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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-26 16:11:53 +0100
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[Spec] démonstration décomposition en produit de connexes si π₀ fini + modifications relativement mineures
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@@ -353,12 +353,14 @@ de $A$ sont idempotents.
\begin{proposition2}\label{IdemA=Boole}
Soit $A$ un anneau. L'ensemble $\Idem(A)$
muni de l'addition $⊞$ et de la multiplication $⊠$ est un
- \emph{anneau de Boole}, c'est-à-dire un anneau dont
+ \emph{algèbre de Boole}, c'est-à-dire un anneau dont
chaque élément est idempotent. Les éléments
neutres pour l'addition et la multiplication sont $0_A$ et $1_A$ respectivement.
\end{proposition2}
-Pour une analyse de ces formules, cf. \ref{addition dans IdemA}.
+Pour une analyse de ces formules, cf. \ref{addition dans IdemA} ;
+pour une justification de la terminologie (algèbre \emph{versus}
+anneau), cf. \ref{algèbre Boole=F2 algèbre}.
\begin{démo}
Les seuls points nécessitant une vérification sont
@@ -372,14 +374,14 @@ et
\begin{exercice2}\label{addition dans IdemA}
On appelle \emph{treillis} (ou \emph{ensemble réticulé})
-un ensemble ordonné dans lequel toute famille finie (ou de façon équivalente·: à deux
+un ensemble ordonné dans lequel toute famille finie (ou de façon équivalente : à deux
éléments) a une borne inférieure et une borne supérieure.
%Cela revient à dire que dans la catégorie associée à la relation
%d'ordre, les limites et colimites finies existent.
-Il est dit «·distributif·» si le minimum (noté souvent $∧$, « et »)
+Il est dit « distributif » si le minimum (noté souvent $∧$, « et »)
de deux éléments et le maximum (souvent noté $∨$, « ou ») de deux éléments
sont des opérations distributives l'une par rapport à
-l'autre. Explicitement·: $\sup(x,\inf(y,z))=\inf(\sup(x,y),\sup(x,z))$
+l'autre. Explicitement : $\sup(x,\inf(y,z))=\inf(\sup(x,y),\sup(x,z))$
et $\inf(x,\sup(y,z))=\sup(\inf(x,y),\inf(x,z))$.
\begin{enumerate}
@@ -394,12 +396,12 @@ $¬x$, tel que $x∧x'=0$ et $x∨x'=1$.
\[x⊕y=(x∧¬y)∨(¬x∧y)=¬(¬(x∧¬y)∧¬(¬x∧y)).\]
% Solution. Supposons $z≤x$ et $z≤y$ de sorte que $z=xa$ et $z=yb$. On a donc
-% $z²=z=xy(ab)$·; $xy$ est donc le min $x∧y$ de $x$ et $y$. D'autre part,
+% $z²=z=xy(ab)$ ; $xy$ est donc le min $x∧y$ de $x$ et $y$. D'autre part,
% $x=(x+y+xy)×(x)$ donc $x≤(x+y+xy)$. Réciproquement, si $x≤z$ et $y≤z$
-% (càd $x=za$, $y=zb$), $x+y+xy=z(a+b+ab)$ d'où $x+y+zy≤z$·; $x+y+xy$ est
-% donc le max $x∨y$ de $x$ et $y$. Distributivité·: $x∨(y∧z)=x+yz+xyz$
+% (càd $x=za$, $y=zb$), $x+y+xy=z(a+b+ab)$ d'où $x+y+zy≤z$ ; $x+y+xy$ est
+% donc le max $x∨y$ de $x$ et $y$. Distributivité : $x∨(y∧z)=x+yz+xyz$
% et $(x∨y)∧(x∨z)=(x+y+xy)(x+z+xz)=x+yz+xyz$. Idem pour
-% l'autre. Enfin, le «·complément·» $¬x$ de $x$ est $1+x$.
+% l'autre. Enfin, le « complément » $¬x$ de $x$ est $1+x$.
\item En déduire que l'addition $⊞$ définie en \ref{opérations sur idempotents}
est la seule addition pour laquelle on a :
@@ -407,12 +409,15 @@ $e∧e'=ee'$ (produit dans $A$) et $¬e=1-e$ (dans $A$).
