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Tout élément $x$ de $K$ qui n'est pas +dans $k$ est primitif car le corps engendré $k(x)$ +contient strictement $k$ et est inclus dans $K$. Ainsi, la +$k$-extension $K$ est isomorphe au quotient $k_f=k[X]/f$ où $f=X²-aX+b$ est un +polynôme irréductible de degré deux. Par irréductibilité, le coefficient $b$ est +nécessairement non nul. L'extension $K$ est séparable +\ssi le polynôme $f$ est séparable +(\refext{Alg}{dec(f)-sep=>f-red-separable}), +ce qui est le cas sauf si $\car(k)=2$ et $a=0$ +(cf. \refext{Alg}{separable-irreductible}). +En caractéristique différente de deux, +le changement de variable $X↔X+1$ nous permet également de +supposer $a≠0$. (En d'autres termes, il existe un polynôme +unitaire de degré deux $f$ tel que $f(0)$ soit non nul et $k_f$ soit +isomorphe à $k$.) Enfin, on peut supposer $b=1$. +Pour le vérifier, notons $r$ et $s$ les racines de $f$ dans +$k_f$ — une d'entre elles est la classe de $X$ dans le quotient +mais peu importe — de sorte que $rs=b$ et $r+s=a$. +Nous allons montrer plus précisément que sous l'hypothèse +de non-nullité de $a$, il existe un unique +$λ∈k^×$ tel que $λr+1$ et $λs+1$ soient racines +d'un polynôme de la forme $g=X²-σX+1$. +Le coefficient $(λr+1)(λs+1)=λ²(rs)+λ(r+s)+1$ est en effet égal à $1$ pour +$λ=-\frac{a}{b}$. (On a alors $σ=\frac{2b-a²}{b}$). +Remarquons qu'en caractéristique différente de deux, le +changement de variable $X'=X-\frac{σ}{2}$ dans l'équation $g=0$ +nous ramène à l'équation plus familière ${X'}²-π'$, où $π'=1-\frac{σ²}{4}$. +En caractéristique deux, le changement de variable $X'=\frac{X}{σ}$ nous ramène à l'équation +${X'}²-X'-a'$, où $a'=\frac{1}{σ}$. (Une telle équation est dite +d'\emph{Artin-Schreier}\index{Artin-Schreier}, cf. \refext{KAS}{}.) + +En résumé, nous avons établi la proposition suivante. + +\begin{proposition}\label{equation verselle C2} +\begin{enumerate} +\item Soit $k$ un corps. Toute extension séparable de degré +deux est galoisienne +de groupe cyclique d'ordre deux et engendrée par une racine +d'un polynôme irréductible de la forme +$X²-σX+1$ où $σ∈k$, de discriminant $σ²-4$ et de distinguant +$(σ²-4)^{-1}$. +\item Si $k$ est de caractéristique différente de deux, +l'équation précédente se transforme en $X²-π$, +de discriminant $4π$. Un tel polynôme est irréductible \ssi +$π∉k²$. +\item Si $k$ est de caractéristique deux, l'équation +précédente +se transforme en $X²-X-a$, de $2$-distinguant $a$. +Un tel polynôme est irréductible \ssi $a∉℘k$. +\end{enumerate} +\end{proposition} + +%idéalement, remplacer $℘$ par un $2$ sous une forme +%spéciale. + +Les énoncés sur l'irréductibilité sont évidents et résultent +d'ailleurs de \refext{CG}{caracterisation groupe Gal +alterne}. + +\begin{remarque} +La proposition ci-dessus ne donne pas une description +parfaite des extensions galoisiennes de degré deux : la +famille +des extensions $k_σ=k[X]/(X²-σX+1)$ est redondante +en ce sens que pour deux valeurs distinctes $σ$ et $σ'$, +les extensions $k_σ\bo k$ et $k_σ'\bo k$ peuvent +être isomorphes. (Par exemple, si $k=𝐑$, $𝐑_σ≃𝐂$ si +$σ²<4$ et $𝐑_σ≃𝐑²$ dans le cas contraire.) +L'équation ci-dessus est donc une équation « verselle » +et non universelle. +\end{remarque} + +\section{Extensions de groupe $C₃=𝐙/3$} + +Nous nous proposons d'exhiber une équation verselle (à un +paramètre) +pour le groupe $C₃$, \cad une équation (à un paramètre) +décrivant, +de façon non nécessairement unique, les extensions +galoisienne de groupe $C₃$ d'un corps $k$. +Contrairement à la théorie de Kummer, exposée en +\refext{KAS}{} et brièvement en \ref{KAS I}, +aucune hypothèse n'est faite sur $k$. + +\subsection{Détermination d'une équation verselle}Soit $k$ un corps. Il résulte +\refext{CG}{exemple-galois-equation-generique} +que pour tout sous-groupe fini $G$ de $\PGL₂(k)$, +agissant $k$-linéairement sur $k(t)$ par +$\left(\begin{matrix}a & b\\ c & d\end{matrix}\right) ↦ +(t↦\frac{at+b}{ct+d})$, +l'extension $k(t)\bo \Fix_{G}\big(k(t)\big)$ est galoisienne +de groupe $G$ +(voir aussi \refext{CG}{action PGL2 et Artin}). +Considérons ici le cas particulier du groupe cyclique +d'ordre trois engendré +par la transformation homographique $σ:t↦(1-t)^{-1}$, +correspondant +à la matrice $\left(\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & +1\end{matrix}\right)$ de +cube $-\Id$, +et notons $K$ le sur-corps $\Fix_{⟨σ⟩}(k(t))$ de $k$. + +\begin{lemme2} +Soit $a=t+σ(t)+σ²(t)∈K$. +\begin{enumerate} +\item L'inclusion $k(a)⊆K$ est une égalité. +\item Le polynôme minimal de $t$ sur $k(a)$ est +$X³-aX²+(a-3)X+1$. +\end{enumerate} +\end{lemme2} + +\begin{démo} +(i) On commence par vérifier par le calcul que +\begin{equation}\tag{$\star$} +a=\frac{t³-3t+1}{t²-t}. +\end{equation} +Il en résulte que $t$ est de degré au plus trois sur $k(a)$. +Par +multiplicativité des degrés on a donc +\[ +3≥[k(t):k(a)]=[k(t):K][K:k(a)]=3[K:k(a)] +\] +d'où la conclusion. + +(ii) Résulte de $(\star)$. +\end{démo} + +Ce résultat nous conduit naturellement à énoncer la +proposition suivante. + +\begin{proposition2}\label{equation verselle C3} +Soit $k$ un corps. Toute extension de $k$ galoisienne de +groupe cyclique +d'ordre trois est engendrée par une racine d'un polynôme de +la forme +$X³-aX²+(a-3)X+1$, de discriminant +$a⁴-6a³+27a²-54a+81=(a²-3a+9)²$ +et, si $k$ est de caractéristique deux, de $2$-distinguant +nul. +Si $k$ est de caractéristique trois, $a$ est non nul et +le changement de variable $Y=\frac{1}{1+X}$ transforme +l'équation verselle précédente +en $Y³-Y=-\frac{1}{a}$. +\end{proposition2} + +Le fait que le discriminant (resp. $2$-distinguant) +soit un carré (resp. de la forme $℘k$) est conforme +au résultat \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}. +(Pour le calcul du discriminant et du $2$-distinguant, +cf. \refext{CG}{exemples discriminants et 2-distinguants}). +D'autre part, l'équation $Y³-Y=-\frac{1}{a}$ est une +\emph{équation d'Artin-Schreier}, cf. \refext{KAS}{}. + +\begin{démo} +Soit $K\bo k$ une extension galoisienne de groupe de galois +$G_{K\bo k}$ +cyclique d'ordre trois et soit $σ$ un générateur de ce +groupe. +Considérons $x∈K-k$. On cherche un élément +$y_x∈k(x,σ(x),σ²(x))$ tel que $σ(y_x)=\frac{1}{1-y_x}$. +Il est immédiat que +\[ +y_x=\frac{x-σ²(x)}{x-σ(x)} +\] +est du type souhaité. (Observons que $x≠σ(x)$ car $x∉k$.) +Il résulte des calculs effectués ci-dessus qu'un tel $y$ est +racine +d'un polynôme du type attendu (où $a=\frac{y³-3y+1}{y²-y}$). +Il faut vérifier que, pour un choix convenable de $x$, $y_x$ +engendre $K$ sur +$k$, \cad n'appartient pas à $k$. La condition $y∈k$ se +réécrit $σ(y)=y$ +ou encore $y(1-y)=1$, équation ayant au plus deux solutions +dans $K$. +Or, si $1,α,β$ est une $k$-base de $K$, les quantités +$y_α,y_β$ et $y_{α+β}$ +sont deux à deux distinctes. +En effet, si par exemple $y_α=y_β=λ∈k$, \cad +\[ +\frac{α-σ²(α)}{α-σ(α)}=λ=\frac{β-σ²(β)}{β-σ(β)}, +\] +les endomorphismes $\Id,σ$ et $σ²$ seraient linéairement +dépendants sur $k$. +C'est absurde (\refext{CG}{indépendance linéaire des +automorphismes}). +\end{démo} + +% Merci H. Randriam. + +\begin{exemple2} +Le polynôme $f=X³-3X+1∈𝐐[X]$ est irréductible, car il n'a +pas de racine +rationnelle. Il résulte de la proposition précédente +(prendre $a=0$) +que son discriminant est un carré de sorte que $G_f≃𝔄₃≃𝐙/3$. +\end{exemple2} + +\subsection{Critère pour qu'un polynôme de degré trois ait +un groupe +de Galois cyclique} +Soient $k$ un corps et $f=X³+aX+b∈k[X]$ un polynôme +irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable de +$k$ et +$R=\{x₁,x₂,x₃\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de +Galois $G$ de $f$ +correspondant est naturellement un sous-groupe de $𝔖_R$ +agissant transitivement sur $R$ +(cf. \refext{CG}{Gal(f)=groupe permutation} et +\refext{CG}{action transitive de +Galois si poly irréductible}). Les deux seuls cas possibles +sont donc +$G=𝔄_R$ ou $G=𝔖_R$. Il résulte de \refext{CG}{distinguant +distingue groupe alterné}, +ou \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}, que +l'on peut distinguer ces deux cas selon le distinguant. + +Nous nous proposons ici de retrouver ce résultat en +introduisant +une « résolvante », la proposition ci-dessous n'étant qu'un +prétexte. +(L'étude générale des résolvantes sera +faite plus tard dans ce chapitre.) + +Considérons +\[ +α=x₁x₂²+x₂x₃²+x₃x₁² +\] +et +\[ +β=x₂x₁²+x₃x₂²+x₁x₃² +\] +les $𝔄_R$-symétrisés additifs de $x₁x₂²$ et $x₂x₁²$ +respectivement. +Notons que l'\emph{expression polynomiale} définissant $α$ +et celle définissant $β$, obtenue en intervertissant $x₁$ et +$x₂$, +ne sont pas $𝔖_R$-invariantes. +Par construction, si le groupe de Galois $f$ est contenu +dans $𝔄_R$, +les éléments $α$ et $β$ appartiennent à $k$ : le polynôme +\[ +g=(Y-α)(Y-β)=Y²-(α+β)Y+αβ∈k[Y] +\] +a alors ses racines dans $k$. +Puisque l'on a supposé la somme $x₁+x₂+x₃$ nulle, +\[ +α+β=x₁x₂(x₁+x₂)+x₂x₃(x₂+x₃)+x₃x₁(x₃+x₁)=3b\] +et +\[ +αβ=\big((x₁x₂)^3+(x₂x₃)³+(x₃x₁)³\big)+3(x₁x₂x₃)²+(x₁x₂x₃)\big(x₁³+x₂³+x₃³\big) +\] +vaut +\[ +(a³+3b²)+3(-b)²+(-b)(-3b)=a³+9b², +\] +de sorte que $g=Y²+3bY+(a³+9b²)$. +La factorisation +\[ +β-α=(x₁-x₂)(-x₁x₂-x₃²+x₃(x₁+x₂))=(x₁-x₂)(x₁-x₃)(x₂-x₃) +\] +montre que $g$ est séparable. +(On pourrait aussi vérifier en utilisant les formules +de \refext{CG}{exemples discriminants et 2-distinguants} que +$Δ(g)=(3b)²-4(a³+9b²)=-4a³-27b²=Δ(f)$. Voir aussi la +remarque ci-dessous.) + +Si $G=𝔖_R$, il existe $σ∈G$ (p. ex. l'élément correspondant +à la transposition $τ_{x₁,x₂}$) tel que $σ(α)=β$. +En particulier, $α∉k$ et $g$ n'est pas scindé sur $k$. +En résumé, on a démontré la proposition suivante : + +\begin{proposition2}\label{Gal(deg 3)=cyclique} +Soient $k$ un corps et $f=X³+aX+b$ un polynôme irréductible +séparable sur $k$. +Le groupe de Galois du polynôme $f$ est cyclique d'ordre +trois \ssi +le polynôme $Y²+3bY+(a³+9b²)$ est scindé sur $k$. +\end{proposition2} + +\begin{remarque2}\label{ce n'est pas une coincidence} +Il résulte des formules \refext{CG}{} que +\[ +\japmath{別}(Y²+3bY+(a³+9b²))=-\frac{a³+\mathbf{9}b²}{4a³+27b²} +\] +et +\[ +\japmath{別}(X³+aX+b)=-\frac{a³+\mathbf{7}b²}{4a³+27b²}. +\] +La somme des deux racines du polynôme quadratique est $3b$, +où $b≠0$ +car $f$ est irréductible. La somme des trois racines de $f$ +étant nulle, deux racines quelconques sont de somme +l'opposée d'une racine, nécessairement +non nullle. \emph{En caractéristique différente de trois}, +il résulte +donc de la proposition précédente et de +\refext{CG}{distinguant distingue groupe alterné}, +que les polynômes $T²+T+\frac{a³+\{7\textrm{ ou +}9\}b²}{4a³+27b²}$ +se scindent simultanément. C'est évident en caractéristique +deux +(les polynômes sont égaux) ; en caractéristique différente +de deux +et trois, cela résulte du fait que le quotient des +discriminants +de ces deux polynômes quadratiques en $T$ est une puissance +\emph{paire} de $3$). +\end{remarque2} + +\section{Extensions de groupe $C₄=𝐙/4$} + +\subsection{Caractéristique différente de deux}Soit $k$ un +corps de caractéristique différente de deux, +$k₄\bo k$ une extension galoisienne de groupe $C_4$ et +$k₂$ l'unique sous-corps de $k₄$ quadratique et galoisien +sur $k$. +On a donc $k₂=k(x)$ et $k₄=k₂(y)$ où $x²=:ε∈k$ et +$y²=a+bx∈k₂$, +$a,b∈k$. Réciproquement, considérons $ε∈k∖k²$ et +$k₂=k(\sqrt{ε})$ +l'extension quadratique de $k$ associée. À toute paire +d'éléments +$(a,b)$ de $k$, on associe le corps +$k₄=k₂(\sqrt{a+b\sqrt{ε}})$. + +\begin{théorème2} +\begin{enumerate} +\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe +cyclique +d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est +de la forme $εc²$ pour +un $c∈k^×$. +\item Une extension quadratique $k(\sqrt{ε})$ se plonge +dans une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre +quatre \ssi $ε$ est une somme +de deux carrés dans $k$. +\end{enumerate} +\end{théorème2} + +\begin{exemples2} +\XXX +\end{exemples2} + +\begin{démo} +(i) Supposons $k₄\bo k$ galoisienne de groupe isomorphe à +$C₄$. +Soient $x$ et $y$ comme ci-dessus. L'élément $y$ est racine +du polynôme +\[ +X⁴+2aX²+(a²-εb²). +\] +Nécessairement $b≠0$ sans quoi $k₄$ serait +$k(\sqrt{ε},\sqrt{a})$, +dont le groupe de Galois sur $k$ est de $2$-torsion. Ainsi, +l'égalité +$y²=a+bx$ entraîne $x∈k(y)$ : le corps $k₄$ est +un corps de rupture du polynôme ci-dessus. Par hypothèse, +l'extension est normale ; c'est donc un corps de +\emph{décomposition} +de ce polynôme, dont les racines sont $y,-y,y'$ et $-y'$ où +$y'$ est une racine carrée de $a-bx$. +Il existe donc un générateur $σ$ de $\Gal(k₄\bo k)$ +envoyant $y$ sur $y'$. On a alors $σ(y')=-y$. +Posons \[c=\frac{yy'}{x}.\] +On a donc +\[ +σ(c)=\frac{y'⋅(-y)}{-x}=c +\] +de sorte que $c∈k^×$. +D'autre part, $εc²=y²{y'}²=a²-εb²$ ; +la condition $\N_{k₂\bo k}(a+bx)∈ε{k^×}²$ est donc +nécessaire. +Réciproquement, si $a²-εb²=εc²$ où $c∈k^×$, +$b$ est non nul (sans quoi $ε$ serait un carré) +et l'extension $k₄\bo k$, d'élément primitif +$y$, est \emph{normale} car la condition $yy'∈k₂$ (résultant +de $(yy')²=εc²$) entraîne $y,y',-y,-y'∈k(y)$. +(L'extension est bien de degré quatre car +aucune racine ni aucun produit de deux racines du +polynôme ci-dessus n'appartient à $k$.) +(ii) Tout élément $y=a+bx$ s'écrit également +sous la forme $y=a'ε+bx$ car $ε≠0$. La condition +sur la norme de $y$ précédente se réécrit alors +${a'}²ε²-εb²=εc²$, +ou encore ${a'}²ε=b²+c²$. Soit $a'=0$, auquel cas $-1$ est +un carré +dans $k$ et tout élément, dont $ε$, est une somme de deux +carrés, +soit $a'≠0$ et $ε=(b/a')²+(c/a')²$. +\end{démo} + + +\begin{corollaire2}\label{equation verselle C4} +L'équation à deux paramètres $s$ et $t$ +\[ +X⁴-2u(1+t²)X²+u²t²(1+t²)=0 +\] +est verselle pour les extensions de groupe $C₄$ : +toute telle extension de $k$ est un corps de rupture +d'un tel polynôme en $X$, où $t∈k$ est tel que $1+t²$ ne +soit pas un carré et $u∈k$ est non nul. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Soient $t∈k$ tel que $ε=1+t²$ ne soit pas un carré. +Considérons $y=ε+\sqrt{ε}$. On a $\N(y)=ε²-ε=ε(ε-1)=εt²$ +de sorte que l'extension $k(\sqrt{y})\bo k$ est +galoisienne, cyclique de degré quatre. Il en est plus généralement +de même de l'extension $k(\sqrt{uy})\bo k$ pour tout $u ∈ k^×$ +car $\N(uy)=u²\N(y)$. +Réciproquement, il résulte de la proposition suivante +que toutes les extensions de $k(\sqrt{ε})$ de groupe $𝐙/4$ +sur $k$ s'obtiennent ainsi. + +L'élément $y=\sqrt{u(ε+\sqrt{ε})}$ satisfait l'équation +$(y^2-uε)²=u²ε$ ; son polynôme minimal est donc celui de +l'énoncé. +\end{démo} + +\begin{proposition2}\label{extensions quadratiques sont obtenues par torsion} +Soient $k$ un corps de caractéristique différente de deux, +$K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$ et $Ω$ +une clôture séparable de $K$. +Considérons un groupe $E$, extension non scindée de $G$ par $𝐙/2$ : +\[ +1 → 𝐙/2 → E → G → 1, +\] +où $E ↠ G$ n'a pas de section. +Soient $L₁=K(\sqrt{y₁})\bo K$ et $L₂=K(\sqrt{y₂})\bo K$ +deux sous-corps de $Ω$, quadratiques sur $K$, tels que les extensions $L₁\bo k$ et $L₂\bo k$ +soient galoisiennes de groupe isomorphe à $E$. +Alors, il existe $λ ∈ k^×$ tel que $L₂=K(\sqrt{λ y₁})$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Supposons $L₁≠L₂$ sans quoi il n'y a rien à démontrer. +Le sous-corps $L₁ ∩ L₂$ de $Ω$ est donc $K$ de sorte +que le morphisme +\[\Gal(L₁L₂\bo k) → \Gal(L₁\bo k) ×_{\Gal(K\bo k)} \Gal(L₂\bo k)\] +est un isomorphisme (\refext{CG}{fonctorialite-finie-galois}) : +le corps $M=L₁L₂$ est galoisien sur $k$ (resp. sur $K$) +de groupe isomorphe à $E×_G E$ (resp. $𝐙/2 × 𝐙/2$). +(Remarquons que $E×_G E$ est, non canoniquement, isomorphe à $E× 𝐙/2$.) +Soit $τ₁ ∈ E×_G E$ (resp. $τ₂$) le générateur du sous-groupe +d'ordre deux $1× 𝐙/2$ (resp. $𝐙/2×1$) de sorte que +$L_i=\Fix_{⟨τ_i⟩}(M)$. Soit $Δ:E → E×_G E$ le morphisme diagonal +et $k′=\Fix_{Δ(E)}(M)$. C'est une extension quadratique de $k$, car +$Δ(E)$ est d'indice deux dans $E×_G E$ : on a $k ′=k(\sqrt{λ})$ pour un certain $λ ∈ k^×$. +Posons $L₁′=K(\sqrt{\vphantom{y₁}λ}\sqrt{\vphantom{λ}y₁})$. C'est une extension quadratique ou triviale +de $K$. Si elle était triviale, on aurait $λ y₁ ∈ K²$ d'où $L₁=K(\sqrt{λ})=Kk ′$ +et $E → G$ serait alors scindée (cf. \emph{loc. cit.}). +D'autre part $k ′$ n'est pas contenu dans $L₁$ ni $L₂$ car $Δ(E)$ ne contient +ni $τ₁$ ni $τ₂$. L'automorphisme $τ₂$ agit donc par $\sqrt{λ} ↦ -\sqrt{λ}$. +Comme il agit de même sur $\sqrt{y₁}$, il fixe $\sqrt{\vphantom{y₁}λ}\sqrt{\vphantom{λ}y₁})$ +donc $L₁′$. Par la théorie de Galois, les corps $L₂$ et $L₁ ′$ coïncident. CQFD. +\end{démo} + +\begin{remarque2} +Il est possible de démonter un énoncé semblable en remplaçant les racines +carrées (resp. le groupe $𝐙/2$) par des racines $p$-ièmes (resp. +le groupe $𝐙/p$) où $p$ est un nombre premier différent +de la caractéristique des corps. On pourrait également généraliser +cet énoncé au cas de la caractéristique deux en remplaçant les racines +carrées (usuelles) par des racines $\root℘\of{}$. +\end{remarque2} + +\begin{exercice2} +Déduire du théorème précédent qu'un +polynôme $X⁴+AX²+B$ est de groupe de Galois isomorphe +à $C₄$ \ssi $A²-4B∉k²$ et $\frac{A²-4B}{B}∈{k^×}²$. +\end{exercice2} + +\begin{exercice2} +\begin{enumerate} +\item Soit $𝐙/4↪\PGL₂(𝐐)$ le plongement envoyant $1$ sur +la (classe de la) matrice $\left(\begin{matrix}1 & 1\\ -1 & +1\end{matrix}\right)$. Soit $T=\frac{X⁴+6X²+1}{X(X²-1)}$. +Vérifier que $T$ appartient à $\Fix_{𝐙/4}(𝐐(X))$ et que le +polynôme minimal +de $X$ sur $𝐐(T)$ est +\[ +X⁴-TX³+6X²+TX+1=0 +\] +\item Montrer que l'équation ci-dessus est verselle +\ssi $-1$ est un carré dans $k$. +\end{enumerate} +\end{exercice2} + +\subsection{Caractéristique deux}Soit $k$ un corps de +caractéristique deux, +$k₄\bo k$ une extension galoisienne de groupe $C_4$ +et $k₂$ l'unique sous-corps de $k₄$ quadratique et galoisien +sur $k$. +On a donc $k₂=k(x)$ et $k₄=k₂(y)$ où $℘(x):=x²+x=ε∈k$ et +$℘(y)=a+bx∈k₂$. +Réciproquement, considérons $ε∈k∖℘(k)$ et +$k₂=k(\sqrt[℘]{ε})$ l'extension +quadratique de $k$ associée. À toute paire d'éléments +$(a,b)$ de $k$, +on associe le corps $k₄=k₂(\sqrt[℘]{a+b\sqrt[℘]{ε}})$. + +\begin{théorème2} +\begin{enumerate} +\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe +cyclique +d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est +de la forme +$ε+℘(c)$ pour un $c∈k$. +\item Une extension quadratique $k(\sqrt[℘]{ε})$ se plonge +toujours dans une extension galoisienne de groupe cyclique +d'ordre +quatre. +\end{enumerate} +\end{théorème2} + +\begin{exemples2} +\XXX +\end{exemples2} + +\begin{démo} +(i) Supposons $k₄\bo k$ galoisienne de groupe isomorphe à +$C₄$. +Soient $x$ et $y$ comme ci-dessus. Nécessairement $b≠0$ +sans quoi $k₄$ serait $k(\sqrt[℘]{ε},\sqrt[℘]{a})$ dont le +groupe +de Galois sur $k$ est de $2$-torsion. +L'élément $y$ est racine du polynôme +\[ +X⁴+(1+b)X²+bX+(a²+ab+b²ε), +\] +obtenu en écrivant +\[ +(\frac{y²+y+a}{b})²+(\frac{y²+y+a}{b})=ε. +\] +L'égalité $y²+y=x$ montre que $x∈k(y)$ si bien +que $k₄$ est un corps de rupture du polynôme ci-dessus. +Le conjugué de $x=\sqrt[℘]{ε}$ est $x+1$ ; les conjugués +de $y$ sont donc $y,y+1,y'$ et $y'+1$ où $℘(y')=x+1$. +Soit $σ∈\Gal(k₄\bo k)$ tel que $σ(y)=y'$. On a alors +nécessairement +$σ(y')=y+1$ et $σ(x)=x+1$. Posons +\[ +c=y+y'+x. +\] +On a donc +\[ +σ(c)=(y')+(y+1)+(x+1)=c +\] +de sorte que $c∈k$. +D'autre part, +\[ +℘(c)=(a+bx)+(a+b(x+1))+ε=b+ε=\Tr_{k₂\bo k}(a+bx)+ε. +\] +La condition $\Tr_{k₂\bo k}(a+bx)∈ε+℘k$ est donc nécessaire. +Réciproquement, si $b+ε∈℘k$, l'élément $y+y'+x$, +\emph{a priori} dans une clôture algébrique de $k$, +est dans $k$ de sorte que l'extension $k(y)\bo k$ +est \emph{normale} donc galoisienne. +(Elle est bien de degré quatre car aucune racine +ni aucune somme de deux racines du polynôme ci-dessus +n'appartient à $k$.) +(ii) L'élément $ε∈k$ étant fixé, +il existe toujours un $b∈k$, par exemple $b=ε$, +tel que $b+ε∈℘k$. +\end{démo} + +\begin{remarque2} +L'énoncé (ii), +d'après lequel toute $𝐙/2$-extension se plonge dans une +$𝐙/4$-extension, +est un cas particulier d'un résultat général : en +caractéristique $p$, +toute $𝐙/p^r$-extension $(r≥1$) se plonge dans une +$𝐙/p^{r+1}$-extension. +Cela résulte de la nullité du \emph{groupe de cohomologie} +$H²(G_k,𝐙/p)=0$ +(cf. \refext{}{}) ou bien du fait que l'application +naturelle +$H¹(G_k,𝐙/p^{r+1})→H¹(G_k,𝐙/p^r)$ s'identifie d'après +\refext{KAS}{} à la \emph{surjection} +$W_{r+1}(k)/℘W_{r+1}(k)↠W_{r}(k)/℘W_{r}(k)$ +(cf. \refext{KAS}{}). +\end{remarque2} + +\begin{exercice2} +Déduire du théorème précédent +qu'un polynôme $X⁴+aX²+bX+c$ est de groupe de Galois +isomorphe +à $C₄$ \ssi $...