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author | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-06 17:46:34 +0100 |
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committer | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-06 17:46:34 +0100 |
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[versel] début utilisation [CG]/algèbres galoisiennes
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-rw-r--r-- | chapitres/verselles.tex | 14 |
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diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex index ec0f622..37aada0 100644 --- a/chapitres/verselles.tex +++ b/chapitres/verselles.tex @@ -1441,7 +1441,8 @@ du théorème de Krull-Schmidt (cf. \cite{Bourbaki}, chap. 8, \cite{First@Lam}, \subsection{Interprétation géométrique} Nous allons maintenant énoncer un corollaire important du théorème -de la base normale. +de la base normale. Ce paragraphe fait usage des définitions +et résultat de \refext{CG}{G-algèbres galoisiennes sur un anneau}. \subsubsection{}\label{notations base normale géométrique} Soient $G$ un groupe fini et $k$ un corps. @@ -1460,15 +1461,18 @@ L'algèbre $EG$ est galoisienne de groupe $G$ sur $BG$. \end{proposition2} \begin{démo} -Nous allons montrer le résultat plus fort : -le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $♯G$. -Commençons par observer qu'il existe des éléments +D'après \refext{CG}{algèbres galoisiennes conditions +équivalentes} (iii), il suffit de démontrer l'existence d'éléments $(y_g)_{g ∈ G}$ de $EG$ tels que, pour chaque $g ′ ∈ G$, on ait : \[ ∑_g y_g ⋅ g ′(x_g)=δ_{g ′,1}. \] Cela résulte de l'hypothèse d'invertibilité du déterminant. +\end{démo} + +\begin{remarque2} +On peut montrer que le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $♯G$. Soient $s:EG → \Hom_{\Ens}(G,BG)$ et $π:\Hom_{\Ens}(G,BG) → EG$ les applications $BG$-linéaires suivantes : \[ @@ -1489,7 +1493,7 @@ Or, $EG ⊗_{BG} \Frac(BG)$ est naturellement isomorphe au corps $\Frac(EG)$, galoisien sur $BG$ de groupe $G$ (lemme d'Artin). Il en résulte que le rang de $\Ker(π)$ est nul. CQFD. -\end{démo} +\end{remarque2} Avec ces notations, on a le théorème suivant. |