\end{enumerate}
\end{exercice2}
-\begin{proposition2}
-Le seul idempotent inversible d'un anneau est l'unité.
+\begin{proposition2}\label{unités et nilpotents algèbre de Boole}
+Le seul élément idempotent \emph{inversible} (resp. \emph{nilpotent})
+d'un anneau est l'unité (resp. l'élément nul).
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Si $e$ est un idempotent inversible d'un anneau, on a $e(1-e)=0$ d'où $1-e=0$.
+Soit $e$ un idempotent. Si $e$ est inversible, l'égalité a $e(1-e)=0$
+entraîne $1-e=0$. Si $e$ est nilpotent, les égalités $e^n=e$ pour
+tout $n ≥ 1$ entraînent $e=0$.
\end{démo}
\begin{proposition2}
@@ -439,17 +444,21 @@ le quotient $B/𝔭$ est une algèbre de Boole intègre.
\begin{définition2}
On appelle \emph{ensemble des composantes connexes}
-\index{compostantes connexes}\index{π₀} d'un anneau
+\index{composantes connexes}\index{π₀} d'un anneau
commutatif $A$ le spectre $\Spec(\Idem(A))$ de l'algèbre
de Boole de ses idempotents. On le note $π₀(A)$.
\end{définition2}
-\subsubsection{}Soit $B$ une algèbre de Boole et soit $x ∈ B$.
+Cet ensemble %, muni de la topologie de Zariski (\ref{}), \XXX
+est parfois appelé « spectre de Pierce »,
+ou « spectre booléien » de l'anneau $A$, cf.
+\cite[4.2]{Borceux-Janelidze}.
+
+\subsubsection{}\label{algèbre Boole=F2 algèbre}Soit $B$ une algèbre de Boole et soit $x ∈ B$.
Les égalités $4x=4x²=(2x)²=2x$ montrent que $2x=0$
de sorte que $B$ est naturellement une $𝐅₂$-algèbre.
-Pour cette raison, on dira souvent « algèbre de Boole »
-(sous-entendu : sur $𝐅₂$) pour « anneau de Boole »,
-ces derniers étant d'ailleurs également appelés « anneau booléien ».
+Ceci justifie la terminologie ; notons cependant
+que N. Bourbaki les appellent plutôt « anneaux booléiens ».
D'après \ref{SpecBoole=HomF2} et \ref{points rationnels et ideaux
maximaux}, appliqués à $\Idem(A)$, on a donc :
\[
@@ -489,7 +498,7 @@ Soit $A$ un anneau. Les conditions suivantes sont
\end{définition2}
Un tel anneau est alors non nul et ses idempotents sont l'élément
-neutre $0$ et l'unité $1$.
+nul $0$ et l'unité $1$.
\subsubsection{Fonctorialité}
Soit $f:A → B$ un morphisme d'anneaux.
@@ -505,7 +514,7 @@ algèbres de Boole. Par passage au spectre, chaque morphisme $f:A → B$
induit (de façon contravariante) une application $π₀(f): π₀(B) →
π₀(A)$.
-\subsection{Composantes connexes d'un produit}\label{algèbre Boole PX}
+\subsection{Produit et connexité}\label{algèbre Boole PX}
\subsubsection{}\label{idempotents-produit}
Soit $X$ un ensemble. On définit sur l'ensemble $𝔓(X)$
@@ -521,7 +530,7 @@ si $\Idem(A_x)=𝐅₂$ pour chaque $x$, l'anneau $\Idem(∏_x A_x)$ est donc i
à l'anneau booléien $𝐅₂^X=\Hom(X,𝐅₂)$.
Cet anneau est, à son tour, isomorphe à l'anneau
$𝔓(X)$ : l'application $f ↦ f^{-1}(1)$ est un isomorphisme
-d'anneaux de Boole d'inverse envoyant un sous-ensemble $E$
+d'algèbres de Boole d'inverse envoyant un sous-ensemble $E$
de $X$ sur sa fonction caractéristique.
\begin{proposition2}\label{SpecPX et ideaux-k-X}
@@ -531,8 +540,8 @@ Soient $X$ un ensemble et $k$ un corps.
\item Pour chaque $x ∈ X$, l'ensemble $𝔭_x=\{E ⊆X:x ∉ E\}$ est un idéal maximal de $𝔓(X)$.