$ et $...$. \XXX +\end{exercice2} + +\section{¶ Extensions de groupe quaternionique} + +{ +\def\i{\mathsf{i}} +\def\j{\mathsf{j}} +\def\k{\mathsf{k}} + +\subsection{Caractéristique différente de deux} +\subsubsection{Notations}\label{notations Witt non 2} +Soit $k$ un corps de caractéristique différente de deux +et soit $k_{V₄}\bo k$ une extension galoisienne de groupe non +cyclique d'ordre quatre. Un tel groupe est isomorphe au groupe +de Klein $V₄=\{1,v_\i,v_\j,v_\k\}$ (cf. \refext{Azu}{quaternions inversibles}). + +L'extension $k_{V₄}\bo k$ contient exactement trois sous-extensions +quadratiques distinctes que nous +noterons $k(b_\i)$, $k(b_\j)$ et $k(b_\k)$, +où $b_μ²=:a_μ$ appartient à $k-k²$ pour chaque $μ∈\{\i,\j,\k\}$. +On peut supposer $b_\i b_\j b_\k=1$ car ni +$b_\i$ ni $b_\j$ n'appartiennent à l'extension quadratique +$k(b_\i b_\j)$. En effet, si par exemple $b_\i$ s'exprimait +sous la forme $α+βb_\i b_\j$ avec $α,β∈k$, on aurait +$2αb_\i∈k$ d'où $α=0$ et, finalement, $βb_\j=1∈k$, ce qui +est absurde. +Pour $μ∈\{\i,\j,\k\}$, notons $σ_μ$ l'élément +du groupe de Galois agissant par $σ_μ(b_μ)=b_μ$ et +$σ_μ(b_ν)=-b_ν$ si $ν≠μ$. On a $σ_μ²=\Id$ et $σ_\i σ_\j +σ_\k=\Id$ ; le morphisme $V₄→\Gal(k_{V₄}\bo k)$, $v_μ↦σ_μ$, +où l'on pose $σ_1=\Id$, est un isomorphisme de groupes. + +Au cours de la démonstration du théorème suivant, il nous sera utile +de linéariser cette action en adoptant parfois un point de vue et des notations légèrement +différents. Observons que l'on a un plongement $V₄↪\GL₃(k_{V₄})$, +envoyant $v_\i$ (resp. $v_\j,v_\k$) sur $g_\i=\diag(1,-1,-1)$ +(resp. $g_\j=\diag(-1,1,-1)$, $g_\k=\diag(-1,-1,1)$). +Par construction, si l'on pose $b=(b_\i,b_\j,b_\k)∈k_{V₄}³$ +et que l'on fait agir $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ sur chaque coordonnées, +on a $σ_μ(b)=g_μ⋅b$. On étend cette formule en posant $g_1=\Id$. + +\begin{théorème2}[\cite{Konstruktion@Witt}]\label{critere +Witt plongement quaternionique} +Les conditions suivantes sont équivalentes. +\begin{enumerate} +\item L'extension $k_{V₄}\bo k$ se plonge dans une extension +galoisienne de groupe isomorphe au groupe quaternionique. +\item Les formes quadratiques +$a_\i X_\i²+a_\j X_\j²+a_\k X_\k²$ et $Y_\i²+Y_\j²+Z_\k²$ +sont équivalentes sur $k$. +\end{enumerate} +Supposons les conditions précédentes satisfaites +et considérons une matrice $P∈\GL₃(k)$ +satisfaisant la relation $\transpose{P} P=\diag(a_\i,a_\j,a_\k)$. +Les extensions quaternioniques de $k$ contenant $k_{V₄}$ +sont les extensions quadratiques de $k_{V₄}$ +définies par les classes +\[ +x=λ⋅\NSpin\big(P⋅\diag(b_\i,b_\j,b_\k)^{-1}\big)∈k_{V₄}^×/{k_{V₄}^×}² +\] +où $λ∈k^×$ est quelconque et $\NSpin$ désigne la norme spinorielle. +\end{théorème2} + +La définition du groupe quaternionique — groupe non commutatif +extension de $V₄$ par $\{±1\}$ — est rappelée en \refext{Azu}{quaternions inversibles} où il +est noté $Q₈$. + +\begin{corollaire2} +Soit $a ∈ k-k²$. Si l'extension quadratique $k(\sqrt{a})\bo k$ se plonge +dans une extension quaternionique, l'élément $a$ est une somme de trois +carrés dans $k$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +En effet, toute forme quadratique $aX²+bY²+cY²$ représente $a$, +qui est également représenté par $X²+Y²+Z²$ si ces formes quadratiques +sont isomorphes. +\end{démo} + +Signalons que les entiers $n$ qui ne sont pas somme de trois carrés dans $𝐐$ +sont ceux de la forme $4^r(8s+7)$ où $r,s ∈ 𝐍$ +(cf. \cite{Cours@Serre}, chap. IV, append.). + +\begin{exemple2} +L'exemple de la forme quadratique +$2X_\i²+3X_\j²+\frac{1}{6}X_\k²$ +sur $𝐐$ et de la matrice +\[ +P=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1/6\\ -1 & 1 & -1/6 \\ 0 & 1 & 1/3 +\end{matrix}\right) +\] +nous permet de retrouver, pour $λ=6$, l'extension +de $𝐐$ construite par Dedekind (\cite{}) : +\[ +𝐐(\sqrt{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}})=𝐐(\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})}). +\] +En effet, il résulte de \refext{Azu}{norme spinorielle} +que l'on a dans $𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3})^×/{𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3})^×}²$ l'égalité +\[ +\NSpin\big(P⋅\diag(1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\sqrt{6})\big)=\Tr\big(P⋅\diag(1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\sqrt{6})\big)+1 +=1+1/\sqrt{2}+1/\sqrt{3}+\sqrt{6}/3.\] + +Le fait que $𝐐(\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})})$ coïncide +avec le corps $𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})})$, \emph{a +priori} plus gros, +est un fait général, expliqué à la fin de la démonstration de l'implication (i)⇒(ii). +\end{exemple2} + +\begin{démo} +(i) ⇒ (ii) +Soit $k_{Q₈}\bo k_{V₄}$ une extension quadratique, nécessairement galoisienne, +telle que $k_{Q₈}\bo k$ soit galoisienne de groupe quaternionique +c'est-à-dire tel qu'il \emph{existe} un isomorphisme +entre $\Gal(k_{Q₈}\bo k)$ et le groupe de quaternions inversibles +à coefficients entiers $𝐇^×(𝐙)=\{±1,±\i,±\j,±\k\}$ (cf. \refext{Azu}{quaternions +inversibles}). Notons $τ_{-1}$ le +générateur de $\Gal(k_{Q₈}\bo k_{V₄})$ et $τ_\i$, $τ_\j$ des relèvements +de $σ_\i$ et $σ_\j$ dans $\Gal(k_{Q₈}\bo k_{V₄})$. On a $τ_\i²=τ_\j²=τ_{-1}$ +car $τ_\i²$ et $τ_\j²$ sont d'images triviales dans $\Gal(k_{V₄}\bo k)$, +donc dans le groupe $⟨τ_{-1}⟩=\Gal(k_{Q₈}\bo k_{V₄})$, mais ces carrés sont +non triviaux car les seules solutions de l'équation $g²=1$ dans $𝐇^×(𝐙)$ sont +dans le centre $\{±1\}$. Posons $τ_\k=τ_\i τ_\j$ ; c'est un relèvement +de $σ_\k$. À ce stade il est naturel de poser $τ_{1}=\Id_{k_{Q₈}}$ +et $τ_{-μ}=τ_{-1}τ_{μ}$ pour chaque $μ∈\{\i,\j,\k\}$ de sorte +que l'on a \emph{fixé} un isomorphisme de groupes $τ:𝐇^×(𝐙) ⥲ \Gal(k_{Q₈}\bo k)$. + +Soit $x∈k_{Q₈}-k_{V₄}$ un élément tel que $y:=x²$ appartienne à $k_{V₄}$ ; +de façon équivalente : $τ_{-1}(x)=-x$. +Considérons l'élément +\[ +q_x=x+τ_\i(x)\i+τ_\j(x)\j+τ_\k(x)\k∈𝐇(k_{Q₈}). +\] +On a +\[ +N(q_x):=x²+τ_\i(x)²+τ_\j(x)²+τ_\k(x)²=y+σ_\i(y)+σ_\j(y)+σ_\k(y)=\Tr_{k_{V₄}\bo k}(y). +\] +L'élément $q_x$ appartient donc au groupe des quaternions inversibles +$𝐇^×(k_{Q₈})$ si, et seulement si, $\Tr_{k_{V₄}\bo k}(y)≠0$. +Or, remplacer $x$ par $λ x$, où $λ$ appartient à $k_{V₄}$, +change $y$ en $λ²y$ ; la forme bilinéaire $(λ,μ)↦\Tr_{k_{V₄}\bo k}(λ μ y)$ étant non dégénérée — car l'extension +$k_{V₄}\bo k$ est étale (cf. \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net}) —, +il existe pour tout $y∈k_{V₄}^×$ un $λ$ tel que $\Tr_{k_{V₄}\bo k}(λ²y)≠0$. +En conséquence, on peut supposer $x$ tel que $q_x$ soit un quaternion +inversible. + +Par construction, on a pour chaque $q∈𝐇^×(𝐙)$ +\[ +τ_q(q_x)=\sur{q}⋅q_x\ (\star) +\] +où l'action de $τ_q∈\Gal(k_{Q₈}\bo k)$ sur $𝐇(k_{Q₈})=k_{Q₈}⁴$ se fait +coordonnées par coordonnées. +En effet, on vérifie par exemple immédiatement que +\[ +τ_{-1}(q_x)=τ_{-1}(x+τ_\i(x)\i+τ_\j(x)\j+τ_\k(x)\k)=-x+τ_\i(-x)\i+τ_\j(-x)\j+τ_\k(-x)\k=(-1)⋅q_x +\] +car $τ_{-1}(x)=-x$ +et +\[ +τ_{\i}(q_x)=τ_{\i}(x)+(τ_\i)²(x)\i+τ_\k(x)\j-τ_\j(x)\k=(-\i)⋅q_x. +\] +Les autres cas sont semblables. + +Nous allons « pousser » la relation $(\star)$ par le morphisme Galois-équivariant +\[𝐇^×(k_{Q₈})→\mathrm{SO}₃(k_{Q₈})\] +induit par la conjugaison sur les complexes imaginaires (cf. +\refext{Azu}{quaternions inversibles}). +(Rappelons que l'on souhaite montrer que deux formes quadratiques +sur $k³$ sont équivalentes.) +Soit $m_x$ l'image de $q_x$ par ce morphisme. Comme $τ_{-1}(m_x)=-m_x$, +cette matrice appartient au sous-groupe $\mathrm{SO}₃(k_{V₄})$ de +$\mathrm{SO}₃(k_{Q₈})$ : l'action de $\Gal(k_{Q₈}\bo k)$ sur +$m_x$ se factorise à travers $\Gal(k_{V₄}\bo k)$. +D'autre part, l'image de $\sur{μ}=-μ$ (pour $μ∈\{\i,\j,\k\}$) +dans $\mathrm{SO}₃(\Im 𝐇(𝐙))⊆\mathrm{SO}₃(\Im 𝐇(k_{Q₈}))$ +est, par définition, la matrice de l'application +de conjugaison $ι ↦ μιμ^{-1}=-μ ι μ$, où $ι$ est imaginaire. +Cette application agit par l'identité sur $μ$ +et envoie les deux imaginaires purs +différents de $μ$ sur leurs opposés ; ce n'est autre que $g_μ$. +Il résulte de ce fait, de la relation $(\star)$, +et de l'action de $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ sur les $b_\i,b_\j$ +et $b_\k$ (cf. \ref{notations Witt non 2}) +que la matrice $P=m_x^{-1}\diag(b_\i,b_\j,b_\k)∈\GL_3(k_{V₄})$ +est $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ invariante donc appartient à $\GL₃(k)$. +Comme $m_x∈\mathrm{SO}₃(k_{V₄})$, on a +\[\transpose{P}P=\transpose{\diag(b_\i,b_\j,b_\k)}\diag(b_\i,b_\j,b_\k)=\diag(a_\i,a_\j,a_\k) ;\] +les $k$-formes $⟨1,1,1⟩$ et $⟨a_\i,a_\j,a_\k⟩$ sont isomorphes. +CQFD. + +Remarquons que l'inclusion $k(x)⊆k_{Q₈}$ est en fait une égalité. +En effet on a $τ_{-1}(x)=-x$ de sorte que $τ_{-1}$ n'appartient +pas au sous-groupe $\Gal(k_{Q₈}\bo k(x))$ de $\Gal(k_{Q₈}\bo k)$. +Or, le seul sous-groupe de $𝐇^×(𝐙)$ ne contenant pas le centre $\{±1\}$ est le groupe +trivial. On a donc $\Gal(k_{Q₈}\bo k(x))=\{1\}$, c'est-à-dire $k_{Q₈}=k(x)$. + +(ii) ⇒ (i) +Soit $P∈\GL₃(k)$ une matrice telle que $\transpose{P}P=\diag(a_\i,a_\j,a_\k)$. +Compte tenu de ce qui précède, il est naturel de considérer +\[ +m_P=\diag(b_\i,b_\j,b_\k)⋅P^{-1}∈\mathrm{SO}₃(k_{V₄}). +\] +Par construction $σ_μ(m_P)=g_μ⋅m_P$ pour tout $μ∈\{1,\i,\j,\k\}$. +Soit $Ω$ une clôture séparable de $k_{V₄}$ et soit $q¹_P$ +un relèvement de $m_P$ dans $𝐇^{N=1}(Ω)$ (cf. \refext{Azu}{quaternions et SO3}). +Un tel élément est bien défini à multiplication par $±1$ près, +comme il résulte de la suite exacte +\[ +1 → μ₂(Ω)=\{±1\} → 𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω) → 1. +\] +(Rappelons que $\Ker(𝐇^×(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω))=Ω^×$ et +que $N(λ)=λ²$ si $λ∈Ω⋅1⊆ 𝐇(Ω)$.) +L'image de l'orbite $\Gal(Ω\bo k)⋅q¹_P$ dans $\mathrm{SO}₃(Ω)$ +n'est autre que l'orbite $\Gal(k_{V₄}\bo k)⋅m_q$. +D'après ce qui précède, cette dernière est de cardinal $4$ et l'action de $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ +se fait par multiplication à gauche par les $g_μ$ qui appartiennent à $\mathrm{SO}₃(𝐙)$ +et, plus précisément, à son sous-groupe diagonal, isomorphe à $V₄$. +Les fibres de $𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω)$ +étant en bijection avec $μ₂(𝐙)=\{±1\}$, de cardinal $2$, il en résulte que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$ +sur $q_P¹$ se fait par multiplication à gauche par des éléments d'un sous-groupe de $𝐇^{N=1}(𝐙)=𝐇^×(𝐙)$ +qui se surjecte sur $𝐇^×(𝐙)/\{±1\}≃V₄$. Un tel sous-groupe est égal à $𝐇^×(𝐙)$, par exemple parce que l'extension +$1 → \{±1\} → 𝐇^×(𝐙) → 𝐇^×(𝐙)/\{±1\} → 1$ n'est pas scindée. +On a donc montré que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$ sur $q¹_P∈ 𝐇^{N=1}(Ω)$ +induit une surjection $\Gal(Ω\bo k) ↠ 𝐇^×(𝐙)$ prolongeant +l'isomorphisme $\Gal(k_{V₄}\bo k) ⥲ V₄≃𝐇^×(𝐙)/\{±1\}$ de \ref{notations Witt non 2}. +Le corps invariant par le noyau de $\Gal(Ω\bo k) ↠ 𝐇^×(𝐙)$ +définit une extension $k_{Q₈}\bo k$ du type cherché. +Ceci achève la démonstration de l'implication (ii)⇒(i). + +Pour conclure il nous faut comprendre quelles sont les +classes $x$ dans $k_{V₄}^×/{k_{V₄}^×}²$ telles +que $k_{V₄}(\sqrt{x})$ soit quaternionique sur $k$. +Il résulte de la démonstration précédente que si $P$ +est comme dans l'énoncé, la classe $\NSpin(m_P)=\NSpin(m_P^{-1})$ convient. +Ce n'est autre que la classe de l'énoncé, pour $λ=1$. +Le fait que toutes les extensions soient obtenues ainsi résulte +de \ref{extensions quadratiques sont obtenues par torsion}. +\end{démo} + +\subsection{Démonstration cohomologique}\label{démo cohomologique extensions quaternioniques} + +Nous allons maintenant donner une démonstration cohomologique +du théorème de Witt, dans le cas de la caractéristique différente +de deux. Le lecteur curieux pourra également consulter +\cite[§3]{invariant@Serre} pour une autre approche. + +\subsubsection{Classe de $Q₈$ dans $H²(V₄,𝐅₂)$} +Notons comme en \ref{notations Witt non 2} les éléments +de $V₄$ et définissons, pour $μ,ν$ dans $\{1,\i,\j,\k\} ⊆Q₈$, +le produit $μ ⋆ ν$ par $v_μ v_ν=v_{μ ⋆ ν}$. L'application +$V₄×V₄ → \{±1\}$ envoyant $(v_μ,v_ν)$ sur $μν(μ ⋆ ν)^{-1}$, +où le produit est calculé dans $Q₈=𝐇^×(𝐙)$, est un +$2$-cocycle (\refext{Brauer}{définition 2-cocycle}) que nous noterons +ici $γ$ et dont la classe dans le quotient $H²(V₄,\{±1\})$ +sera notée $c_{Q₈}$. Cette classe est dit « classe de l'extension » $Q₈$ de $V₄$ par $\{±1\}$ +(cf. \refext{}{}). Le cocycle $γ$ donne une mesure de la différence entre le produit +d'éléments de $V₄$, \emph{plongé ensemblistement dans $Q₈$} +par la section $v_μ ↦ μ $ de l'épimorphisme $Q₈ ↠ V₄$, +calculé soit dans le groupe $V₄$ soit dans le groupe $Q₈$. (La +\emph{classe} $c_{Q₈}$ quantifie ce défaut pour toutes les sections +possibles.) + +Pour éviter les confusions ultérieures il semble +parfois préférable d'identifier le groupe multiplicatif $\{±1\}$ à deux éléments +au groupe additif $𝐅₂=\{0,1\}$ à deux éléments. +Avec cette notation additive, les valeurs du $2$-cocycles sont représentées dans +le tableau ci-dessous, de vérification immédiate. +\begin{center} +\begin{tabular}{c|rrrr} +$v_ν ∖ v_μ$ & $v_1$ & $v_\i$ & $v_\j$ & $v_\k$ \\ +\hline +$v_1$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$\\ +$v_\i$ & $0$ & $1$ & $1$ & $0$ \\ +$v_\j$ & $0$ & $0$ & $1$ & $1$\\ +$v_\k$ & $0$ & $1$ & $0$ & $1$ \\ +\end{tabular} +\end{center} + +\subsubsection{Décomposition en produit de $1$-cocycles} +Notons $\pr_\j:V₄=𝐅₂ v_\i ⊕ 𝐅₂ v_\j → 𝐅₂$ (resp. +$\pr_\i$) la projection $(x,y) ↦ y$ (resp. $(x,y) ↦ x$). +On vérifie immédiatement le lemme suivant. + +\begin{lemme2}\label{décomposition classe quaternionique} +On a +\[ +γ =\pr_\i ∪ \pr_\i + \pr_\j ∪ \pr_\j + \pr_\i ∪ \pr_\j +\] +où le produit $γ₁ ∪ γ₂$ de deux $1$-cocycles est défini par $(g,g ′) ↦ γ₁(g)γ₂(g ′)$. +\end{lemme2} + +Voir \refext{Azu}{cup-produit I} et surtout \refext{Coho}{} pour une discussion +de cette notion. +Dans le cas particulier du lemme, on a $-1=1$ (caractéristique deux), +l'action du groupe est triviale sur les coefficients et +l'accouplement est l'unique application non triviale $𝐅₂ ⊗_𝐙 𝐅₂ → 𝐅₂$. +La formule ci-dessus se réécrit, en passant aux classes de +cohomologie : +\[ +c =[\pr_\i] ∪ [\pr_\i] + [\pr_\j] ∪ [\pr_\j] + [\pr_\i] ∪ [\pr_\j]. +\] + + +\begin{remarque2} +La possibilité d'écrire $c$ comme une somme de produit de $1$-cocycles +est un fait général à la cohomologie modulo $p$ des $p$-groupes. +Cf. p. ex. Serre, « Sur la dimension cohomologique des groupes profinis », Œ. 66, §3 +pour un résultat général sur la structure de $𝖧¹(G,𝐅_p)$ et $𝖧²(G,𝐅_p)$ si +$G$ est un $p$-groupe. +\end{remarque2} + +\begin{remarque2} +La classe de cohomologie de droite est la seule classe non nulle qui soit +invariante par l'action naturelle de $V₄$ : une forme quadratique sur +$𝐅²₂$ correspond à une fonction ; ici $x²+y²+xy$ correspond à la fonction +valant $1$ sur les non nuls et $0$ en $0$. +Or, la classe de cohomologie de l'extension quaternionique +est bien invariante. Elle s'obtient par image inverse de $SO₃$ +via $V₄ ↪ S⁴ → SO₃$ et $... ≃ Aut(V₄)$ (quelque chose avec +un quotient). \XXX +\end{remarque2} + +\subsubsection{Obstruction à l'extension}\label{obstruction cohomologique relèvement} +Fixons une clôture séparable $k\sep$ de $k$ contenant $k_{V₄}$ et notons $Π_k$ le groupe +de Galois $\Gal(k\sep \bo k)$. Admettons que les résultats des chapitres +précédents (en particulier [Formes]) sont valables (\emph{mutatis +mutandis}) dans le cadre d'un groupe de Galois infini. (Cf. \refext{Azu}{cohomologie profinie} +pour la définition des groupes de cohomologie.) +L'extension $k_{V₄}\bo k$ est une $V₄$-torseur sur $k$ +et correspond donc à une classe $[k_{V₄}] ∈ H¹(Π_k,V₄)=\Hom(Π_k,V₄)$. +(L'égalité résulte du fait que $V₄$ est abélien, cf. \refext{formes}{H1=Hom}.) +Elle s'étend en une $Q₈$-extension si et seulement si ce morphisme +se relève à $Q₈$, c'est-à-dire s'il existe un morphisme $Π_k → Q₈$ — nécessairement surjectif — +induisant $[k_{V₄}]$ par composition avec l'épimorphisme $Q₈ ↠ V₄$. +Nous allons étudier l'obstruction à l'existence d'un tel relèvement. + +\begin{lemme2}\label{lemme relèvement et cohomologie} +Soient $f:Π → G$ un morphisme de groupes, $E ↠ G$ un épimorphisme +de groupes de noyau abélien $A$. Soit $s: G→ E$ une section +ensembliste et notons $f_s:Π → E$ l'\emph{application} composée +$s ∘ f$. Pour toute paire $(σ , τ ) ∈ Π²$, +posons +\[γ_s(σ , τ )=f_s(σ)f_s(τ) f_s(σ τ ) ^{-1}.\] + +\begin{enumerate} +\item $γ_s$ est un $2$-cocycle à valeurs dans $A$, trivial +si et seulement si $f_s$ est un morphisme de groupes. +\item si $s ′$ est une autre section, les cocycles $γ_s$ et $γ_{s ′}$ sont cohomologues. +\item La classe $c ∈ H²(Π,G)$ de $γ_s$ est triviale si et seulement si +$f$ admet un relèvement en un \emph{morphisme} $F: Π → E$. +\end{enumerate} +\end{lemme2} + +Rappelons que la définition d'un $2$-cocycle +ainsi que la condition d'être cohomologues ont +étés introduites en \refext{Brauer}{Brauer et H2}, +dans lequel ce lemme est essentiellement démontré. + +\begin{démo} +Vérifions (iii). Tout relèvement ensembliste $F$ de $f$ est +de la forme $F(σ)=a_σ f_s(σ)$ pour une certaine +fonction $a: Π → A$, la correspondance étant biunivoque. +On vérifie immédiatement que l'application $F$ +est un morphisme si et seulement si +$γ_s(σ,τ)=a_σ a_τ a_{σ τ}^{-1}$. Le résultat +est alors un corollaire immédiat de ce qui précède +et des définitions. +Voir aussi \refext{Coho}{obstruction relèvement morphisme} +pour des généralités. +\end{démo} + +La classe $∂[k_{V₄}]∈ H²(Π_k,𝐅₂)$ ainsi +construite n'est autre que l'image de $c_{Q₈} ∈ H²(V₄,𝐅₂)$ +par le morphisme $H²(V₄,𝐅₂) → H²(Π_k,𝐅₂)$ déduit +de $[k_{V₄}]:Π → V₄$. Cela résulte des constructions. +Le lemme \ref{décomposition classe quaternionique} +donne donc une décomposition de $∂[k_{V₄}]$ en produits de $1$-cocycles. +Il nous faut comprendre quelle est l'image de $[\pr_\i],[\pr_\j] ∈ H¹(V₄,𝐅₂)$ dans $H¹(Π_k,𝐅₂)$ +par $[k_{V₄}]:Π_k → V₄$. Rappelons (\ref{notations Witt non 2}) que si +$k_{V₄}=k(\sqrt{b_\i},\sqrt{b_\j},\sqrt{b_\k})$, +où les $b_μ$ sont comme en \ref{notations Witt non 2}, on note $σ_\i$ +l'unique $k$-automorphisme non trivial de $k_{V₄}$ +tel que $σ_\i(b_\i)=b_\i$ ; on a alors nécessairement $σ_\i(b_\j)=-b_\j$ +et $σ_\i(b_\k)=-b_\k$. On a défini de même des automorphismes $σ_\j$ et $σ_\k$. +Le morphisme $v_μ ↦ σ_μ$ est un isomorphisme de $V₄$ sur $G_{k_{V₄}\bo k}$. +Par cet isomorphisme, les « caractères » +\[χ_\i:G_{k_{V₄}\bo k} → \{±1\}\] +\[σ ↦ \frac{σ(b_\i)}{b_\i} \] +(resp. $χ_\j:σ ↦ \frac{σ(b_\j)}{b_\j}$) et +la projection $\pr_\j$ (resp. $\pr_\i$) se correspondent. + +Ainsi, il résulte du lemme \ref{décomposition classe quaternionique} +et du fait que le composé $Π_k ↠ G_{k_{V₄}\bo k} ⥲ V₄$ +est $[k_{V₄}]$ que l'obstruction au relèvement est la classe +\[ +(a_\i)(a_\i)+(a_\j)(a_\j)+(a_\i)(a_\j), +\] +où pour $a ∈k^×$, on note $(a) ∈ H¹(Π_k,𝐅₂)=\Hom(Π_k,𝐅₂)$ +l'unique caractère tel que pour tout $σ ∈ Π_k$ +et tout choix d'une racine carrée de $a$ dans $k\sep$, +on ait +\[ +\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}=(-1)^{(a)(σ)}. +\] + + +\begin{lemme2}\label{nullité produit dans H2} +Pour tout $a ∈ k^×$, on a l'égalité +suivante dans $H²(Π_k,𝐅₂)$ : +\[(a)(-a)=0.