[LG] formule de Poisson adélique : début réécriture.

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@@ -290,7 +290,8 @@ est due à Haar Alfréd — sous une hypothèse
 restrictive dont s'est affranchi André Weil — et l'unicité
 à John von Neuman. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
 invariante à droite, en un sens évident.
-Nous présentons dans le paragraphe suivant une esquisse.
+Nous présentons dans le paragraphe suivant une esquisse de preuve de ces
+résultats.
 
 \subsubsection{Existence et unicité à un facteur près d'une mesure de Haar : esquisse de démonstration}
 \label{Haar existence et unicité}
@@ -484,6 +485,8 @@ invariante à droite lorsque $G$ est
 \subsubsection{}
 \label{caractérisation compacité par mesure}
 Si $G$ est compact et $μ$ une mesure de Haar, on a vu que sa mesure $μ(G)$ est finie.
+(On appelle \textbf{mesure de Haar normalisée} l'unique mesure de Haar telle que
+$μ(G)=1$.)
 Réciproquement, si $G$ est seulement supposé \emph{localement} compact
 mais de mesure extérieure $μ^*(G)$ finie, alors $G$ est compact.
 En effet, soit $V$ un voisinage compact de l'unité de $G$.
@@ -496,7 +499,7 @@ est donc recouvert par les compacts $g_i V V^{-1}$, en nombre fini ; il est
 compact. CQFD.
 
 \subsubsection{}
-\label{module quotient}
+\label{module et mesure quotients}
 Soit $Γ$ un sous-groupe discret d'un groupe abélien topologique localement compact $G$.
 Supposons le groupe quotient $X=G/Γ$ compact ; on dit que $Γ$ est
 \textbf{cocompact} dans $G$.
@@ -2606,7 +2609,7 @@ un \textbf{isomorphisme modulo les compacts} s'il est strict,
 à noyau compact et à conoyau cocompact.
 \end{définition2}
 
-Rappelons (\ref{module quotient}) que $H ≤ G$ est \emph{cocompact} si $G/H$ est compact.
+Rappelons (\ref{module et mesure quotients}) que $H ≤ G$ est \emph{cocompact} si $G/H$ est compact.
 
 \begin{proposition2}
 \label{restriction isomorphisme modulo compacts}
@@ -2734,7 +2737,9 @@ le produit restreint $(𝒳;𝒱)_𝐀$ est également métrisable.
 \end{remarque2}
 
 
-\subsubsection{Locale compacité}Il résulte de la définition
+\subsubsection{Locale compacité}
+\label{locale compacité produit restreint}
+Il résulte de la définition
 et du théorème de Tikhonov que si chaque $𝒳_s$ (resp. $𝒱_s$)
 est localement compact (resp. compact),
 chaque $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$ est un ouvert compact du produit
@@ -3041,7 +3046,7 @@ toutes petites}, et l'observation lui faisant immédiatement suite.
 