\item Pour chaque $x ∈ X$, l'ensemble $𝔮_x=\{f ∈ k^X:f(x)=0\}$
est un idéal maximal de $k^X$. Il est
- \emph{principal}, engendré par l'élément $1-e_x$ où
- $e_x$ est la fonction caractéristique du
+ \emph{principal}, engendré par l'élément $1-δ_x$ où
+ $δ_x$ est la fonction caractéristique du
singleton $\{x\}$.
\end{enumerate}
\item Supposons $X$ fini.
@@ -549,31 +558,28 @@ De plus, pour tout $E⊆X$ le morphisme de projection $k^X→k^E$
\begin{démo}
(i)(a) Pour chaque $x$, l'image de $𝔭_x$ par $χ$ est le sous-ensemble de
$𝐅₂^X$ des fonctions nulles en $x$. Il suffit donc de démontrer la
-proposition pour l'anneau $𝐅_2^X$ et, plus généralement,
-$k^X$ où $k$ est un corps. (Notons que $k^X$ n'est booléien
-que lorsque le corps $k$ est $𝐅₂$.)
+proposition pour l'anneau $𝐅_2^X$ et, plus généralement,
+$k^X$ où $k$ est un corps. (Notons que $k^X$ n'est booléien
+que lorsque le corps $k$ est $𝐅₂$.)
(b) Il est clair que $𝔮_x$ est un idéal de $k^X$,
maximal. Notons que l'application quotient $k^X ↠ k=k^X / 𝔮_x$
n'est autre que le morphisme d'évaluation $\ev_x$ en $x$. L'égalité
-$𝔮_x=k^X(1-e_x)$ est de vérification immédiate.
-(ii)(a) Il suffit de vérifier l'énoncé concernant $k^X$, qui est un
-cas particulier de (b). (b) Soit $ℐ$ un idéal de $k^X$ et soit $E ⊆ X$
+$𝔮_x=k^X(1-δ_x)$ est de vérification immédiate.
+(ii)(a) Il suffit de vérifier l'énoncé concernant $k^X$, qui est un
+cas particulier de (b). (b) Soit $ℐ$ un idéal de $k^X$ et soit $E ⊆ X$
l'ensemble l'annulation de $ℐ$, c'est-à-dire
-l'ensemble des $x∈X$ tels que $f(x)=0$ pour chaque $f$ dans $ℐ$.
+l'ensemble des $x∈X$ tels que $f(x)=0$ pour chaque $f$ dans $ℐ$.
Par construction on a l'inclusion $ℐ⊆ℐ_{E}$. D'autre part, pour chaque
$x∉E$, il existe une fonction $f∈ℐ$ telle que $f(x)≠0$.
-La fonction $e_x$ (« Dirac » en $x$) appartient également à $ℐ$,
+La fonction $δ_x$ (« Dirac » en $x$) appartient également à $ℐ$,
comme on le constate en multipliant $f_x ∈ ℐ$ par l'élément
-$\frac{1}{f_x(x)} e_x$ de $k^X$.
+$\frac{1}{f_x(x)} δ_x$ de $k^X$.
L'ensemble $X$ étant fini, ces fonctions caractéristiques engendrent
le $k$-espace vectoriel $ℐ_E$ de sorte que l'on a l'inclusion $ℐ_Y⊆ℐ$ et, finalement, l'égalité.
Le dernier point est évident.\end{démo}
\begin{remarque2}
-Lorsque $X$ est infini, on dispose d'une caractérisation
-semblable à (ii)(a) de $\Spec(k^{(X)})$, où $k^{(X)}$
-désigne l'ensemble des fonctions à support fini.
-Le spectre de $k^X$ est quant à lui en bijection avec
+Lorsque $X$ est infini, le spectre de $k^X$ est en bijection avec
le compactifié de Stone-Čech de l'espace topologique
discret $X$, cf. \ref{ultrafiltres et produits infinis}.
% Cf. p. ex. Jardine, « Ultraproducts and the discrete cohomology of
@@ -605,31 +611,30 @@ $β(X)$ de l'espace topologique discret $X$,
lui-même trivialement homéomorphe au coproduit $∐_{x ∈ X} \Spec(k)$.