\] +\end{lemme2} + +\begin{démo} +On sait que le morphisme $H²(Π_k,𝐅₂) → H²(Π_k,\Gm) ≃ \Br(k)$ +est une injection d'image la $2$-torsion de ce groupe ; cf. \refext{Azu}{H2mun=Brn}. +On a vu également en \refext{Azu}{quaternions=H2mu2} +que l'algèbre de quaternion correspondante à la classe +d'un produit $(a)(b)$ est $\quater{a,b}{k}$. +Pour conclure, il suffit de constater que +la forme quadratique $aX²-aY²+Z²$ a un zéro non +trivial et d'utiliser le critère \refext{Azu}{critère quadratique de trivialité +quaternionique}. +\end{démo} + +Posons $a=a_\i$ et $b=a_\j$. On a $(a)(a)=(-1)(a)$, +$(b)(b)=(-1)(b)$ et $(a)(b)=(-a)(-b)+(-1)(a)+(-1)(b)+(-1)(-1)$. +Ainsi, l'obstruction est nulle si et seulement si on a : +\[ +(-1)(-1)=(-a,-b) +\] +dans $\Br₂(k)$. + +Si l'on se donne un isomorphisme entre $\quater{-1,-1}{k}$ +et $\quater{-a,-b}{k}$, les formes quadratiques $-q²$ (où $q$ +est la norme réduite) se correspondent. Sur les imaginaires, +il s'agit bien de $X²+Y²+Z²$ et $aX²+bY²+(ab)^{-1}Z²$ respectivement. +On peut préciser ce résultat et démontrer l'équivalence. + +\subsection{Existence d'une équation verselle : généralités} + +Soient $k$ un corps et $G$ un groupe fini. +Comme nous le verrons à la fin de ce chapitre (\ref{base normale +géométrique}), il existe un morphisme de $k$-algèbres +intègres $BG → EG$ « versel » pour les +extensions de groupe $G$ d'un sur-corps $K$ de $k$ : +toute telle extension $L \bo K$ est isomorphe à une extension obtenue par +\emph{spécialisation} à partir de $EG \bo BG$, c'est-à-dire +de la forme $(EG ⊗_{BG} K) \bo K$, où $BG → K$ est un $k$-morphisme. +Cependant, ceci ne produit pas d'équation polynomiale verselle +en des \emph{paramètres} comme en \ref{equation verselle C3} ou \ref{equation verselle C4}. +Supposons maintenant que $\Frac(BG)$ soit une extension \emph{transcendante pure} +de $k$, c'est-à-dire de la forme $k(Y₁, …,Y_n)$ où les $Y_i$ sont +algébriquement indépendants. (On a alors nécessairement $n= ♯G$ ; +cela résulte du fait que $\Frac(EG)$ est isomorphe à $k(x_g:g ∈ G)$ +et de la proposition \refext{}{}.) +Insistons sur le fait que la condition de pureté transcendante n'est pas systématiquement vérifiée ; +elle sera étudiée au chapitre \refext{Noether}{}. +Quand elle est satisfaite, on peut montrer qu'il existe un morphisme +de $k$-algèbres \emph{versel} $A → B$ tel que +$A$ soit de la forme $k[x₁, …,x_n][f^{-1}]$, cf. exercice \ref{extension +verselle via Noether} ; l'existence d'une « équation verselle » pour +$G$ sur le corps $k$ c'est-à-dire d'une équation en une variable +avec $n$ paramètres telle que toute extension de $k$-corps de groupe $G$ +s'obtienne par spécialisation convenable des paramètres. +Nous renvoyons à \refext{Noether}{} pour les détails. + +De cette discussion et de la proposition suivante, on déduit l'existence d'une équation verselle +pour le groupe quaternionique au-dessus de tout corps de caractéristique +différente de deux. + +\begin{proposition2}\label{kQ8 sur Q8 rationnel} +Soit $k$ un corps de caractéristique différente de deux. +Le corps $\Fix_{Q₈}(k(X_g:g ∈ Q₈))$ est purement transcendant sur $k$. +\end{proposition2} + +Signalons la version « explicite » ci-dessous des résultats précédents, +tirée de \cite[6.1.12]{Generic@JLY}, auquel on renvoie le lecteur +pour une démonstration et un énoncé sensiblement plus précis. + +\begin{proposition2} +Soit $k$ un corps de caractéristique différente de deux. +Pour toute extension $K\bo k$ de groupe quaternionique +il existe un triplet $(α,β,γ)∈ k^3$ et un paramètre $λ ∈ k^×$ +tel que $K$ soit un corps de décomposition du polynôme en $X$ +{\tiny \[ +(λ X²-1)⁴-2(1-αβγ)²\frac{A+B+C}{ABC}(λ X²-1)²-8\frac{(1-αβγ)³}{ABC}(λX²-1) ++(1-αβγ)⁴\frac{A²+B²+C²-2AB-2AC-2BC}{(ABC)²} +\]} +où $A=1+α²+(α β)²$, $B=1+β²+(β γ)²$ et $C=1+γ²+(γ α)²$. +\end{proposition2} + +\subsubsection{Démonstration de \ref{kQ8 sur Q8 rationnel}} + +Soit $V$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie $d$. On +note $\Sym(V)$ ou $k[V]$ la $k$-algèbre $⨁_{i ≥ 0} V^{⊗i}$, non canoniquement isomorphe +à $k[t₁,…,t_d]$. Cette algèbre est intègre ; on note $k(V)$ son +corps des fractions. Soit $G$ un groupe fini agissant $k$-linéairement +sur $V$. On note $k(V/G)$ le corps des fractions de la sous-$k$ +algèbre $\Fix_G(k[V])$ de $k[V]$. + +\begin{lemme2}[« no name lemma »] +Si $G$ agit fidèlement sur deux espaces vectoriels de dimension finie +$V₁$ et $V₂$, les corps $k(V₁/G)$ et $k(V₂/G)$ sont \emph{stablement isomorphes} : +il existe des entiers $d₁,d₂ ≥ 0$ tels que les corps +$k(V₁/G)(t₁,…,t_{d₂})$ et $k(V₂/G)(t₁,…,t_{d₁})$ +soient $k$-isomorphes. +\end{lemme2} + +\begin{démo}[Démonstration du lemme] +Nous allons montrer plus précisément que si $W$ est la +somme directe $V₁ ⊕ V₂$, il existe un entier $n$ +tel que $k(W/G)$ soit $k$-isomorphe à $k(V₁/G)(t₁, …, t_n)$ +sous la seule hypothèse que l'action de $G$ sur $V₁$ soit fidèle. +Remarquons tout d'abord que l'on a $k(W)=k(V₁)(V₂)$ ou, +plus exactement, $k(W)=k(V₁)(V₂ ⊗_k L₁)$, où l'on pose +$L₁=k(V₁)$. L'action de $G$ sur $V₁$ étant +fidèle, il résulte du lemme d'Artin +que l'extension $L₁\bo K₁$, où $K₁=k(V₁/G)$, +est galoisienne de groupe $G$. +Faisons agir le groupe $G$ semi-linéairement sur ${V₂}_{L₁}=L₁ ⊗_k V₂$ +par $g(v₂ ⊗ λ)=g(v₂) ⊗ g(λ)$. On peut donc appliquer +le lemme de Speiser \refext{formes}{lemme de Speiser} +selon lequel la flèche évidente +\[ +\Fix_G({V₂}_{L₁}) ⊗_{K₁} L₁ → {V₂}_{L₁} +\] +est un isomorphisme. +Soit $t₁, …, t_n$ une $K₁$-base de $\Fix_G({V₂}_{L₁})$, vue +dans $L₁[{V₂}_{L₁}]$. (Remarquons que $n=\dim_k(V₂)$.) Il résulte de l'isomorphisme +précédent et de l'isomorphisme $\Fix_G(L₁[t₁, …, t_n])=K₁[t₁, …, t_n]$ +que l'on a $k(W/G)=K₁(t₁, …, t_n)$, +où les $t_i$ sont algébriquement indépendants. +\XXX +\end{démo} + +Soit $V=k[Q₈]$ l'algèbre de groupe sur le groupe $Q₈$. +On cherche à montrer que le corps $k(V/Q₈)$ est $k$-rationnel. +La décomposition $V=k^4 ⊕ 𝐇_k$, où $𝐇_k=\quater{-1,-1}{k}$, +et la démonstration du lemme précédent, +il suffit de montrer que le corps $k(𝐇_k/Q₈)$ est $k$-rationnel. +(L'action de $Q₈$ sur $𝐇_k$ se fait par multiplication à gauche.) +Par construction, $k[𝐇_k]=k[x₁,x_\i,x_\j,x_\k]$ +et pour toute $k$-algèbre $A$, l'ensemble +$\Hom_k(k[𝐇_k],A)$ est naturellement isomorphe +à l'ensemble $𝐇(A)$ est quaternions à coefficients +dans $k$. (En d'autres termes, l'algèbre +$k[𝐇_k]$ \emph{représente} (cf. \refext{Categ}{}) le \emph{foncteur} +$𝐇:A ↦ 𝐇(A)$ : $𝐇=k[𝐇_k]^{\japmath{田}}$.) +De même $\Hom_k(k[𝐇_k][\frac{1}{x₁²+x²_\i+x²_\j+x²_\k}],A) ⥲ 𝐇^×(A)$. +Remarquons que les anneaux $k[𝐇^×]:=k[𝐇_k][\frac{1}{x₁²+x²_\i+x²_\j+x²_\k}]$ +et $k[𝐇_k]$ ont même corps des fractions de sorte qu'il suffit +de démontrer la rationnalité du corps des fractions +de l'anneau $k[𝐇^×/Q₈]:=\Fix_{Q₈}(k[𝐇^×])$. + +Soit $\{±1\}$ le centre de $Q₈$ ; il agit +sur $𝐇$ par multiplication par $±1$ +et le morphisme $c:𝐇^× → \SOrth₃$ induit par la conjugaison +se factorise à travers le quotient $𝐇^×/\{±1\}$. +Si l'on pose $y_μ=x_μ²$ pour chaque $μ ∈ \{1,\i,\j,\k\}$, +on vérifie immédiatement que le « quotient » +$k[𝐇^×/\{±1\}]=\Fix_{\{±1\}}(k[𝐇^×])$ +est isomorphe au sous-anneau +$k[y₁,y_\i,y_\j,y_\k][\frac{1}{y₁+y_\i+y_\j+y_\k}]$. +Joint au théorème \refext{Azu}{parametrisation Euler-Hamilton-Cayley} +on en déduit un isomorphisme \emph{$Q₈/\{±1\}$-équivariant} +\[ +𝐇^×/\{±1\} \dessusdessous{(N,c)}{⥲} \Gm × \SOrth₃ +\] +où l'action est triviale sur $\Gm$ +et $±μ ∈ Q₈/\{±1\}$ agit par conjugaison par +$c(μ)$ sur $\SOrth₃$. +En d'autres termes, l'anneau $k[𝐇^×/\{±1\}]$ est $k$-isomorphe +à $k[\SOrth₃][n,n^{-1}]$ par une flèche +envoyant $n$ sur $y₁+y_\i+y_\j+y_\k$. +Rappelons que $Q₈/\{±\}$ est isomorphe à $V₄$ et qu'il agit sur +$\SOrth₃$ par conjugaison par les matrices $g_μ$ +(\ref{notations Witt non 2}). +Ainsi, pour démontrer que $k(𝐇^×/Q₈)$ est $k$-rationnel +il suffit de démontrer que $k(\SOrth₃/V₄)$ l'est. +Précisons que, par convention, $k[\SOrth₃]$ n'est autre qu'une +une $k$-algèbre (elles sont toutes isomorphes) représentant +le foncteur $\SOrth₃$ ; explicitement +\[ +k[\SOrth₃]=k[a_{ij}, 1 ≤ 1,j ≤ 3]/(\det(a_{ij})=1,\transpose{(a_{ij})}(a_{ij})=\Id). +\] +Or, les conditions $g_μ(a_{ij})g_μ^{-1}=(a_{ij})$ pour $μ ∈ V₄$ +sont équivalentes au fait que les coefficients hors de la diagonale +sont nuls (rappelons que la caractéristique est différente de $2$). +Ainsi, $k[\SOrth₃/V₄] ≃ k[a₁,a₂,a₃]/(a₁a₂a₃=1)$. Le corps +$k(\SOrth₃/V₄)$, $k$-isomorphe à $k(u,v)$, est donc $k$-rationnel. + +\begin{exercice2}[Fischer, 1915] +Soit $G$ un sous-groupe fini abélien de $\GL(V)$, où $V$ est un $𝐂$-espace +vectoriel de dimension finie $n$ (et $\GL(V)$ le groupe des applications linéaires +inversibles $V → V$). On note comme ci-dessus $𝐂(V)$ le corps des fractions +rationnelles sur V (c’est-à-dire le corps des fractions de l’algèbre symétrique +$𝐂[V] = \Sym(V)$, ou encore $𝐂(V) = 𝐂(x_1, . . . , x_n)$ +une fois choisie une base $x_1, . . . , x_n$ du dual de $V$) +et $𝐂(V/G)$ le sous-corps de $𝐂(V)$ formé des éléments invariants +par l’action de $G$ qui agit à droite sur $𝐂(V)$ par $f^σ(v) = f(σ(v))$ si +$σ ∈ G$, $f ∈ 𝐂(V)$ et $v ∈ V$. +Montrer que $𝐂(V/G)$ est une extension transcendante pure de $𝐂$, autrement dit, il existe +$y_1, . . . , y_n ∈ 𝐂 (V/G)$ (nécessairement en nombre $n$ : pourquoi ?) +algébriquement indépendants tels que $𝐂(V/G) = 𝐂(y_1, . . . , y_n)$. +(Indication : se placer sur une base de $V$ qui diagonalise +simultanément tous les éléments de $G$, puis considérer le réseau des monômes sur cette base +qui sont invariants par $G$.) +Montrer par un exemple simple que dans cette situation l’algèbre $𝐂[V/G]$ (des invariants +sous $G$ dans l’algèbre symétrique $𝐂[V ] = \Sym(V)$ des polynômes sur $V$) +n’est pas nécessairement une algèbre de polynômes. +\end{exercice2} + +Corrigé. Suivant l’indication, considérons une base de $V$ qui diagonalise simultanément +tous les éléments de $G$ (ce qui est possible car ceux-ci commutent entre eux et +car $G$ est fini). Notons $x_1, . . . , x_n$ la base duale : alors $𝐂(V) = +𝐂(x_1, . . . , x_n)$ et tout élément de $G$ agit en multipliant chaque $x_i$ par un +certain complexe, qui est par ailleurs une racine de l’unité dont +l’ordre divise l’exposant $N$ de $G$. Considérons l’ensemble $L ⊆ 𝐙^n$ des +$n$-uplets $ℓ=(ℓ₁, . . . , ℓ_n)$ d’entiers +relatifs tels que le « monôme » $x^ℓ = x^{ℓ_1} \cdots