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path: root/chapitres/spectre.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-08 22:28:59 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-08 22:28:59 +0100
commitc5323f00b494ca41b54d01c53ad13ec0dbe342ba (patch)
tree516582ae0e6075f7e95d490fe66aef1d1e811d4b /chapitres/spectre.tex
parentf226414180398dc01be4b316b6929f2008ba01ad (diff)
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[Spec] suppression tabulations
Diffstat (limited to 'chapitres/spectre.tex')
-rw-r--r--chapitres/spectre.tex49
1 files changed, 26 insertions, 23 deletions
diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index e53a038..a3b4dac 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -1,5 +1,6 @@
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
+\usepackage{palatino,euler}
\input{../configuration/commun}
\input{../configuration/smf}
\input{../configuration/adresse}
@@ -8,6 +9,7 @@
\input{../configuration/numerotation}
\input{../configuration/formules}
\input{../configuration/encoredesmacros}
+\input{.cv}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphics}
@@ -22,6 +24,7 @@
\begin{center}
Spectre et idéaux premiers
\end{center}
+\version
\setcounter{tocdepth}{1}
\tableofcontents
@@ -513,7 +516,7 @@ que N. Bourbaki les appelle plutôt « anneaux booléiens ».
D'après \ref{SpecBoole=HomF2} et \ref{points rationnels et ideaux
maximaux}, appliqués à $\Idem(A)$, on a donc :
\[
- π₀(A) = \japmath{田}\Idem(A)(𝐅₂),
+π₀(A) = \japmath{田}\Idem(A)(𝐅₂),
\]
où l'ensemble de droite est $\Hom_{𝐅₂}(\Idem(A),𝐅₂)$.
% ☡ la notation \japmath{田} s'accorde mal avec ⊞...
@@ -528,25 +531,25 @@ Soit $A$ un anneau. Les conditions suivantes sont
\end{proposition2}
\begin{démo}
- (ii) ⇒ (i). Si $A$ a exactement deux idempotents, l'algèbre de
- Boole $\Idem(A)$ est isomorphe à $𝐅₂$ et son spectre est
- ponctuel. (i) → (ii). Nous allons montrer plus généralement
- que si $B$ est une algèbre de Boole de spectre ponctuel,
- alors $B$ est isomorphe à $𝐅₂$. Supposons $B$ non isomorphe
- à $𝐅₂$ de sorte qu'il existe $x ∈ B$ différent de $0$ et $1$.
- L'idéal $(x)=Bx$ engendré par $x$ est strict car $x$ ne
- peut pas être une unité, sans quoi l'égalité $x(1-x)=0$
- entraînerait $x=1$. Ainsi, il existe un idéal maximal
- contenant $x$. Pour la même raison, il existe un idéal
- maximal contenant $1-x$. Ces idéaux sont nécessairement
- distincts : s'ils étaient égaux, ils contiendraient
- $x+(1-x)=1$.
+(ii) ⇒ (i). Si $A$ a exactement deux idempotents, l'algèbre de
+Boole $\Idem(A)$ est isomorphe à $𝐅₂$ et son spectre est
+ponctuel. (i) ⇒ (ii). Nous allons montrer plus généralement
+que si $B$ est une algèbre de Boole de spectre ponctuel,
+alors $B$ est isomorphe à $𝐅₂$. Supposons $B$ non isomorphe
+à $𝐅₂$ de sorte qu'il existe $x ∈ B$ différent de $0$ et $1$.
+L'idéal $(x)=Bx$ engendré par $x$ est strict car $x$ ne
+peut pas être une unité, sans quoi l'égalité $x(1-x)=0$
+entraînerait $x=1$. Ainsi, il existe un idéal maximal
+contenant $x$. Pour la même raison, il existe un idéal
+maximal contenant $1-x$. Ces idéaux sont nécessairement
+distincts : s'ils étaient égaux, ils contiendraient
+$x+(1-x)=1$.
\end{démo}
\begin{définition2}\label{définition anneau connexe}
- Un anneau commutatif $A$ est dit \emph{connexe}\index{connexe}
- lorsqu'il satisfait les conditions équivalentes de la
- proposition précédente.
+Un anneau commutatif $A$ est dit \emph{connexe}\index{connexe}
+lorsqu'il satisfait les conditions équivalentes de la
+proposition précédente.
\end{définition2}
Un tel anneau est alors non nul et ses idempotents sont l'élément
@@ -659,12 +662,12 @@ de $X$ sur sa fonction caractéristique.
Soient $X$ un ensemble et $k$ un corps.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
- \item Pour chaque $x ∈ X$, l'ensemble $𝔭_x=\{E ⊆X:x ∉ E\}$ est un idéal maximal de $𝔓(X)$.
- \item Pour chaque $x ∈ X$, l'ensemble $𝔮_x=\{f ∈ k^X:f(x)=0\}$
- est un idéal maximal de $k^X$. Il est
- \emph{principal}, engendré par l'élément $1-δ_x$ où
- $δ_x$ est la fonction caractéristique du
- singleton $\{x\}$.
+\item Pour chaque $x ∈ X$, l'ensemble $𝔭_x=\{E ⊆X:x ∉ E\}$ est un idéal maximal de $𝔓(X)$.
+\item Pour chaque $x ∈ X$, l'ensemble $𝔮_x=\{f ∈ k^X:f(x)=0\}$
+est un idéal maximal de $k^X$. Il est
+\emph{principal}, engendré par l'élément $1-δ_x$ où
+$δ_x$ est la fonction caractéristique du
+singleton $\{x\}$.
\end{enumerate}
\item Supposons $X$ fini.
\begin{enumerate}