\end{exercice2}
-\begin{corollaire2}
+\begin{corollaire2}\label{pi0 produit}
Soit $A=∏_{x ∈ X} A_x$ un produit \emph{fini} d'anneaux \emph{connexes}.
-L'application $X → π₀(A)$, $x ↦ 𝔭_x=(1-e_x)\Idem(A)$ est une bijection,
+L'application $X → π₀(A)$, $x ↦ 𝔭_x=e_x\Idem(A)$ est une bijection,
où $e_x$ désigne l'idempotent de $A$ sont toutes les coordonnées
-sont nulles sauf celle indicée par $x$, valant $1$.
+sont égales à un sauf celle indicée par $x$, nulle.
\end{corollaire2}
-\subsection{Décomposition en produit d'anneaux connexes}
-
-Dans ce paragraphe, on cherche à établir une réciproque au
-corollaire précédent.
+Nous allons montrer que, réciproquement, tout anneau dont l'ensemble
+des composantes connexes est fini est isomorphe à un produit d'anneaux
+connexes. L'observation suivante est un premier pas important dans cette
+direction.
\begin{proposition2}
Soient $A$ un anneau et $e$ un idempotent de $A$.
\begin{enumerate}
- \item Le morphisme canonique $A → A/(1-e) × A/e$ est un isomorphisme.
- \item L'application $A/(1-e) → Ae$, $x \mod (1-e) ↦ xe$ est un
- isomorphisme d'anneaux si l'on munit $Ae$ de l'addition
+ \item Le morphisme canonique $A → A/e × A/(1-e)$ est un isomorphisme.
+ \item L'application $A/e → A (1-e)$, $x \mod e ↦ x(1-e)$ est un
+ isomorphisme d'anneaux si l'on munit $A(1-e)$ de l'addition
et la multiplication déduites de $A$ par restriction.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-Notons que l'inclusion $Ae ⊆ A$ n'est \emph{pas} un morphisme d'anneaux
-lorsque $e ≠ 1$ ; elle induit cependant une injection
-$\Idem(Ae) ⊆ \Idem(A)$.
+Notons que pour chaque idempotent $e ≠ 1$, l'inclusion $Ae ⊆ A$ n'est \emph{pas} un morphisme d'anneaux ;
+elle induit cependant une injection $\Idem(Ae) ⊆ \Idem(A)$.
\begin{démo}
Le premier point résulte du lemme chinois (\ref{lemme
@@ -637,13 +642,14 @@ chinois}). Le second est trivial.
\end{démo}
\begin{proposition2}\label{idempotent indécomposable}
-Soient $A$ un anneau et $e$ un idempotent
-Les conditions suivantes sont équivalentes :
+Soient $A$ un anneau, $e$ un idempotent. Notons
+$f$ son complément $¬e=1-e$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
- \item l'anneau $A/(1-e)$ est connexe ;
- \item l'idéal engendré par $1-e$ dans $\Idem(A)$ est \emph{premier} ;
- \item l'anneau $Ae$ est connexe ;
- \item l'idempotent $e$ est non nul et s'il n'existe pas d'idempotents non nuls $e₁,e₂$ tels que $e=e₁+e₂$ et $e₁e₂=0$.
+ \item l'anneau $A/e$ est connexe ;
+ \item l'idéal engendré par $e$ dans $\Idem(A)$ est \emph{premier} ;
+ \item l'anneau $Af$ est connexe ;
+ \item l'idempotent $f$ est non nul et il n'existe pas
+d'idempotents non nuls $f₁,f₂$ tels que $f=f₁+f₂$ et $f₁f₂=0$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -656,49 +662,102 @@ s'il satisfait les conditions équivalentes de la proposition précédente.
\end{définition2}
\begin{démo}
-(i) ⇔ (ii) La décomposition en produit $A = A/(1-e)A × A/eA$
-induit un isomorphisme $\Idem(A) = \Idem(A/(1-e)A)×\Idem(A/eA)$,
-envoyant l'élément $1-e$ sur l'élément $(0,1)$ du produit. Le
-quotient $\Idem(A)/(1-e)\Idem(A)$ est donc isomorphe à
-$\Idem(A/(1-e)A)$. La conclusion résulte maintenant
+(i) ⇔ (ii) La décomposition en produit $A = A/eA × A/(1-e)A$
+induit un isomorphisme $\Idem(A) = \Idem(A/eA)×\Idem(A/(1-e)A)$,
+envoyant l'élément $e$ sur l'élément $(0,1)$ du produit. Le
+quotient $\Idem(A)/e$ est donc isomorphe à
+$\Idem(A/eA)$. La conclusion résulte maintenant
de la définition de la connexité et de \ref{SpecBoole=HomF2}.
