summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/spectre.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-19 12:24:26 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-19 12:24:26 +0100
commitad28bb4e4ae8054d2b62f494066444adbb335009 (patch)
tree442e6d349847ff313217e275ab521b919086422b /chapitres/spectre.tex
parent655da8f86bfd093078940c97b911446ca12ce63c (diff)
downloadgalois-ad28bb4e4ae8054d2b62f494066444adbb335009.zip
galois-ad28bb4e4ae8054d2b62f494066444adbb335009.tar.gz
galois-ad28bb4e4ae8054d2b62f494066444adbb335009.tar.bz2
[Spec] début réécriture Boole/connexité du chapitre 0
Diffstat (limited to 'chapitres/spectre.tex')
-rw-r--r--chapitres/spectre.tex202
1 files changed, 184 insertions, 18 deletions
diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index 36104b3..87414c0 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -303,6 +303,9 @@ Cependant, on a la réciproque partielle suivante.
Tout nil-idéal de type fini est nilpotent.
\end{lemme2}
+Rappelons qu'un idéal est dit \emph{de type fini} s'il
+est engendré par un nombre fini d'éléments.
+
\begin{démo}
Soit $I=a₁A+\cdots+a_rA$ un nil-idéal de type fini d'un anneau $A$.
Par hypothèse, il existe un entier $n$ tel que pour tout $1≤i≤r$, on ait
@@ -314,9 +317,12 @@ $a_i^N$, l'idéal $I$ est nilpotent.
Le nilradical d'un anneau nœthérien est nilpotent.
\end{corollaire2}
+Rappelons qu'un anneau est dit \emph{nœthérien} lorsque
+tous ses idéaux sont de type fini.
+
\begin{démo}
-En effet, le nilradical est un nil-idéal par définition — c'est d'ailleurs le
-plus grand — ; il est de type fini, comme tout idéal de $A$, si $A$ est nœthérien.
+En effet, le nilradical est un nil-idéal par définition ; c'est d'ailleurs le
+plus grand. Si $A$ est nœthérien, il est de type fini.
\end{démo}
@@ -326,9 +332,9 @@ tout polynôme nilpotent est à coefficients nilpotents, et réciproquement.
\end{exercice2}
-\section{Idempotents d'un anneau, connexité (I)}\label{idempotents I}
+\section{Idempotents d'un anneau, connexité}\label{idempotents I}
-\subsection{Définitions}
+\subsection{Algèbre de Boole des idempotents}
\begin{définition2}\label{idempotent}
Un élément $e$ d'un anneau $A$ est dit \emph{idempotent} \index{idempotent}
@@ -337,21 +343,188 @@ si $e²=e$. On note $\Idem(A)$ leur ensemble.
Si $A$ est un anneau intègre, on a $\Idem(A)=\{0,1\}$.
-Il est immédiat que si $e$ est un idempotent, $¬e:=1-e$ l'est également
-et que l'on a $e\cdot ¬e=0$.
+\subsubsection{Opération sur les idempotents}\label{opérations sur idempotents}
+Soit $e$ un idempotent d'un anneau $A$. L'élément $¬e:=1-e$
+est également idempotent : $(¬e)²=1-2e+e²=1-2e+e= ¬e$.
+Si $e ′$ est un second idempotent, on vérifie
+également par le calcul que les éléments $e ⊠ e ′:=e e ′$ et $e ⊞ e ′ :=(e-e ′)²$
+de $A$ sont idempotents.
+
+\begin{proposition2}\label{IdemA=Boole}
+ Soit $A$ un anneau commutatif. L'ensemble $\Idem(A)$
+ muni de l'addition $⊞$ et de la multiplication $⊠$ est un
+ \emph{anneau de Boole}, c'est-à-dire un anneau commutatif dont
+ chaque élément est idempotent. Les éléments
+ neutres pour l'addition et la multiplication sont $0_A$ et $1_A$ respectivement.
+\end{proposition2}
+
+Pour une analyse de ces formules, cf. \ref{addition dans IdemA}.
+
+\begin{démo}
+Les seuls points nécessitant une vérification sont
+l'associativité de l'addition et la distributivité de la
+multiplication par rapport à l'addition.
+Elles résultent respectivement des égalités
+\[e ⊞ (e ′ ⊞ e ″)=e+e ′ + e ″ - 2(e e ′ + e ′ e ″ + e ″ e) + 4 e e ′ e ″=(e ⊞ e ′) ⊞ e ″\]
+et
+\[f ⊠ (e ⊞ e ′)=f(e-e ′)²=f²(e-e ′)²=(fe-fe ′)²= (f ⊠ e)⊞(f ⊠ e ′).\]
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}\label{addition dans IdemA}
+On appelle \emph{treillis} (ou \emph{ensemble réticulé})
+un ensemble ordonné dans lequel toute famille finie (ou de façon équivalente·: à deux
+éléments) a une borne inférieure et une borne supérieure.