 \begin{démo}
 Il résulte du théorème de cocompacité précédent et
-de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module quotient})
+de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module et mesure quotients})
 que le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$ est égal à $1$.
 D'autre part, il résulte immédiatement de la construction
 de la mesure de Haar adélique (\ref{mesure produit-colimite})
@@ -3195,7 +3200,7 @@ est compact en utilisant la compacité du quotient $K_𝐀/K$
 et le résultat de comparaison \ref{topologies induites coïncident}.
 Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar sur le groupe
 (localement compact) $K_𝐀$ des adèles et notons $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}$
-la mesure induite (\ref{module quotient}) sur le quotient $K_𝐀/K$ des adèles par le groupe
+la mesure induite (\ref{module et mesure quotients}) sur le quotient $K_𝐀/K$ des adèles par le groupe
 discret cocompact $K$. Le groupe des adèles n'étant \emph{pas} compact \XXX,
 il existe d'après \ref{caractérisation compacité par mesure}
 un compact $C₀$ de $K_𝐀$ tel que
@@ -3523,7 +3528,7 @@ Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
 À toute collection $(f_x:K_x → 𝐂)_{x ∈ Σ(K)}$ de fonctions continues telles
 que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ on ait
 $f_x(𝒪_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction
-$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\lim_{x ∈ Σ(K)} f_x$
+$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x$
 de $K_𝐀$ dans $𝐂$, produit externe restreint des $(f_x)$,
 c'est-à-dire envoyant un adèle $(a_x)$ sur le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} f_x(a_x)$.
 C'est une fonction continue, que l'on notera aussi simplement
@@ -3551,13 +3556,13 @@ presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
 %des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
 %p. 178 et p. 189. \XXX
 Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
-$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\lim_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
+$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
 𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$
 et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
 Si $K$ est un corps de nombres, il résulte de \ref{cocompacité} (i)
 qu'il existe un élément $a ∈ K$ tel que $a-a_x$ appartienne à $𝒪_{K,x}$
 pour chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
-Dans ce cas, toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
+Dans ce cas, toute fonction $f_𝐀 ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
 linéaire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où $f^{\mathrm{ultr}}$
 est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}  𝔪_x^{n_x}$
 ($n_x=0$ pour presque tout $x$).
@@ -3821,14 +3826,15 @@ De plus, on peut identifier $K^⊥$ à $Ω¹_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX
 Soient $K$ un corps global et $ψ= (ψ_x)_x$ un caractère non trivial de $K_𝐀$, trivial
 sur $K$. Pour chaque place $x$ de $K$, considérons la transformée
 de Fourier locale autoduale $ℱ_{ψ_x}$ (\ref{Fourier et mesure locaux}).
-Si $f=\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\lim_x f_x$
+Si $f=\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x f_x$
 appartient à l'espace de Bruhat-Schwartz (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
 les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_x}$ :
 cela résulte du fait que le niveau $n(ψ_x)$ sont presque tous nuls
 (\ref{dual des classes de adèles}) et de la dualité locale (\ref{Fourier et
 mesure locaux}, (i) et (v)). La fonction $ℱ_ψ(f):=
-\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\lim_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient
-donc également à $𝒮(K_𝐀)$. On peut réécrire cette définition de la
+\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient
+donc également à $𝒮(K_𝐀)$ ; on étend cette définition à $𝒮(K_𝐀)$ tout
+entier par linéarité. On peut réécrire cette définition de la
 transformation de Fourier $ℱ_ψ$ sous une forme globale.
 Notons $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure de Radon
 produit restreint des mesures $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ sur $K_x$
@@ -3895,20 +3901,21 @@ du produit restreint des $𝐤_x$, $x≠ ∞$, déduit de $ψ_𝐤$ (\ref{cara
 et $\chap{𝐅_p[t]}=\lim_P 𝐅_p[t]/P ⥲  ∏_{x ≠ ∞} 𝒪_{𝐤_x}$.
 Le formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} permet
 le calcul explicite de $ℱ_{ψ_∞}(f^∞)$ par dévissage ;
-par exemple, $ℱ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= p [× t²]^* 𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]}$.
+par exemple, $ℱ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= p𝟭_{t^{-2}𝐅_p[[t^{-1}]]}$.
+\commentaire{Rapport avec \ref{mesure quotient adélique} ?}
 On en tire en particulier que la valeur en zéro de $ℱ_{ψ_𝐤}(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}})$,
 qui coïncide par définition avec la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_𝐤}(𝒪_{𝐤_𝐀})$ de $𝒪_{𝐤_𝐀}$,
 est égale à $p$.
-\commentaire{Rapport avec \ref{mesure quotient adélique} ?}
 D'autre part, on vérifie immédiatement la formule
 $∑_{λ ∈ 𝐤} 𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}}(λ)= ∑_{λ ∈ 𝐤} ℱ_{ψ_𝐤}\big(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}}\big)(λ)$.
-Le terme de gauche est le cardinal, égal à $p$, de $𝒪_{𝐤_𝐀} ⋂ 𝐤=𝐅_p$ ;
+Le terme de gauche est le cardinal, égal à $p$, de $𝒪_{𝐤_𝐀} ⋂ 𝐤=𝐅_p$ (fonctions
+rationnelles sans pôle) ;
 le terme de droite est $p$ fois le nombre, égal à $1$, de fonctions rationnelles $f ∈ 𝐤$
 sans pôle hors de l'infini et ayant un zéro (au moins) double en l'infini.
-Dans le cas d'une fonction $f ∈ 𝒮(𝐤_𝐀)$, la formule
-de Poisson adélique est moins immédiate.
-La méthode esquissé ci-dessus dans le cas du corps des rationnels nous ramène en effet au théorème
-de Riemann-Roch énoncé ci-après. [à vérifier/détailler] \XXX
+Dans le cas d'une fonction générale $f ∈ 𝒮(𝐤_𝐀)$, la formule
+de Poisson adélique est moins immédiate : la méthode
+esquissée ci-dessus dans le cas du corps des rationnels
+nous ramène essentiellement à une forme théorème de Riemann-Roch (\ref{Riemann-Roch}).
 
