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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 12:47:31 +0100
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 12:47:31 +0100
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[CG,versel] échange digression sur extensions galoisiennes d'anneaux
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-rw-r--r--chapitres/verselles.tex105
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index 1445c97..5fd7061 100644
--- a/chapitres/verselles.tex
+++ b/chapitres/verselles.tex
@@ -1437,111 +1437,6 @@ On l'a vu dans un cas particulier ; en toute généralité, c'est un corollaire
du théorème de Krull-Schmidt (cf. \cite{Bourbaki}, chap. 8, \cite{First@Lam}, §19).
\end{remarque2}
-\subsection{G-algèbres galoisiennes sur un anneau}\label{G-algèbres galoisiennes sur un anneau}
-
-\begin{définition2}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre
-et $G$ un sous-groupe fini de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$.
-On dit que $B$ est \emph{galoisienne de groupe $G$} sur $A$
-si les conditions suivantes sont satisfaites :
-\begin{enumerate}
-\item le morphisme $A → B$ est injectif et $A=\Fix_G(B)$ ;
-\item le morphisme
-\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B),\]
-\[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\]
-est un isomorphisme.
-\end{enumerate}
-\end{définition2}
-
-Remarque : on peut remplacer (i) par : (i') le morphisme $A → B$ est fidèlement plat.
-(i') ⇒ (i) : $b ∈ B$ si et seulement si $1 ⊗ b=b ⊗ 1$
-(par fidèle platitude) ce qui revient à $b=g(b)$ pour
-tout $g ∈ G$. Réciproquement
-
-\begin{exemple2}
-Si $L\bo K$ est une extension fini galoisienne de
-groupe $G$, la $K$-algèbre $L$ est galoisienne
-de groupe $G$ au sens précédent.
-\end{exemple2}
-
-\begin{lemme2}
-Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $B\{G\}$
-l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
-est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
-étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$.
-Le morphisme $B\{G\} → \End_A(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
-est un isomorphisme.
-\end{lemme2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
-\end{démo}
-
-\begin{lemme2}
-Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $\Tr_{B \bo A}$ la \emph{trace} $b ↦ ∑_g g(b)$, $B → A$.
-Le morphisme $A$-linéaire $B → B^{\vee}=\Hom_A(B,A)$, $b ↦ \Tr_{B\bo
-A}(b ⋅)$, est un isomorphisme.
-\end{lemme2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
-\end{démo}
-
-\begin{lemme2}
-Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $M$ un $A$-module.
-Le morphisme $A$-linéaire $\Hom_A(B,A)⊗_A M → \Hom(B,M)$,
-$f ⊗ m ↦ \big( b ↦ f(b)m\big)$ est un isomorphisme.
-\end{lemme2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
-\end{démo}
-
-\begin{proposition2}
-La condition (\textrm{\textbf{ii}}) est équivalente
-à la condition (\textrm{\textbf{ii}}′) suivante :
-il existe des éléments $(b_h)_{h ∈ G}$ et $(b ′_h)_{h ∈ G}$ dans $B$ tels
-que, pour tout $g ∈ G$,
-\[
-∑_h b_h g(b ′_h)=δ^1_g,
-\]
-où $δ$ est la fonction delta de Kronecker.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-L'implication (iii) ⇒ (iii′) est triviale : il suffit
-d'écrire $d^{-1}\big((δ_g^1)\big)$ sous la forme $∑_h b_h ⊗ b ′_h$.
-
-Pour montrer l'implication opposée, on utilise les trois
-lemmes précédents. \XXX
-\end{démo}
-
-\begin{corollaire2}
-Notion stable par changement de base.
-\end{corollaire2}
-
-\begin{proposition2}\label{algèbre galoisienne est projective}
-$B$ est projectif sur $A$.
-Pour tout $𝔪 ∈ \Specmax(A)$, $B/𝔪$ est de rang
-fini $♯G$ sur le corps $A/𝔪$. Plus généralement,
-$A → K$ est un morphisme de but un corps,
-la $K$-algèbre $B_K=B ⊗_A K$ est de dimension $♯G$.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
-En effet, $(B ⊗_A B)⊗_A K$ est d'une part (canoniquement) isomorphe à $B_K ⊗_K B_K$
-et, par hypothèse, isomorphe à $B_K^{(G)}$ ; on a donc $\dim_K(B_K)²=\dim(B_K
-⊗_K B_K)=\dim_K(B_K)⋅\#G$.
-\end{démo}
-
-\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide}
-Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres
-galoisiennes de groupe $G$ est un isomorphisme.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
-\end{démo}
\subsection{Interprétation géométrique}