+%Cela revient à dire que dans la catégorie associée à la relation
+%d'ordre, les limites et colimites finies existent.
+Il est dit «·distributif·» si le minimum (noté souvent $∧$, « et »)
+de deux éléments et le maximum (souvent noté $∨$, « ou ») de deux éléments
+sont des opérations distributives l'une par rapport à
+l'autre. Explicitement·: $\sup(x,\inf(y,z))=\inf(\sup(x,y),\sup(x,z))$
+et $\inf(x,\sup(y,z))=\sup(\inf(x,y),\inf(x,z))$.
+
+\begin{enumerate}
+\item Soit $B$ une algèbre de Boole.
+Montrer que la relation d'ordre sur $B$ définie par :
+\[x≤y \text{ si et seulement si } y \text{ divise } x \]
+fait de $B$ est un treillis distributif d'éléments minimum $0$ et
+maximum $1$ et pour lequel $x ∧ y=xy$.
+\item Montrer que pour tout $x∈B$, il existe un unique $x'$, noté
+$¬x$, tel que $x∧x'=0$ et $x∨x'=1$.
+\item Montrer que pour chaque $x,y$ dans $B$ on a les égalités
+\[x⊕y=(x∧¬y)∨(¬x∧y)=¬(¬(x∧¬y)∧¬(¬x∧y)).\]
+
+% Solution. Supposons $z≤x$ et $z≤y$ de sorte que $z=xa$ et $z=yb$. On a donc
+% $z²=z=xy(ab)$·; $xy$ est donc le min $x∧y$ de $x$ et $y$. D'autre part,
+% $x=(x+y+xy)×(x)$ donc $x≤(x+y+xy)$. Réciproquement, si $x≤z$ et $y≤z$
+% (càd $x=za$, $y=zb$), $x+y+xy=z(a+b+ab)$ d'où $x+y+zy≤z$·; $x+y+xy$ est
+% donc le max $x∨y$ de $x$ et $y$. Distributivité·: $x∨(y∧z)=x+yz+xyz$
+% et $(x∨y)∧(x∨z)=(x+y+xy)(x+z+xz)=x+yz+xyz$. Idem pour
+% l'autre. Enfin, le «·complément·» $¬x$ de $x$ est $1+x$.
+
+\item En déduire que l'addition $⊞$ définie en \ref{opérations sur idempotents}
+est la seule addition pour laquelle on a :
+$e∧e'=ee'$ (produit dans $A$) et $¬e=1-e$ (dans $A$).
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
+
+\begin{proposition2}
+Toute algèbre de Boole intègre est isomorphe au corps $𝐅₂=𝐙/2$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soit $B$ une telle algèbre. Pour chaque $x ∈ B$,
+on a $x²=x$ d'où $x(1-x)=0$. Par intégrité,
+on a $x=0$ ou $x=1$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{SpecBoole=HomF2}
+Tout idéal premier d'une algèbre de Boole est maximal
+de corps résiduel $𝐅₂=𝐙/2$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte de la proposition précédente et du fait que
+si $B$ une algèbre de Boole et $𝔭$ un idéal premier,
+le quotient $B/𝔭$ est une algèbre de Boole intègre.
+\end{démo}
+
+\subsection{Ensemble des composantes connexes, connexité}
\begin{définition2}
-Deux idempotents $e,e'$
-sont dit \emph{orthogonaux} \index{idempotents orthogonaux} si $ee'=0$.
+On appelle \emph{ensemble des composantes connexes}
+\index{compostantes connexes}\index{π₀} d'un anneau
+commutatif $A$ le spectre $\Spec(\Idem(A))$ de l'algèbre
+de Boole de ses idempotents. On le note $π₀(A)$.
+\end{définition2}
+
+\subsubsection{}Soit $B$ une algèbre de Boole et soit $x ∈ B$.
+Les égalités $4x=4x²=(2x)²=2x$ montrent que $2x=0$
+de sorte que $B$ est naturellement une $𝐅₂$-algèbre.
+D'après \ref{SpecBoole=HomF2} et \ref{points rationnels et ideaux
+maximaux}, appliqués à $\Idem(A)$, on a donc :
+\[
+ π₀(A) = \japmath{田}\Idem(A)(𝐅₂),
+\]
+où l'ensemble de droite est $\Hom_{𝐅₂}(\Idem(A),𝐅₂)$.