 \subsection{Formules d'inversion et de Poisson}
 
@@ -3916,14 +3923,17 @@ Ce paragraphe est consacré à la démonstration du théorème suivant.
 
 \begin{théorème2}
 \label{Fourier adélique}
-\XXX
-Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀/K$.
+Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀/K$ et soit
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associée
+aux mesures auto-duales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ (\ref{définition Fourier
+adélique}).
 \begin{enumerate}
-\item Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associées
-aux mesures auto-duales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$. Elle est indépendante
-de $ψ$ et coïncide l'unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus
-$+$}}_{\japmath{玉}}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
-telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀/K)=1$.
+\item La mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante
+du choix de $ψ$ et coïncide l'unique mesure de Haar
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
+telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ soit le produit
+(au sens de \ref{module et mesure quotients}) de la mesure de comptage sur le groupe discret $K$ par
+la mesure de Haar normalisée sur le groupe \emph{compact} $K_𝐀/K$.
 
 \item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$.
 \item  Pour $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
@@ -3939,82 +3949,79 @@ on a :
 \end{enumerate}
 \end{théorème2}
 
-\begin{remarques2}
-\begin{enumerate}
-\item
-Le fait que la mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante
-de $ψ$, qui est un corollaire du théorème précédent, résulte
-immédiatement des calculs locaux (\ref{Fourier et mesure locaux}),
-de la dualité de Pontrâgin (\ref{Pontrâgin pour adèles}) et
-la formule du produit (\ref{formule du produit}).
 Prendre garde de ne pas confondre la mesure de Tamagawa
-avec la mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ produit
+avec la mesure de Haar (globale) $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ produit
 des mesures de Haar locales définies en \ref{mesures Tamagawa locales}.
-\item
-Notons que le terme de droite de (iii) dépend \emph{a priori} du
-choix de $ψ$ (car il en est ainsi de $ℱ_ψ(f)$), contrairement au terme de gauche.
-Or, il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} et de la formule
-du produit que si $a ∈ K^×$, on a $ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$.
-L'indépendance du terme de droite en résulte aussitôt.
-\end{enumerate}
-\end{remarques2}
-
-\subsubsection{Démonstration du (ii)}
-
-Résulte immédiatement de la définition \ref{définition Fourier adélique}
- et de la proposition \ref{Fourier et mesure locaux} (iv)-(v).
 
