composantes connexes et
+et d'homomorphismes entre anneaux connexes.
+\end{exercice}
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}