+
+\begin{proposition2}
+Soit $A$ un anneau commutatif. Les conditions suivantes sont
+équivalentes :
+\begin{enumerate}
+ \item l'ensemble $π₀(A)$ est un singleton ;
+ \item l'anneau $A$ possède exactement deux idempotents.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+ (ii) ⇒ (i). Si $A$ a exactement deux idempotents, l'algèbre de
+ Boole $\Idem(A)$ est isomorphe à $𝐅₂$ et son spectre est
+ ponctuel. (i) → (ii). Nous allons montrer plus généralement
+ que si $B$ est une algèbre de Boole de spectre ponctuel,
+ alors $B$ est isomorphe à $𝐅₂$. Supposons que $B$ ne soit pas
+ isomorphe à $𝐅₂$ ; il existe donc $x ∈ B$ différent de $0$ et
+ $1$. L'idéal $(x)=Bx$ engendré par $x$ est strict car $x$ ne
+ peut pas être une unité, sans quoi l'égalité $x(1-x)=0$
+ entraînerait $x=1$. Ainsi, il existe un idéal maximal $𝔪$
+ contenant $x$. Pour la même raison, il existe un idéal
+ maximal $𝔪 ′$ contenant $1-x$. Ces idéaux sont nécessairement
+ distincts : s'ils étaient égaux, ils contiendraient
+ $x+(1-x)=1$.
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}\label{définition anneau connexe}
+ Un anneau commutatif $A$ est dit \emph{connexe}\index{connexe}
+ lorsqu'il satisfait les conditions équivalentes de la
+ proposition précédente.
\end{définition2}
+Un tel anneau est alors non nul et ses idempotents sont l'élément
+neutre $0$ et l'unité $1$.
+
+\subsubsection{Fonctorialité}
+Soit $f:A → B$ un morphisme d'anneaux commutatifs.
+L'image par $f$ d'un idempotent de $A$ étant idempotent,
+le morphisme $f$ induit un morphisme d'anneau $\Idem(f):\Idem(A)
+→ \Idem(B)$. On vérifie sans peine que si $g:B→C$
+est un second morphisme, les applications $\Idem(gf)$ et
+$\Idem(g)∘\Idem(f)$ de $\Idem(A)$ vers $\Idem(C)$ coïncident.
+En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur}), $A↦\Idem(A)$,
+$(f:A→B)↦\big(\Idem(f):\Idem(A)→\Idem(B)\big)$ est un \emph{foncteur
+covariant} de la catégorie des anneaux (commutatifs) vers la catégorie des
+algèbres de Boole. Par passage au spectre, chaque morphisme $f:A → B$
+induit (de façon contravariante) une application $π₀(f): π₀(B) →
+π₀(A)$.
+
+\subsubsection{}Soit $X$ un ensemble. On définit sur l'ensemble $𝔓(X)$
+des parties de $X$ est une structure d'anneau booléien
+en posant : $EF=E ∩ F$ et $E+F=(E ∩ CF) ∪ (F ∩ CE)$ (différence
+symétrique, aussi notée $E Δ F$). Cet anneau est isomorphe à l'anneau $𝐅₂^X$ des
+applications de $X$ dans $𝐅₂$ : on envoie une partie $E ⊆X$
+sur sa fonction caractéristique $χ_E$.
+
+\begin{proposition2}
+Soient $A$ un anneau commutatif connexe, $X$ un ensemble
+et $A^X$ l'anneau produit $\Hom_{\Ens}(X,A)$ des fonctions
+à valeurs dans $A$. L'application $\Idem(A^X) → 𝒫(X)$,
+$(φ: X → A) ↦ (φ^{-1}(1))$ est un isomorphisme
+d'algèbres de Boole.
+
+
+
+\end{proposition2}
+
+
+\subsection{Idempotents et décomposition en produit}
+
\begin{définition2}\label{idempotent indécomposable}
-Un idempotent $e$ est dit \emph{décomposable} \index{idempotent décomposable} s'il existe
-deux idempotents non nuls $e₁$ et $e₂$ tels que $e=e₁+e₂$ et $e₁e₂=0$. Dans le cas contraire, il est dit
+\begin{enumerate}
+ \item Deux idempotents $e,e'$ sont dit \emph{orthogonaux} \index{idempotents orthogonaux} si $ee'=0$.
+ \item Un idempotent $e$ est dit \emph{décomposable} \index{idempotent décomposable} s'il existe
+deux idempotents non nuls $e₁$ et $e₂$ tels que $e=e₁+e₂$ et $e₁e₂=0$. Dans le cas contraire, il est dit
\emph{indécomposable}.
+\end{enumerate}
\end{définition2}
-\subsection{Idempotents et décomposition en produit}
\begin{lemme2}\label{idempotents-produit}
Soient $A$ un anneau \emph{intègre} et $X$ un ensemble \emph{fini}.
@@ -407,13 +580,6 @@ $e¬e=0$. Ainsi $δσ=\Id$. La démonstration du cas général est identique.
\subsection{Connexité d'un anneau}
-\begin{définition2}\label{définition anneau connexe}
-On dit qu'un anneau $A$ est \emph{connexe} s'il possède exactement deux
-idempotents.
-\end{définition2}
-
-Un tel anneau est alors non nul et ses idempotents sont l'élément neutre $0$ et
-l'unité $1$.
\begin{exercice2}
Montrer qu'un anneau local est connexe.