-(i) ⇔ (iii) Les anneaux $Ae$ et $A/(1-e)A$ sont isomorphes.
-(ii) ⇒ (iv) Supposons que $e$ se décompose dans $\Idem(A)$ en $e₁+e₂$.
-Si $e₁$ et $e₂$ sont orthogonaux, on a $1-e=1-e₁-e₂=(1-e₁)(1-e₂)$.
-Ainsi l'un des $e_i$ est égal à l'unité et l'autre, qui lui
-est orthogonal, est nul. (iv) ⇒ (ii). Soit $f$ un idempotent de $Ae$,
-donc de $A$. Les éléments $fe$ et $(1-f)e$ sont des idempotents
-orthogonaux et on a l'égalité : $e=fe+(1-f)e$. Il résulte de
-l'hypothèse que l'on a que $fe=0$ ou bien $(1-f)e=0$. Notons que
-$fe=f$ : cela résulte du fait que $f$ appartient à $Ae$ et
-de l'identité $(ae)e=ae²=ae$. Ainsi, $f=0$ ou $f=e$. CQFD.
+(i) ⇔ (iii) Les anneaux $A/e$ et $A(1-e)$ sont isomorphes.
+(ii) ⇒ (iv) Supposons que $f$ se décompose dans $\Idem(A)$ en $f₁+f₂$.
+Si $f₁$ et $f₂$ sont orthogonaux, on a $e=1-f₁-f₂=(1-f₁)(1-f₂)$.
+Ainsi l'un des $f_i$ est égal à l'unité et l'autre, qui lui
+est orthogonal, est nul. [Je ne comprends plus pourquoi j'ai écrit ça
+\XXX] (iv) ⇒ (ii). Soit $g$ un idempotent de $Af$,
+donc de $A$. Les éléments $gf$ et $(1-g)f$ sont des idempotents
+orthogonaux et on a l'égalité : $f=gf+(1-g)f$. Il résulte de
+l'hypothèse que l'on a que $gf=0$ ou bien $(1-g)f=0$. Notons que
+$gf=g$ : cela résulte du fait que $g$ appartient à $Af$ et
+de l'identité $(af)f=af²=af$. Ainsi, $g=0$ ou $g=f$. CQFD.
\end{démo}
-\begin{proposition2}\label{decomposition-idempotents-orthogonaux}
-Soient $A$ un anneau et $e$ un idempotent de $A$.
-Le morphisme $δ:A→Ae×A¬e$, $a\mapsto (a\cdot e,a\cdot ¬e)$
-est un isomorphisme, d'inverse $σ:(a',b')\mapsto a'+b'$.
-Plus généralement, si $(e_i)_{i∈I}$ est une famille finie
+Les deux propositions précédentes suggèrent le théorème suivant.
+
+\begin{théorème2}
+\label{décomposition en produit de connexes si pi0 fini}
+Soit $A$ un anneau tel que $π₀(A)$ soit \emph{fini}.
+Pour chaque $𝔵 ∈ π₀(A)$, notons $𝔵A$ l'idéal de $A$ engendré
+par $𝔵 ⊆ \Idem(A)$.
+Le morphisme canonique
+\[A → ∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A/𝔵A\]
+est un \emph{isomorphisme} et chaque quotient $A/𝔵A$ est \emph{connexe}.