x^{ℓ_n}$ +soit invariant par $G$. Ainsi, $L$ est un sous-module +de $𝐙^n$, dont le rang est $n$ puisqu’il contient $N · 𝐙^n$ (en effet, $x^N_i$ +est $G$-invariant quel que soit $i$). +On peut donc trouver une base $B$ de $L$ : soient $y_1, . . . , y_n$ +les « monômes » $x^ℓ$ pour $ℓ ∈ B$. +On va vérifier que $y_1, . . . , y_n$ sont bien algébriquement +indépendants et que $𝐂(V/G) = 𝐂(y_1, . . . , y_n)$. +Tout d’abord, tout « monôme » $x^ℓ ∈ 𝐂(V/G)$ +peut s’exprimer comme fraction rationnelle (et même « monôme ») +en les $y_i$, puisque $ℓ ∈ L$ peut s’exprimer dans la +base $B$. À présent, un polynôme $f ∈ 𝐂[x_1, . . . , x_n]$ qui serait invariant +par $G$ doit avoir chacun de ses monômes invariants, puisque chacun est multiplié par une constante +(une racine $N$-ième de l’unité) quand on applique un élément $σ ∈ G$ : +il s’ensuit d’après ce qu’on vient de voir que +$f$ est fraction rationnelle de $y_1, . . . , y_n$. +Enfin, comme toute fraction rationnelle invariante par +$G$ est quotient de deux polynômes invariants par $G$ (en effet, ses numérateurs et dénominateur +réduits sont chacun multipliés par une constante quand on fait agir G, mais quitte à les multiplier +tous les deux par un monôme approprié on peut supposer qu’ils sont bien invariants par +$G$), on a $𝐂(V/G) = 𝐂(y_1, . . . , y_n)$. Enfin, comme le degré de +transcendance sur $𝐂$ de $𝐂(V/G)$ est $n$ (puisque les $n$ quantités $x^N_1 +, . . . , x^N_n$, par exemple, sont algébriquement indépendantes), on +en déduit que $y_1, . . . , y_n$ doivent être algébriquement indépendants, ce qui conclut. +En matière de contre-exemple, prenons $V = 𝐂²$ sur lequel agit $G = 𝐙/2$ par symétrie par +rapport à l’origine $(z_1, z_2) ↦ (−z_1,−z_2)$. Alors $C[V/G]$ est l’algèbre formée des polynômes en +$x_1, x_2$ dont tous les monômes ont un degré total pair. +Pour montrer que ce n’est pas une algèbre de polynômes on peut invoquer le fait qu’elle n’est pas +engendrée par seulement deux éléments, ou tout simplement que $(x_1 x_2)^2 = +(x²_1)(x²₂)$ alors que chacun des éléments $x_1x_2$ et $x²_1$ et $x₂²$ +est irréductible. + +\subsection{Caractéristique deux} + +\XXX + +\section{¶ Théorème de la base normale et $G$-algèbres galoisiennes verselles} + +\subsection{Notations et énoncé} + +\subsubsection{}Soit $G$ un groupe et soit $k$ un corps. +Rappelons que l'on note $k[G]$ l'\emph{algèbre du groupe} $G$ sur $k$ définie ainsi : +le $k$-espace vectoriel sous-jacent est l'ensemble $k^{(G)}$ +des combinaisons linéaires formelles (que l'on peut également +voir comme l'ensembles de fonctions de $G$ dans $k$ à support fini) +dont on note $(e_g)_{g ∈ G}$ la base canonique (correspondant +aux fonctions de Dirac), muni du « produit de convolution » +$k^{(G)}⊗_k k^{(G)}→k^{(G)}$ envoyant $e_g⊗e_{g'}$ sur $e_{gg'}$. + +\subsubsection{}Soit $K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$. +L'action $k$-linéaire de $G$ sur $K$ fait de ce dernier un $k[G]$-module (à +gauche), la multiplication par $e_g$ étant donnée par l'action de $g$. +La structure de ce module est déterminée, dans le cas où $G$ est fini, par le théorème suivant : + +\begin{théorème2}\label{theoreme base normale} +Soient $k$ un corps et $K\bo k$ une extension galoisienne finie de groupe $G$. +Muni de sa structure de $k[G]$-module naturelle, $K$ est libre de rang +un. En d'autres termes, il existe un élément $x∈K$ tel que les +éléments $g(x)$, où $g$ parcourt $G$, forment une $k$-base de $K$. +\end{théorème2} + +Une telle base est appelée « base normale » de $K$ sur $k$. + +Précisons qu'il est faux en général que $K$ soit isomorphe à la +$k$-algèbre $k[G]$, cette dernière n'étant d'ailleurs pas +nécessairement commutative ou intègre. + +Signalons la caractérisation suivante des bases normales. + +\begin{proposition2}\label{caracterisation base normale} +Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$ +et $x∈K$. Les éléments $g(x)$, où $g$ parcourt $G$, +forment une base de $K$ sur $k$ \ssi le déterminant +$\det\big(g′g(x)\big)_{(g ′,g)∈G²}$ est non nul. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Supposons $\det\big(g ′ g(x)\big)≠0$ et montrons que +$\big(g(x)\big)_{g∈G}$ est une $k$-base de $K$. +Comme $\# G=[K:k]$, il suffit de vérifier qu'ils sont libres +sur $k$. +Or, si $∑_{g∈G} λ_g g(x)=0$, où les coefficients $λ_g$ sont dans $k$, +on a pour tout $g'∈G$, +\[g'\big(∑_{g∈G} λ_g g(x)\big)=∑_{g∈G} λ_g g'g(x)=0.\] +Par hypothèse, ces relations forcent l'égalité $λ_g=0$ +pour chaque $g ∈ G$. +Réciproquement, si $\det\big(g ′ g(x)\big)=0$, toute relation non +triviale de dépendance linéaire entre les colonnes entraîne +que les $\{g(x)\}_{g∈G}$ sont liés. +\end{démo} + + +\subsection{Démonstration du théorème de la base normale} + +\subsubsection{Stratégie} +Nous allons procéder par « changement de base » (on dit aussi +« localisation (étale) » ) : on « monte » en tensorisant par $K$ sur +$k$ --- la situation devenant alors limpide --- puis on « redescend » à $k$. +L'ingrédient essentiel de la première étape est la proposition \refext{CG}{galois=autodiag}. +Une autre méthode, relativement proche, consiste à démontrer +par changement de base l'indépendance algébrique des caractères +(cf. exercice \ref{indépendance algébrique Gal}) et d'utiliser +le critère \ref{caracterisation base normale} ci-dessus (cf. +\cite[V.70]{A4-7@Bourbaki}). + +\subsubsection{}Posons $A=k[G]$. On souhaite montrer qu'il existe un isomorphisme $A$-linéaire entre $A$ et $K$. +D'après la proposition \ref{pleine-fidelite-cb} ci-dessous, il suffit de +démontrer qu'il +existe un isomorphisme $A_K$-linéaire entre $A_K$ et $K⊗_k K$, où +$A_K$ est l'anneau $A⊗_k K$, et la structure de $A_K$-module sur $K⊗_k K$ est +la structure évidente : $(a⊗λ)(μ⊗ν)=(aμ⊗λν)$. + +L'isomorphisme d'anneaux naturel $A_K=k[G]⊗_k K→K[G]$, envoyant +$f⊗λ$ sur $λf$, fait de $K[G]$ un $A_K$-module libre de rang un. Afin +de conclure, il suffit donc de vérifier que la variante $K⊗_k K→K[G]$, $λ⊗μ↦∑_g g^{-1}(λ)μ \,e_g$ +de l'isomorphisme \refext{CG}{galois=autodiag} est $A_K$-linéaire. +Soit en effet $e_{g'}⊗ν∈A_K$ et $λ⊗μ∈K⊗_k K$ ; on a d'une part $(e_{g'}⊗ν)\cdot λ⊗μ= g'(λ)⊗νμ$, +qui est d'image $x=∑_g g^{-1}g'(λ)νμ \,e_g$ dans $K[G]$ par le morphisme +ci-dessus, et d'autre part $(e_{g'}⊗ν)\cdot (∑_g g^{-1}(λ)μ \,e_{g})=(ν e_{g'})(∑_g +g^{-1}(λ)μ \,e_{g})$ (produit dans $K[G]$). Ce produit est $y=∑_g g^{-1}(λ)μν +\,e_{g'g}$ ; un changement de variables de sommation $g↔g'g$ montre que $x=y$. + +\begin{proposition2}\label{pleine-fidelite-cb} +Soient $k$ un corps, $K\bo k$ une extension, $A$ une $k$-algèbre non nécessairement commutative +et $A_K$ le produit tensoriel $A⊗_k K$. Deux $A$-modules à gauche $M₁$ et $M₂$ +\emph{de dimension finie sur $k$} sont $A$-isomorphes \ssi $M₁⊗_k K$ et $M₂⊗_k +K$ sont $A_K$-isomorphes. +\end{proposition2} + +Nous allons démontrer cette proposition dans les cas particuliers suivants : +\begin{itemize} +\item $k$ est infini ; +\item $k$ est fini, $A=k[𝐙/r]$ ($r∈𝐍_{>0}$). +\end{itemize} +Ceci est suffisant pour démontrer le théorème de la base normale car tout groupe de Galois +d'une extension finie de corps finis est cyclique. + +\begin{démo} +Soient $M₁$ et $M₂$ comme dans l'énoncé, supposés isomorphes sur $K$ \cad tels +qu'il existe un $A_K$-isomorphisme ${M₁}_K≃{M₂}_K$. +Nécessairement $\dim_k(M₁)=\dim_k(M₂)$ car $\dim_k(M_i)=\dim_K({M_i}_K)$ pour +chaque $i∈\{1,2\}$. Soit $V=\Hom_A(M₁,M₂)$ ; c'est un sous-$k$-espace vectoriel de +$\Hom_k(M₁,M₂)$. Il est donc de dimension finie. +Au choix d'une $k$-base $v₁,…,v_d$ de $V$ est associé un +polynôme homogène de degré $d$ : $\det_V=\det(λ₁v₁+\cdots+λ_d v_d)∈k[λ₁,…,λ_d]$ +où le déterminant est pris relativement à des $k$-bases de $M₁$ et $M₂$ fixées une fois pour toute. +On veut montrer que la fonction $k^d→k$ correspondante n'est pas identiquement nulle. + +Si $k$ est infini ou, plus généralement si $\# k>d$, il suffit de montrer que le +\emph{polynôme} $\det_V$ est non nul (cf. exercice \ref{fonction-polynome-non-nulle}). +Or, pour savoir si $P∈k[λ₁,…,λ_d]$ est nul ou non, il est loisible de remplacer $k$ +par un corps plus gros, auquel cas le résultat est connu par hypothèse. +Plus précisément, puisque $V_K→\Hom_{A_K}({M₁}_K,{M₂}_K)$ est un +isomorphisme (\refext{Tens}{presentation-finie+Hom}), +et que $\Hom_{A_K}({M₁}_K,{M₂}_K)$ contient par hypothèse un isomorphisme, il existe des éléments +$(λ₁,…,λ_d)∈K^d$ tels que $\det_{V_K}(λ₁,…,λ_d)≠0$, où le déterminant est calculé +relativement aux bases déduites des précédentes par +changement de base $\tiret⊗_k K$. Puisque les polynômes +$\det_{V_K}(λ₁,…,λ_d)$ et $\det_V(λ₁,…,λ_d)$ sont égaux, ce dernier est non nul. +Ceci achève la démonstration dans le cas où $k$ est infini. + +Supposons maintenant $k$ fini et $A=k[𝐙/r]$, où $r$ est un entier non nul. +D'après ce qui précède, le résultat est connu si $\# k>d$. Dans le cas +contraire, soit $k'$ une extension finie de $k$ telle que $\# k'>d$. Notons +$e=[k':k]$. On a vu qu'il existe un isomorphisme de $A_{k'}$-modules +entre $M₁⊗_k k'$ et $M₂⊗_k k'$. Or, pour chaque $i∈\{1,2\}$, $M_i⊗_k k'$ est +$A$-isomorphe à $M_i^e$ (somme directe $e$ fois) car $k'$ est isomorphe à $k^e$ comme $k$-espace vectoriel. +Pour conclure, il suffit donc de vérifier que si $M₁$ et $M₂$ sont deux +$k[𝐙/r]$-modules de type fini tels que $M₁^e$ et $M₂^e$ soient isomorphes, alors $M₁≃M₂$. +Tout $k[𝐙/r]$-module étant de façon naturelle un $k[X]$-module, ce résultat est +un corollaire immédiat de la théorie générale des modules de type fini sur un +anneau principal. +\end{démo} + +\begin{remarque2} +Comme on l'a vu au cours de la démonstration, il est intéressant de savoir si +l'on peut « simplifier par un entier non nul » dans le monoïde (pour la somme +directe) des classes d'isomorphismes de $A$-modules de dimension finie sur $k$. +On l'a vu dans un cas particulier ; en toute généralité, c'est un corollaire +du théorème de Krull-Schmidt (cf. \cite{Bourbaki}, chap. 8, \cite{First@Lam}, §19). +\end{remarque2} + +\subsection{G-algèbres galoisiennes sur un anneau}\label{G-algèbres galoisiennes sur un anneau} + +\begin{définition2}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre +et $G$ un sous-groupe fini de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$. +On dit que $B$ est \emph{galoisienne de groupe $G$} sur $A$ +si les conditions suivantes sont satisfaites : +\begin{enumerate} +\item le morphisme $A → B$ est injectif et $A=\Fix_G(B)$ ; +\item le morphisme +\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B),\] +\[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\] +est un isomorphisme. +\end{enumerate} +\end{définition2} + +Remarque : on peut remplacer (i) par : (i') le morphisme $A → B$ est fidèlement plat. +(i') ⇒ (i) : $b ∈ B$ si et seulement si $1 ⊗ b=b ⊗ 1$ +(par fidèle platitude) ce qui revient à $b=g(b)$ pour +tout $g ∈ G$. Réciproquement + +\begin{exemple2} +Si $L\bo K$ est une extension fini galoisienne de +groupe $G$, la $K$-algèbre $L$ est galoisienne +de groupe $G$ au sens précédent. +\end{exemple2} + +\begin{lemme2} +Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $B\{G\}$ +l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent +est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit +étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$. +Le morphisme $B\{G\} → \End_A(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$ +est un isomorphisme. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +\XXX +\end{démo} + +\begin{lemme2} +Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $\Tr_{B \bo A}$ la \emph{trace} $b ↦ ∑_g g(b)$, $B → A$. +Le morphisme $A$-linéaire $B → B^{\vee}=\Hom_A(B,A)$, $b ↦ \Tr_{B\bo +A}(b ⋅)$, est un isomorphisme. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +\XXX +\end{démo} + +\begin{lemme2} +Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $M$ un $A$-module. +Le morphisme $A$-linéaire $\Hom_A(B,A)⊗_A M → \Hom(B,M)$, +$f ⊗ m ↦ \big( b ↦ f(b)m\big)$ est un isomorphisme. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +\XXX +\end{démo} + +\begin{proposition2} +La condition (\textrm{\textbf{ii}}) est équivalente +à la condition (\textrm{\textbf{ii}}′) suivante : +il existe des éléments $(b_h)_{h ∈ G}$ et $(b ′_h)_{h ∈ G}$ dans $B$ tels +que, pour tout $g ∈ G$, +\[ +∑_h b_h g(b ′_h)=δ^1_g, +\] +où $δ$ est la fonction delta de Kronecker. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +L'implication (iii) ⇒ (iii′) est triviale : il suffit +d'écrire $d^{-1}\big((δ_g^1)\big)$ sous la forme $∑_h b_h ⊗ b ′_h$. + +Pour montrer l'implication opposée, on utilise les trois +lemmes précédents. \XXX +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +Notion stable par changement de base. +\end{corollaire2} + +\begin{proposition2}\label{algèbre galoisienne est projective} +$B$ est projectif sur $A$. +Pour tout $𝔪 ∈ \Specmax(A)$, $B/𝔪$ est de rang +fini $♯G$ sur le corps $A/𝔪$. Plus généralement, +$A → K$ est un morphisme de but un corps, +la $K$-algèbre $B_K=B ⊗_A K$ est de dimension $♯G$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +\XXX +En effet, $(B ⊗_A B)⊗_A K$ est d'une part (canoniquement) isomorphe à $B_K ⊗_K B_K$ +et, par hypothèse, isomorphe à $B_K^{(G)}$ ; on a donc $\dim_K(B_K)²=\dim(B_K +⊗_K B_K)=\dim_K(B_K)⋅\#G$. +\end{démo} + +\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide} +Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres +galoisiennes de groupe $G$ est un isomorphisme. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +\XXX +\end{démo} + +\subsection{Interprétation géométrique} + +Nous allons maintenant énoncer un corollaire important du théorème +de la base normale. + +\subsubsection{}\label{notations base normale géométrique} +Soient $G$ un groupe fini et $k$ un corps. +On note +\[ +EG=k[x_g:g∈G][\det\big( (x_{g ′g})_{(g +′,g)∈G²}\big)^{-1}] +\] +et +\[BG=\Fix_G(EG),\] +où $g∈G$ agit $k$-linéairement sur $EG$ par $g\cdot +x_{h}=x_{gh}$. + +\begin{proposition2}\label{EG sur BG est galoisien} +L'algèbre $EG$ est galoisienne de groupe $G$ sur $BG$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Nous allons montrer le résultat plus fort : +le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $♯G$. +Commençons par observer qu'il existe des éléments +$(y_g)_{g ∈ G}$ de $EG$ tels que, pour chaque $g ′ ∈ G$, +on ait : +\[ +∑_g y_g ⋅ g ′(x_g)=δ_{g ′,1}. +\] +Cela résulte de l'hypothèse d'invertibilité du déterminant. +Soient $s:EG → \Hom_{\Ens}(G,BG)$ et $π:\Hom_{\Ens}(G,BG) → EG$ +les applications $BG$-linéaires suivantes : +\[ +e \dessusdessous{s}{↦} \big(g ↦ ∑_h h(e x_g)\big) +\] +et +\[ +\mathbf{b}=(b_g)_g \dessusdessous{π}{↦} ∑_g b_g y_g. +\] +Compte tenu de l'hypothèse faite sur les éléments $y_g$ ($g ∈ G$), +on a $π ∘ s=\Id_{EG}$. +Ainsi, on a une décomposition en somme directe $BG^{G}=EG ⊕ \Ker(π)$, +où l'on note $BG^{G}$ le module libre $\Hom_{\Ens}(G,BG)$. +Montrons que $\Ker(π)=0$. Le module $BG^{G}$ étant libre +et l'anneau $BG$ étant intègre, il suffit de vérifier +que le produit tensoriel $\Ker(π) ⊗_{BG} \Frac(BG)$ est nul. +Or, $EG ⊗_{BG} \Frac(BG)$ est naturellement isomorphe au +corps $\Frac(EG)$, galoisien sur $BG$ de groupe $G$ +(lemme d'Artin). Il en résulte que le rang de $\Ker(π)$ est nul. +CQFD. +\end{démo} + +Avec ces notations, on a le théorème suivant. + +\begin{théorème2}\label{base normale géométrique} +Pour toute extension finie galoisienne $L\bo K$ de groupe $G$, +où $K$ est une extension de $k$, il existe un morphisme de $k$-algèbres $BG→K$ tel que +la $K$-algèbre $L$ soit isomorphe à $EG⊗_{BG} K$. +En d'autres termes, le morphisme $BG→EG$ est \emph{versel} pour +les extensions de groupe $G$. +\end{théorème2} + +Rappelons que l'ensemble des $k$-morphismes de $BG$ vers une $k$-algèbre +$T$ est noté $BG^\japmath{田}(T)$. Le théorème précédent +affirme donc que toute extension galoisienne de $K$ de groupe +$G$ correspond à (au moins) un élément de l'ensemble $BG^\japmath{田}(K)$ +des \emph{$K$-points de $BG$}. Le choix des notations +provient de la topologie, où l'on note souvent $BG$ +les espaces dit « classifiants » et $EG$ le « torseur universel » +au-dessus. + +\subsubsection{Démonstration} +D'après le théorème de la base normale \ref{theoreme base normale}, +il existe un élément $x$ de $L$ tel que les $g(x)$, pour $g$ parcourant $G$, +forment une base de $L$ sur $K$. +D'après \ref{caracterisation base normale}, +le morphisme +\[K[x_g:g∈G] → L\] +\[x_g ↦ g(x)\] + envoie +de polynôme $\det\big( (x_{g ′g})\big)$ sur un élément non nul. +Le morphisme composé $k[x_g:g∈G] ↪ K[x_g:g∈G] → L$ s'étend +donc, de façon unique, en un $k$-morphisme $EG → L$. +Par construction, ce morphisme est $G$-équivariant ; +il s'insère donc dans un diagramme commutatif +\[ +\xymatrix{ +L & EG \ar[l] \\ +K \ar[u] & BG \ar[u] \ar[l] +} +\] +On utilise ici le fait que $\Fix_G(L)=K$. +Par propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres, +le morphisme $EG → L$ se factorise en +$EG → EG ⊗_{BG} K \dashrightarrow L$, où \mbox{$EG → EG ⊗_{BG} K$} est le morphisme +canonique. Il résulte de \ref{EG sur BG est galoisien} et +\ref{Gal-G est un groupoide} que le morphisme $G$-équivariant $EG ⊗_{BG} K → L$ +est un isomorphisme. + +\subsection{Digression sur les algèbres de groupes} + +\subsubsection{Convolution et coproduit} + +Soient $G$ un groupe abélien et $k$ un anneau. Le foncteur $k\traitdunion\Alg→\Ens$, +associant à une $k$-algèbre $A$ l'ensemble $\Hom_{\Ens}(G,A)=A^{(G)}$ est +représentable par la $k$-algèbre $CG=k[x_g:g∈G]$. En effet, l'application +\[CG^\japmath{田}(A)=\{φ \colon k[x_g:g∈G]→A\}→\Hom_{\Ens}(G,A),\] +envoyant un morphisme $φ $ sur la fonction $f_φ: g↦φ(x_g)$ est une bijection fonctorielle en $A$. + +Pour chaque $A$, les ensembles $\Hom_{\Ens}(G,A)$ +peuvent être naturellement munis d'une structure de $k$-algèbre, +donnée par le \emph{produit de convolution} : +\[(f⋆f')(h)=∑_{gg'=h}f(g)f'(g').\] Cette $k$-algèbre n'est autre que +l'algèbre de groupe $A[G]$. Le produit $A[G]×A[G]→A[G]$, pour $A$ +variable, correspond donc à un morphisme de foncteurs +\[CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}→CG^\japmath{田}.\] Par +définition du produit tensoriel, le foncteur « produit cartésien » +$CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}$ envoyant +$A$ sur $CG^\japmath{田}(A)×CG^\japmath{田}(A)$ est représentable +par le produit tensoriel $CG ⊗_k CG$. +D'après le lemme de Yoneda, le morphisme de foncteurs +$CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}→CG^\japmath{田}$, +déduit du produit de convolution, correspond à un morphisme de $k$-algèbres +dans l'autre sens : +\[ +CG→CG⊗_k CG. +\] +On l'appelle souvent « coproduit » car il est associé à un produit +en « retournant les flèches ». + +Supposons dorénavant $G$ \emph{fini}. + +\begin{lemme2} +Le coproduit $CG→CG⊗_k CG$ est le morphisme +envoyant chaque $x_h∈CG$ ($h ∈ G$) sur la somme +$∑_{gg'=h}x_g⊗x_{g'}∈CG⊗_k CG$. +\end{lemme2} + +En particulier, on constate que la référence ci-dessus au lemme de Yoneda +n'est qu'une commodité de langage ; quoique fort commode, on aurait pu +s'abstenir d'utiliser le langage des catégories. + +\begin{démo} +Soit $A$ une $k$-algèbre. Il suffit de +démontrer que si $φ : CG ⊗_k CG → A$ correspond +par la bijection canonique à une paire $(f_φ:CG → A,f ′_φ :CG → A)$, +on a $φ(x_g ⊗ x_{g ′})=f_φ(x_g)f ′_φ(x_{g ′})$. +Il en est bien ainsi ; cf. \refext{Tens}{}. +\end{démo} + +\begin{lemme2}\label{unités algèbre de groupe et EG} +Le foncteur $A ↦ A[G]^× $ des unités pour le produit +de convolution est représentable +par la $CG$-algèbre $EG=k[x_g:g∈G][\det(x_{gg'})^{-1}]$. