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author | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-03-24 10:56:42 +0100 |
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[ucs,KASW,Azu,Alg,versel] unicodification de la racine ;)
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diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex index 8cfeef3..4b62ba2 100644 --- a/chapitres/verselles.tex +++ b/chapitres/verselles.tex @@ -369,20 +369,20 @@ sur $k$. On a donc $k₂=k(x)$ et $k₄=k₂(y)$ où $x²=:ε∈k$ et $y²=a+bx∈k₂$, $a,b∈k$. Réciproquement, considérons $ε∈k∖k²$ et -$k₂=k(\sqrt{ε})$ +$k₂=k(√{ε})$ l'extension quadratique de $k$ associée. À toute paire d'éléments $(a,b)$ de $k$, on associe le corps -$k₄=k₂(\sqrt{a+b\sqrt{ε}})$. +$k₄=k₂(√{a+b√{ε}})$. \begin{théorème2} \begin{enumerate} \item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe cyclique -d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est +d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b√{ε})=a²-εb²$ est de la forme $εc²$ pour un $c∈k^×$. -\item Une extension quadratique $k(\sqrt{ε})$ se plonge +\item Une extension quadratique $k(√{ε})$ se plonge dans une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre quatre \ssi $ε$ est une somme de deux carrés dans $k$. @@ -402,7 +402,7 @@ du polynôme X⁴+2aX²+(a²-εb²). \] Nécessairement $b≠0$ sans quoi $k₄$ serait -$k(\sqrt{ε},\sqrt{a})$, +$k(√{ε},√{a})$, dont le groupe de Galois sur $k$ est de $2$-torsion. Ainsi, l'égalité $y²=a+bx$ entraîne $x∈k(y)$ : le corps $k₄$ est @@ -455,16 +455,16 @@ soit pas un carré et $u∈k$ est non nul. \begin{démo} Soient $t∈k$ tel que $ε=1+t²$ ne soit pas un carré. -Considérons $y=ε+\sqrt{ε}$. On a $\N(y)=ε²-ε=ε(ε-1)=εt²$ -de sorte que l'extension $k(\sqrt{y})\bo k$ est +Considérons $y=ε+√{ε}$. On a $\N(y)=ε²-ε=ε(ε-1)=εt²$ +de sorte que l'extension $k(√{y})\bo k$ est galoisienne, cyclique de degré quatre. Il en est plus généralement -de même de l'extension $k(\sqrt{uy})\bo k$ pour tout $u ∈ k^×$ +de même de l'extension $k(√{uy})\bo k$ pour tout $u ∈ k^×$ car $\N(uy)=u²\N(y)$. Réciproquement, il résulte de la proposition suivante -que toutes les extensions de $k(\sqrt{ε})$ de groupe $𝐙/4$ +que toutes les extensions de $k(√{ε})$ de groupe $𝐙/4$ sur $k$ s'obtiennent ainsi. -L'élément $y=\sqrt{u(ε+\sqrt{ε})}$ satisfait l'équation +L'élément $y=√{u(ε+√{ε})}$ satisfait l'équation $(y^2-uε)²=u²ε$ ; son polynôme minimal est donc celui de l'énoncé. \end{démo} @@ -478,10 +478,10 @@ Considérons un groupe $E$, extension non scindée de $G$ par $𝐙/2$ : 1 → 𝐙/2 → E → G → 1, \] où $E ↠ G$ n'a pas de section. -Soient $L₁=K(\sqrt{y₁})\bo K$ et $L₂=K(\sqrt{y₂})\bo K$ +Soient $L₁=K(√{y₁})\bo K$ et $L₂=K(√{y₂})\bo K$ deux sous-corps de $Ω$, quadratiques sur $K$, tels que les extensions $L₁\bo k$ et $L₂\bo k$ soient galoisiennes de groupe isomorphe à $E$. -Alors, il existe $λ ∈ k^×$ tel que $L₂=K(\sqrt{λ y₁})$. +Alors, il existe $λ ∈ k^×$ tel que $L₂=K(√{λ y₁})$. \end{proposition2} \begin{démo} @@ -497,13 +497,13 @@ Soit $τ₁ ∈ E×_G E$ (resp. $τ₂$) le générateur du sous-groupe d'ordre deux $1× 𝐙/2$ (resp. $𝐙/2×1$) de sorte que $L_i=\Fix_{⟨τ_i⟩}(M)$. Soit $Δ:E → E×_G E$ le morphisme diagonal et $k′=\Fix_{Δ(E)}(M)$. C'est une extension quadratique de $k$, car -$Δ(E)$ est d'indice deux dans $E×_G E$ : on a $k ′=k(\sqrt{λ})$ pour un certain $λ ∈ k^×$. -Posons $L₁′=K(\sqrt{\vphantom{y₁}λ}\sqrt{\vphantom{λ}y₁})$. C'est une extension quadratique ou triviale -de $K$. Si elle était triviale, on aurait $λ y₁ ∈ K²$ d'où $L₁=K(\sqrt{λ})=Kk ′$ +$Δ(E)$ est d'indice deux dans $E×_G E$ : on a $k ′=k(√{λ})$ pour un certain $λ ∈ k^×$. +Posons $L₁′=K(√{\vphantom{y₁}λ}√{\vphantom{λ}y₁})$. C'est une extension quadratique ou triviale +de $K$. Si elle était triviale, on aurait $λ y₁ ∈ K²$ d'où $L₁=K(√{λ})=Kk ′$ et $E → G$ serait alors scindée (cf. \emph{loc. cit.}). D'autre part $k ′$ n'est pas contenu dans $L₁$ ni $L₂$ car $Δ(E)$ ne contient -ni $τ₁$ ni $τ₂$. L'automorphisme $τ₂$ agit donc par $\sqrt{λ} ↦ -\sqrt{λ}$. -Comme il agit de même sur $\sqrt{y₁}$, il fixe $\sqrt{\vphantom{y₁}λ}\sqrt{\vphantom{λ}y₁})$ +ni $τ₁$ ni $τ₂$. L'automorphisme $τ₂$ agit donc par $√{λ} ↦ -√{λ}$. +Comme il agit de même sur $√{y₁}$, il fixe $√{\vphantom{y₁}λ}√{\vphantom{λ}y₁})$ donc $L₁′$. Par la théorie de Galois, les corps $L₂$ et $L₁ ′$ coïncident. CQFD. \end{démo} @@ -546,19 +546,19 @@ sur $k$. On a donc $k₂=k(x)$ et $k₄=k₂(y)$ où $℘(x):=x²+x=ε∈k$ et $℘(y)=a+bx∈k₂$. Réciproquement, considérons $ε∈k∖℘(k)$ et -$k₂=k(\sqrt[℘]{ε})$ l'extension +$k₂=k(√[℘]{ε})$ l'extension quadratique de $k$ associée. À toute paire d'éléments $(a,b)$ de $k$, -on associe le corps $k₄=k₂(\sqrt[℘]{a+b\sqrt[℘]{ε}})$. +on associe le corps $k₄=k₂(√[℘]{a+b√[℘]{ε}})$. \begin{théorème2} \begin{enumerate} \item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe cyclique -d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est +d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b√[℘]{ε})=b$ est de la forme $ε+℘(c)$ pour un $c∈k$. -\item Une extension quadratique $k(\sqrt[℘]{ε})$ se plonge +\item Une extension quadratique $k(√[℘]{ε})$ se plonge toujours dans une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre quatre. @@ -573,7 +573,7 @@ quatre. (i) Supposons $k₄\bo k$ galoisienne de groupe isomorphe à $C₄$. Soient $x$ et $y$ comme ci-dessus. Nécessairement $b≠0$ -sans quoi $k₄$ serait $k(\sqrt[℘]{ε},\sqrt[℘]{a})$ dont le +sans quoi $k₄$ serait $k(√[℘]{ε},√[℘]{a})$ dont le groupe de Galois sur $k$ est de $2$-torsion. L'élément $y$ est racine du polynôme @@ -586,7 +586,7 @@ obtenu en écrivant \] L'égalité $y²+y=x$ montre que $x∈k(y)$ si bien que $k₄$ est un corps de rupture du polynôme ci-dessus. -Le conjugué de $x=\sqrt[℘]{ε}$ est $x+1$ ; les conjugués +Le conjugué de $x=√[℘]{ε}$ est $x+1$ ; les conjugués de $y$ sont donc $y,y+1,y'$ et $y'+1$ où $℘(y')=x+1$. Soit $σ∈\Gal(k₄\bo k)$ tel que $σ(y)=y'$. On a alors nécessairement @@ -707,7 +707,7 @@ extension de $V₄$ par $\{±1\}$ — est rappelée en \refext{Azu}{quaternions est noté $Q₈$. \begin{corollaire2} -Soit $a ∈ k-k²$. Si l'extension quadratique $k(\sqrt{a})\bo k$ se plonge +Soit $a ∈ k-k²$. Si l'extension quadratique $k(√{a})\bo k$ se plonge dans une extension quaternionique, l'élément $a$ est une somme de trois carrés dans $k$. \end{corollaire2} @@ -733,16 +733,16 @@ P=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1/6\\ -1 & 1 & -1/6 \\ 0 & 1 & 1/3 nous permet de retrouver, pour $λ=6$, l'extension de $𝐐$ construite par Dedekind (\cite{}) : \[ -𝐐(\sqrt{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}})=𝐐(\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})}). +𝐐(√{6+3√{2}+2√{3}+2√{6}})=𝐐(√{(2+√{2})(3+√{6})}). \] En effet, il résulte de \refext{Azu}{norme spinorielle} -que l'on a dans $𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3})^×/{𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3})^×}²$ l'égalité +que l'on a dans $𝐐(√{2},√{3})^×/{𝐐(√{2},√{3})^×}²$ l'égalité \[ -\NSpin\big(P⋅\diag(1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\sqrt{6})\big)=\Tr\big(P⋅\diag(1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\sqrt{6})\big)+1 -=1+1/\sqrt{2}+1/\sqrt{3}+\sqrt{6}/3.\] +\NSpin\big(P⋅\diag(1/√{2},1/√{3},√{6})\big)=\Tr\big(P⋅\diag(1/√{2},1/√{3},√{6})\big)+1 +=1+1/√{2}+1/√{3}+√{6}/3.\] -Le fait que $𝐐(\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})})$ coïncide -avec le corps $𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})})$, \emph{a +Le fait que $𝐐(√{(2+√{2})(3+√{6})})$ coïncide +avec le corps $𝐐(√{2},√{3},√{(2+√{2})(3+√{6})})$, \emph{a priori} plus gros, est un fait général, expliqué à la fin de la démonstration de l'implication (i)⇒(ii). \end{exemple2} @@ -869,7 +869,7 @@ Ceci achève la démonstration de l'implication (ii)⇒(i). Pour conclure il nous faut comprendre quelles sont les classes $x$ dans $k_{V₄}^×/{k_{V₄}^×}²$ telles -que $k_{V₄}(\sqrt{x})$ soit quaternionique sur $k$. +que $k_{V₄}(√{x})$ soit quaternionique sur $k$. Il résulte de la démonstration précédente que si $P$ est comme dans l'énoncé, la classe $\NSpin(m_P)=\NSpin(m_P^{-1})$ convient. Ce n'est autre que la classe de l'énoncé, pour $λ=1$. @@ -1017,7 +1017,7 @@ Le lemme \ref{décomposition classe quaternionique} donne donc une décomposition de $∂[k_{V₄}]$ en produits de $1$-cocycles. Il nous faut comprendre quelle est l'image de $[\pr_\i],[\pr_\j] ∈ H¹(V₄,𝐅₂)$ dans $H¹(Π_k,𝐅₂)$ par $[k_{V₄}]:Π_k → V₄$. Rappelons (\ref{notations Witt non 2}) que si -$k_{V₄}=k(\sqrt{b_\i},\sqrt{b_\j},\sqrt{b_\k})$, +$k_{V₄}=k(√{b_\i},√{b_\j},√{b_\k})$, où les $b_μ$ sont comme en \ref{notations Witt non 2}, on note $σ_\i$ l'unique $k$-automorphisme non trivial de $k_{V₄}$ tel que $σ_\i(b_\i)=b_\i$ ; on a alors nécessairement $σ_\i(b_\j)=-b_\j$ @@ -1040,7 +1040,7 @@ l'unique caractère tel que pour tout $σ ∈ Π_k$ et tout choix d'une racine carrée de $a$ dans $k\sep$, on ait \[ -\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}=(-1)^{(a)(σ)}. +\frac{σ(√{a})}{√{a}}=(-1)^{(a)(σ)}. \] |