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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-06 21:23:30 +0100
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-06 21:23:30 +0100
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@@ -1433,8 +1433,8 @@ anneau principal.
Comme on l'a vu au cours de la démonstration, il est intéressant de savoir si
l'on peut « simplifier par un entier non nul » dans le monoïde (pour la somme
directe) des classes d'isomorphismes de $A$-modules de dimension finie sur $k$.
-On l'a vu dans un cas particulier ; en toute généralité, c'est un corollaire
-du théorème de Krull-Schmidt (cf. \cite{Bourbaki}, chap. 8, \cite{First@Lam}, §19).
+On l'a vu dans un cas particulier ; en toute généralité, c'est un corollaire
+du théorème de Krull-Schmidt (cf. \cite{Bourbaki}, chap. 8, ou \cite{First@Lam}, §19).
\end{remarque2}
@@ -1473,6 +1473,8 @@ Cela résulte de l'hypothèse d'invertibilité du déterminant.
\begin{remarque2}
On peut montrer que le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $♯G$.
+(On sait déjà qu'il est \emph{projectif}, c'est-à-dire
+\emph{localement} libre.)
Soient $s:EG → \Hom_{\Ens}(G,BG)$ et $π:\Hom_{\Ens}(G,BG) → EG$
les applications $BG$-linéaires suivantes :
\[
@@ -1510,8 +1512,8 @@ $T$ est noté $BG^\japmath{田}(T)$. Le théorème précédent
affirme donc que toute extension galoisienne de $K$ de groupe
$G$ correspond à (au moins) un élément de l'ensemble $BG^\japmath{田}(K)$
des \emph{$K$-points de $BG$}. Le choix des notations
-provient de la topologie, où l'on note souvent $BG$
-les espaces dit « classifiants » et $EG$ le « torseur universel »
+provient de la topologie, où l'on note souvent $BG$
+les espaces dit « classifiants » et $EG$ le « $G$-torseur universel »
au-dessus.
\subsubsection{Démonstration}
@@ -1539,7 +1541,10 @@ Par propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres,
le morphisme $EG → L$ se factorise en
$EG → EG ⊗_{BG} K \dashrightarrow L$, où \mbox{$EG → EG ⊗_{BG} K$} est le morphisme
canonique. Il résulte de \ref{EG sur BG est galoisien} et
-\ref{Gal-G est un groupoide} que le morphisme $G$-équivariant $EG ⊗_{BG} K → L$
+de \refext{CG}{GGal stable par cb} que $EG ⊗_{BG} K$ est une $G$-algèbre
+galoisienne sur le corps $K$. Le corps $L$ étant également
+une $G$-algèbre galoisienne du $K$, il résulte de \refext{CG}{Gal-G est un groupoide}
+que le morphisme $G$-équivariant $EG ⊗_{BG} K → L$
est un isomorphisme.
\subsection{Digression sur les algèbres de groupes}
@@ -1632,10 +1637,10 @@ des groupes cycliques. Considérons à titre d'exemple la $k$-algèbre $E 𝐙/
Elle est isomorphe à \[k[x,y,z][(x³+y³+z³-3xyz)^{-1}]\]
où l'action $𝐙/3$ se fait via la permutation circulaire
$(x,y,z)$ des variables. Considérons maintenant un entier $n ≥ 1$ quelconque
-et $A$ une $k$-algèbre. L'algèbre de groupe $A[𝐙/n]$,
-munie du produit de convolution, est naturellement
-isomorphe au quotient $A[T]/(T^n -1)$, l'action de
-$\sur{1} ∈ 𝐙/n$ correspondant à la multiplication par $T$
+et $A$ une $k$-algèbre. L'algèbre de groupe $A[𝐙/n]$,
+munie du produit de convolution, est naturellement
+isomorphe au quotient $A[T]/(T^n -1)$, l'action du
+générateur $\sur{1}$ de $𝐙/n$ correspondant à la multiplication par $T$
dans le quotient. Cette simple observation va nous permettre
de mieux comprendre la structure des $E𝐙/n$, ainsi que les
morphismes $B 𝐙/n → E 𝐙/n$, en faisant une hypothèse sur $k$ et $n$.
@@ -1685,8 +1690,8 @@ K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
\]
L'extension $k[X^{±1}] → k[X^{±1}]$, $X ↦ X^n$
-est galoisienne de groupe $𝐙/n$. \XXX
-Il résulte donc de \ref{Gal-G est un groupoide}
+est galoisienne de groupe $𝐙/n$ (\refext{CG}{revêtement
+Kummer}). Il résulte donc de \refext{CG}{Gal-G est un groupoide}
que le morphisme $k[X,X^{-1}] ⊗_{k[X,X^{-1}], X ↦ X^n} K → L$
déduit du diagramme commutatif précédent
est un \emph{isomorphisme}.