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +En effet, une fonction $f:G → A$ est inversible pour le produit +de convolution si et seulement si la matrice carrée $\big(f(g g ′ )\big)$ +à coefficients dans $A$ est inversible. +\end{démo} + +Notons que l'action naturelle de $G$ sur $CG$ +par translation à gauche — en symboles : $g ⋅ x_h =x_{gh}$ — +correspond à l'action non moins naturelle +de $G$ sur les fonctions de source $G$ par translation +à gauche, $g ⋅ f : h ↦ f(gh)$. + +\begin{exemple2} +$G=\{e\}$. Les algèbres $CG$ et $EG$ sont +alors respectivement $k[X]$ et $k[X,X^{-1}]$. +Il est d'usage de noter $\Ga$ (resp. $\Gm$) le foncteur représenté +par $k[X]$ (resp. $k[X,X^{-1}]$) : $\Ga(A)=A$ (resp. $\Gm(A)=A^×$). +Le morphisme (de foncteurs) $[n]:\Gm → \Gm$ d'élévation à la puissance $n$ +correspond au morphisme (d'algèbres) $X ↦ X^n$. (La vérification +de ce fait est immédiate.) +\end{exemple2} + +\subsection{Théorie de Kummer et d'Artin-Schreier (I)}\label{KAS I} + +\subsubsection{}Dans tout ce paragraphe, inspiré de \cite{GACC@Serre}, chap. 6, №8, +on fixe un corps $k$. (Le cas d'un anneau commutatif général +est laissé en exercice au lecteur.) +Nous allons utiliser les résultats et constructions +des deux paragraphes précédents dans le cas particulier +des groupes cycliques. Considérons à titre d'exemple la $k$-algèbre $E 𝐙/3$. +Elle est isomorphe à \[k[x,y,z][(x³+y³+z³-3xyz)^{-1}]\] +où l'action $𝐙/3$ se fait via la permutation circulaire +$(x,y,z)$ des variables. Considérons maintenant un entier $n ≥ 1$ quelconque +et $A$ une $k$-algèbre. L'algèbre de groupe $A[𝐙/n]$, +munie du produit de convolution, est naturellement +isomorphe au quotient $A[T]/(T^n -1)$, l'action de +$\sur{1} ∈ 𝐙/n$ correspondant à la multiplication par $T$ +dans le quotient. Cette simple observation va nous permettre +de mieux comprendre la structure des $E𝐙/n$, ainsi que les +morphismes $B 𝐙/n → E 𝐙/n$, en faisant une hypothèse sur $k$ et $n$. + +Notons $p ≥ 1$ l'exposant caractéristique du corps $k$. + +\subsubsection{Théorie de Kummer : $\# μ_n(k)=n$.}\label{Kummer via groupes algébriques} +(Notons que notre hypothèse force $n$ et $p$ à être premiers entre eux.) +Le polynôme $T^n-1$ étant par hypothèse scindé sur toute $k$-algèbre $A$, +l'algèbre $A[T]/(T^n-1)$ est canoniquement isomorphe à l'algèbre +\emph{diagonale} $A^{μ}$, où l'on note pour simplifier $μ=\{ ζ ∈ k: ζ^n=1\}$. +L'isomorphisme (dit canonique) envoyant (la classe de) $T$ +sur la famille $(ζ)_{ζ ∈ μ} ∈ A^μ$. +Passant aux unités, il en résulte +que l'algèbre $E 𝐙/n$, que nous noterons dorénavant $E_n$ dans +ce paragraphe, représente le foncteur +$\Gm^μ:A ↦ (A^×)^ μ$. D'après le lemme de Yoneda et l'exemple ci-dessus +on en déduit que $E_n$ est canoniquement isomorphe au produit +tensoriel $k[T,T^{-1}]^{⊗ μ}$ (produit tensoriel indicé par l'ensemble +à $n$ éléments $μ$), lui-même isomorphe à l'algèbre +$k[T_ζ^{±1}: ζ ∈ μ]$. Soit $ζ ∈ μ$ une racine primitive. La projection +$\pr_ζ:\Gm^μ→\Gm$ induit, via l'isomorphisme +$E_n^\japmath{田} ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs +$E_n ^\japmath{田}→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant +si l'on fait agir $\sur{i} ∈ 𝐙/n$ sur $\Gm$ par multiplication +par la puissance $ζ^{\sur{i}}$ de $ζ$. Le morphisme composé +de foncteurs $E _n ^\japmath{田}→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^\japmath{田}$ +étant $𝐙/n$-équivariant, où le second $\Gm$ est muni +de l'action triviale, il se factorise +à travers le morphisme de foncteurs $E_n ^\japmath{田}→ B_n +^\japmath{田}$, où l'on écrit $B_n$ pour $B(𝐙/n)$. +Détaillons pourquoi. Le morphisme d'algèbres composé $k[X,X^{-1}] → k[X,X^{-1}] → E_n$ +correspondant est $𝐙/n$-équivariant où l'action est triviale à la source : son +image est donc contenue dans l'algèbre des points fixes +$\Fix_{𝐙/n}(E_n)=B_n$. +(En d'autres termes, « points fixes » et « quotient » +se correspondent par Yoneda.) +Si $L \bo K$ est une extension galoisienne de groupe $𝐙/n$, +où $K$ est une extension de $k$, le diagramme de la démonstration du théorème +\ref{base normale géométrique} se complète +donc en un diagramme commutatif de $k$-algèbres +\[ +\xymatrix{ +L & E _n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\ +K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n} +} +\] + +L'extension $k[X^{±1}] → k[X^{±1}]$, $X ↦ X^n$ +est galoisienne de groupe $𝐙/n$. \XXX +Il résulte donc de \ref{Gal-G est un groupoide} +que le morphisme $k[X,X^{-1}] ⊗_{k[X,X^{-1}], X ↦ X^n} K → L$ +déduit du diagramme commutatif précédent +est un \emph{isomorphisme}. +En d'autres termes : +\begin{quote}\emph{toute extension galoisienne de $L\bo K$ de groupe $𝐙/n$ est obtenue +par extraction d'une racine $n$-ième d'un élément de $K^×$, dès lors que $K$ +contient exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité.} +\end{quote} +(L'élément dont on extrait la racine n'est autre que l'image +de $X$ dans $k$ par le composé $k[X,X^{-1}] → B _n → K$.) +Ce fait est l'un des principaux résultats de la \emph{la théorie de Kummer} +qui sera étudiée en détail, et par d'autres techniques, +au chapitre [KAS]. +% ☡ les diagrammes sont cocartésiens en fait. +% exercice : isom entre E 𝐙/3 et k[X,X^{-1}...] ? + +\subsubsection{Théorie d'Artin-Schreier : cas où $n=p$}\label{AS via groupes algébriques} + +Sous cette hypothèse, on a égalité $T^p-1=(T-1)^p$ +dans chaque $k$-algèbre $A$ de sorte que l'algèbre $A[T]/(T^p-1)$ +est canoniquement isomorphe à l'algèbre $A[X]/(X^p)$. +L'isomorphisme (dit canonique) envoyant (la classe de) $T-1$ sur (la classe de) $X$. +Sans élucider la structure des unités $A[X]/(X^p)$ (cf. \ref{structure +unités Ap-1} \emph{infra}), faisons malgré tout +les observations suivantes. +Tout d'abord, les morphismes de groupes (multiplicatif et additif +respectivement) +\[ +a₀+a₁X+\cdots+a_{p-1}X^{p-1} \mod X^p ∈ (A[X]/(X^p))^×↦ \frac{a₁}{a₀} ∈ A +\] +sont $𝐙/p$-équivariants, où $𝐙/p$ agit par multiplication +par $1+X$ sur $(A[X]/(X^p))^×$ et par translation par $1$ sur $A$. +Ils définissent un morphisme de foncteurs +$E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga=k[Y]^{\japmath{田}}$, +où l'on écrit $E_{[1]}$ pour $E(𝐙/p¹)$. +Enfin, l'action de $𝐙/p$ sur $\Ga$ étant tuée par +le morphisme de Weierstraß $ ℘:Y ↦ Y^p-Y$, +le morphisme composé $E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga +\dessusdessous{℘}{→} \Ga$ se factorise à travers un morphisme +$B_{[1]}^{\japmath{田}} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$. +En retournant les flèches, on obtient comme ci-dessus — par le lemme de Yoneda — +un morphisme de $k$-algèbres $k[Y] → B _{[1]}$. + +L'extension $k[X] → k[X]$ déduite de $℘$ est galoisienne de groupe +$𝐙/p$. \XXX Comme dans le cas précédent, ce fait, joint +au théorème \ref{base normale géométrique} entraîne : + +\begin{quote}\emph{toute extension galoisienne $L\bo K$ de groupe $𝐙/p$ +entre corps de caractéristique $p>0$ est obtenue par extraction d'une racine $℘$-ième d'un élément de $K$.} +\end{quote} +(L'élément dont on extrait la racine n'est autre que l'image +de $Y$ dans $K$ par le composé $k[Y] → B _{[1]} → K$.) +Ce fait est l'un des principaux résultats de la \emph{la théorie +d'Artin-Schreier} qui sera étudiée en détail, et par d'autres techniques, +au chapitre [KAS]. + +\begin{remarque2} +Insistons sur le fait que l'on ne prétend pas que +les démonstrations ci-dessus des théorèmes de Kummer et Artin-Schreier, +résultats somme toute relativement élémentaires, soient les plus courtes ni +les plus simples possibles ; elles ouvrent cependant la voie +à des développements intéressants (cf. p. ex. le livre de J.-P. Serre +cité plus haut). Le lecteur trouvera dans le chapitre [KAS] +d'autres démonstrations, plus courtes et élémentaires, ainsi +que divers compléments. +\end{remarque2} + +\begin{remarque2}\label{structure unités Ap-1} +Il résulte de \refext{KASW}{structure Un sur Fp} que +le groupe $(A[X]/X^p)^×$ est isomorphe à $A^× × A^{p-1}$. +Ce résultat est bien plus élémentaire que ceux d'\emph{op. cit.} +On pourra par exemple le démontrer en utilisant l'exponentielle +\emph{tronquée} : $X ↦ 1+X+X²/2!+\cdots + X^{p-1}/(p-1)!$. +\end{remarque2} + +\begin{remarques2} +Ce théorème se généralise d'ailleurs au cas des $𝐙/p^n$ +représentations en utilisant les vecteurs de Witt (cf. \refext{KASW}{ASW}). +\end{remarques2} + +Questions \XXX : + +En rang un, le théorème \refext{CG}{Fp representations continues et phi modules} +permet de retrouver la théorie de Kummer : correspondance +entre les $G_k→𝐙/(p-1)$ et les $x∈k^×/{k^×}^{p-1}$. (Observer +que $\# μ_{p-1}(k)=p-1$.) + +Puisque $(𝐙/p²)^×=𝐙/p×𝐙/(p-1)$ (si $p>2$), retrouve-t-on Artin-Schreier également ? + +\subsection{Exercices} + +\begin{exercice2}\label{fonction-polynome-non-nulle} +Soient $k$ un corps, $n≥1$ un entier et $P∈k[X₁,X₂,…,X_n]$ un polynôme +\emph{non nul}. Montrer que si le cardinal de $k$ est strictement supérieur +au degré total de $P$, il existe un élément $y∈k^n$ tel que $P(y)≠0$. +\end{exercice2} + +\begin{exercice2}\label{indépendance algébrique Gal} +Indépendance algébrique des éléments de $\Gal$. \XXX +\end{exercice2} + +\begin{exercice2}\label{extension verselle via Noether} +Soient $k$ un corps infini et $G$ un groupe fini de cardinal $n$. +Supposons que le corps $\Fix(G|k(x_g:g ∈ G))$ soit $k$-isomorphe +à $k(y_g:g ∈ G)$. +\begin{itemize} +\item Montrer qu'il existe morphisme $G$-galoisien +$A=k[y_g:g ∈ G][α^{-1}] → B ⊆ k[x_g:g ∈ G][β^{-1}]$ +où $α$ et $β$ sont non nuls et $B$ est muni de l'action +naturelle de $G$. +(On pourra vérifier le critère (iii)′ de l'exercice précédent.) +\item Soit $L\bo K$ une extension galoisienne de groupe $G$ +entre sur-corps de $k$. Montrer qu'il existe un élément +$l ∈ L$ tel que $β((g(l))_g) ∈ L^×$. (On pourra utiliser l'exercice \ref{indépendance algébrique Gal}.) +\item Construire un morphisme $A → K$ correspondant à $L \bo K$. +\end{itemize} +% cf. « Generic … », p. 98 (du livre) +\end{exercice2} + +\begin{exercice2} +Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$. +\begin{enumerate} +\item Étudier le foncteur $A ↦ (A[X]/(X^p))^×$. +\item Étudier le foncteur $A ↦ (A[X]/(X^{p²}))^×$. +% Vecteurs de Witt tronqués ? +\end{enumerate} +\end{exercice2} + + +\section{Références} + +La démonstration du théorème de Witt est due à Jean Lannes. +La démonstration de l'existence d'une équation verselle +est largement inspirée de \cite{Topics@Serre}, §4.3. + +\ifx\danslelivre\undefined +\bibliography{../configuration/bibliographie-livre} +\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} +\end{document} +\fi |