+\end{théorème2}
+
+On peut montrer que les idéaux $𝔵A$ sont [à une racine près peut-être]
+les idéaux $I$ de $A$ engendrés par des idempotents
+avec $A/I$ connexe. \XXX %cf. de Jong, Algebra.tex,
+% lemma-closed-union-connected-components et lemma-connected-component
+
+\begin{démo}
+Surjectivité. D'après \ref{lemme chinois}, il suffit de montrer
+que si $𝔵$ et $𝔵 ′$ sont deux idéaux premiers distincts de $\Idem(A)$,
+les idéaux $𝔵A$ et $𝔵 ′ A$ de $A$ qu'ils engendrent sont premiers
+entre eux. Par maximalité de $𝔵$ et $𝔵 ′$, il existe deux
+idempotents $e ∈ 𝔵$ et $e ′ ∈ 𝔵 ′$ tels que $e ⊞ e ′ =1$. Par
+définition, cette égalité se réécrit : $e + e ′ - 2e e ′ =1$,
+où le terme de gauche appartient visiblement à l'idéal $𝔵A+𝔵 ′ A$
+de $A$. CQFD.
+
+Injectivité. D'après \emph{loc. cit.}, il suffit
+de montrer que le produit $∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} 𝔵A$ d'idéaux de $A$
+est l'idéal nul. Or, tout élément de ce produit est
+une somme fini d'éléments de la forme $(∏_𝔵 e_𝔵)×a$, où
+les $e_𝔵$ sont dans $𝔵$ et $a$ dans $A$. L'anneau $B=\Idem(A)$
+étant réduit (\ref{unités et nilpotents algèbre de Boole}),
+l'intersection $⋂_{𝔵 ∈ \Spec(B)} 𝔵$ est nulle (\ref{caracterisation-nilpotents}).
+Il en est donc de même du produit $∏_𝔵 𝔵$
+et de ses éléments $∏_𝔵 e_𝔵$. On utilise ici le fait
+que le produit dans $A$ coïncide avec le produit,
+noté $⊠$, dans $\Idem(A)$.
+
+Connexité des quotients. Soient $𝔵 ∈ π₀(A)$ et $ε ∈ \Idem(A/𝔵A)$.
+Choisissons un relèvement $a$ de $ε$ dans l'anneau $A$. Par hypothèse,
+on a $a²=a+ ∑_{i=1}^n e_i α_i$ où $n$ est un entier, les $e_i$
+dans $𝔵$ et les $α_i$ dans $A$. L'élément $e:=a × ∏_i (1-e_i)$
+est un idempotent de $A$ d'image $ε$ dans $A/𝔵A$.
+L'idéal $𝔵$ de $\Idem(A)$ étant premier, il résulte de l'identité
+$e(1-e)=0$ que soit $e$ appartient à $𝔵$ soit son complément
+$1-e$ lui appartient. Dans le premier cas, $ε=0$ ;
+dans le second, $ε=1$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}
+Soit $A$ un anneau.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que si $(e_i)_{i∈I}$ est une famille finie
d'idempotents deux à deux orthogonaux telle que $∑_i e_i=1$,
le morphisme $A→∏_i Ae_i$, $a\mapsto (ae_i)_{i∈I}$, est un isomorphisme.
-\end{proposition2}
-
La propriété $∑_i e_i=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idempotents est \emph{complète}.
(On peut y penser comme à une partition de l'unité particulière.)
+\item Montrer que si $π₀(A)$ est fini, une telle famille
+d'idempotent existe. Comparer le résultat obtenu avec \ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini}.
+\end{enumerate}
-\begin{démo}
-Puisque $a\cdot e+a\cdot ¬e=a$, on a $σδ=\Id$. Inversement, si $a'=αe$ et
-$b'=β¬e$, on a $δσ(a',b')=δ(αe+β¬e)=\big((αe+β¬e)e,(αe+β¬e)¬e\big)=(αe,β¬e)$ car
-$e¬e=0$. Ainsi $δσ=\Id$. La démonstration du cas général est identique.
-\end{démo}
+\end{exercice2}
-\subsection{Connexité d'un anneau}
\begin{exercice2}
Montrer qu'un anneau local est connexe.
\end{exercice2}
+\begin{exercice2}
+Montrer que l'anneau des suites de nombres rationnels
+constantes à partir d'un certain rang n'est pas
+un produit d'anneaux connexes.
+\XXX À vérifier ; cf. Gillman-Jerison.
+\end{exercice2}
+
\begin{lemme2}\label{produit=somme}
Soient $k$ un anneau, $A=∏_i A_i$ un produit fini de $k$-algèbres
et $B$ une $k$-algèbre \emph{connexe}.