@@ -1694,7 +1699,7 @@ En d'autres termes :
\begin{quote}\emph{toute extension galoisienne de $L\bo K$ de groupe $𝐙/n$ est obtenue
par extraction d'une racine $n$-ième d'un élément de $K^×$, dès lors que $K$
contient exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité.}
-\end{quote}
+\end{quote}
(L'élément dont on extrait la racine n'est autre que l'image
de $X$ dans $k$ par le composé $k[X,X^{-1}] → B _n → K$.)
Ce fait est l'un des principaux résultats de la \emph{la théorie de Kummer}
@@ -1707,7 +1712,7 @@ au chapitre [KAS].
Sous cette hypothèse, on a égalité $T^p-1=(T-1)^p$
dans chaque $k$-algèbre $A$ de sorte que l'algèbre $A[T]/(T^p-1)$
-est canoniquement isomorphe à l'algèbre $A[X]/(X^p)$.
+est canoniquement isomorphe à l'algèbre $A[X]/(X^p)$.
L'isomorphisme (dit canonique) envoyant (la classe de) $T-1$ sur (la classe de) $X$.
Sans élucider la structure des unités $A[X]/(X^p)$ (cf. \ref{structure
unités Ap-1} \emph{infra}), faisons malgré tout
@@ -1731,12 +1736,12 @@ En retournant les flèches, on obtient comme ci-dessus — par le lemme de Yone
un morphisme de $k$-algèbres $k[Y] → B _{[1]}$.
L'extension $k[X] → k[X]$ déduite de $℘$ est galoisienne de groupe
-$𝐙/p$. \XXX Comme dans le cas précédent, ce fait, joint
+$𝐙/p$ (\refext{CG}{revêtement AS}). Comme dans le cas précédent, ce fait, joint
au théorème \ref{base normale géométrique} entraîne :
\begin{quote}\emph{toute extension galoisienne $L\bo K$ de groupe $𝐙/p$
entre corps de caractéristique $p>0$ est obtenue par extraction d'une racine $℘$-ième d'un élément de $K$.}
-\end{quote}
+\end{quote}
(L'élément dont on extrait la racine n'est autre que l'image
de $Y$ dans $K$ par le composé $k[Y] → B _{[1]} → K$.)
Ce fait est l'un des principaux résultats de la \emph{la théorie
@@ -1790,19 +1795,24 @@ Indépendance algébrique des éléments de $\Gal$. \XXX
\begin{exercice2}\label{extension verselle via Noether}
Soient $k$ un corps infini et $G$ un groupe fini de cardinal $n$.
-Supposons que le corps $\Fix(G|k(x_g:g ∈ G))$ soit $k$-isomorphe
-à $k(y_g:g ∈ G)$.
-\begin{itemize}
-\item Montrer qu'il existe morphisme $G$-galoisien
-$A=k[y_g:g ∈ G][α^{-1}] → B ⊆ k[x_g:g ∈ G][β^{-1}]$
-où $α$ et $β$ sont non nuls et $B$ est muni de l'action
-naturelle de $G$.
-(On pourra vérifier le critère (iii)′ de l'exercice précédent.)
+On fait l'hypothèse que le sous-corps des éléments
+$G$-invariants du corps purement transcendant $k(x_g:g ∈ G)$
+est $k$-isomorphe à un corps purement transcendant $k(y_g:g ∈ G)$.
+L'action de $G$ sur $k(x_g:g ∈ G)$ est donnée par : $h ⋅ x_g = x_{hg}$.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer qu'il existe des éléments
+$α ∈ k[y_g:g ∈ G]$ et $β ∈ k[x_g:g ∈ G]$ tels
+que l'inclusion $k(y_g:g ∈ G) ⊆ k(x_g:g ∈ G)$ s'étende
+en une inclusion $A=k[y_g:g ∈ G][α^{-1}] ⊆ k[x_g:g ∈ G][β^{-1}]=B$
+telle que $B$ soit globalement stable par l'action de $G$
+et $A → B$ soit $G$-galoisien.
+(On pourra vérifier le critère \refext{CG}{algèbres
+galoisiennes conditions équivalentes} (iii).)
\item Soit $L\bo K$ une extension galoisienne de groupe $G$
entre sur-corps de $k$. Montrer qu'il existe un élément
$l ∈ L$ tel que $β((g(l))_g) ∈ L^×$. (On pourra utiliser l'exercice \ref{indépendance algébrique Gal}.)
\item Construire un morphisme $A → K$ correspondant à $L \bo K$.
-\end{itemize}
+\end{enumerate}
% cf. « Generic … », p. 98 (du livre)
\end{exercice2}