-\subsubsection{Démonstration du (iii) : préliminaires}
+\subsubsection{}D'après la dualité de Pontrâgin (\ref{Pontrâgin pour adèles}),
+tout caractère non trivial des classes d'adèles est de la
+forme $[×a]^*ψ$ (noté également $ψ_a$) pour un unique $a ∈ K^×$. Il résulte de la formule
+\ref{Fourier et mesure locaux} (vi) appliquée aux composantes locales et de la formule du produit
+(\ref{formule du produit}) que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus
+$+$}}_{ψ_a}$. (On montre également, en utilisant la formule
+$ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$ que le terme de droite de l'égalité (iii)
+ne dépend pas de $ψ$, comme attendu.) Le fait que la mesure induite
+par $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ sur le quotient $K_𝐀/K$
+soit \emph{normalisée} sera établi à la fin de la démonstration.
+
+\subsubsection{Formule d'inversion}
+Rappelons que $ℱ_ψ(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′} f_x):=
+\mathop{\bigboxtimes\nolimits′} ℱ_{ψ_x}(f_x)$, lorsque
+les fonctions $f_x$ sont dans $𝒮(K_x)$ et presque toutes
+égales à $𝟭_{𝒪_{K,x}}$.
+La formule d'inversion globale résulte donc, par linéarité,
+des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)).
+
+\subsubsection{Formule de Poisson : convergence}
 \label{lemme de convergence normale sur compacts}
 \newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
 Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
-Vérifions le fait suivant :
-\begin{quote}
-La somme de fonctions $a ∈ K_𝐀 ↦  ∑_{λ ∈ Γ} f(a+λ)$ converge uniformément
-sur $C$.
-\end{quote}
-
-❧ Cas de la caractéristique $p>1$.
-Quitte à agrandir $C$, on peut supposer que $C$ contient
-le support de $f$ et est de la forme
-$∏_{v ∈ S} K_v × ∏_{v ∉ S} 𝒪_v$, où $S$ est un ensemble fini
-contenant les places archimédiennes (cf. \ref{} \XXX).
-Pour chaque $v ∈ Σ(K)$, notons $C_v$ la projection de $C$
-sur $K_v$ et $C_v^{\Supp} ⊆ K_v$ le support de $f_v$
-si $v ∈ S$ et $𝒪_v$ sinon. Enfin, posons $C^{\Supp}=∏_v C_v^{\Supp}$ ;
-c'est un compact contenu dans $C$. (On utilise ici l'hypothèse
-faite sur $K$.) La fonction $f$ est nulle hors de $C^{\Supp}$. Il en résulte
-que chaque terme $f(a+λ)$ de la somme est nul sauf peut-être
-si $λ ∈ K ∩ (C + {\traitdunion}C^{\Supp})$, où $C+ {\traitdunion}C^{\Supp}$ désigne
-l'image (compacte) de l'application $C×C → K_𝐀$, $(a,b)↦ a-b$.
-L'intersection de $K$ avec tout compact étant \emph{finie},
-la somme considérée est, restreinte au compact $C$, également finie
-et le résultat en découle aussitôt.
-
-❧ Cas ultramétrique.
+Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦  ∑_{λ ∈ K} f(a_𝐀+λ)$ converge
+uniformément sur $C$. On peut supposer que la fonction est un produit
+restreint $f=(f_x)$. Nous traitons séparément corps de fonctions et corps de nombres.
+
+❧ Cas des corps de fonctions.
+Soit $U$ un ouvert dense de $K$ tel que le support de $f$ soit contenu dans
+$K_𝐀(U)=∏_{u ∈ U} 𝒪_{k,u} × ∏_{x ∉ U} K_x$.  Considérons le compact $D=∏_x D_x$
+de $K_𝐀$, où $D_x$ est le support $\Supp(f_x)$ de $f_x$ si $x ∉ U$, ou
+bien $𝒪_{k,x}$ si $x ∈ U$.
+(En présence de places archimédiennes, la compacité de $\Supp(f_x)$ et, \emph{a
+fortiori}, celle de $D$ ne sont pas garanties.)
+La fonction $f$ est nulle hors de $D$. Il en résulte
+que chaque terme $f(a_𝐀+λ)$ de la somme est nul sauf peut-être
+si $λ$ appartient à l'intersection de $K$ avec l'image
+\emph{compacte} l'application $D×C → K_𝐀$, $(d,a)↦ d-a$.
+L'intersection de $K$ avec tout compact étant \emph{finie} (\ref{cocompacité}),
+la somme considérée, restreinte au compact $C$, est une somme finie.
+
+❧ Cas des corps de nombres.
 D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$
 de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où
-$f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{o+n𝒪}$, avec $o ∈ K$ et $n=∏_x ϖ_x^{n_x}$
+$f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $o ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
 ($n_x=0$ pour presque tout $x$).
-Lorsque $a$ appartient à $C$, les termes $f(a+λ)$
+Lorsque $a_𝐀$ appartient à $C$, les termes $f(a_𝐀+λ)$
 de la somme sont nuls sauf peut-être si
-$λ ∈ K ∩ \big((o+n 𝒪) +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
-où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans
-$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}=K_𝐀(Σ^{\mathrm{arch}})$.
-L'application $λ↦ o+n λ$ (resp. $C^{\mathrm{ultr}}↦ o+n C^{\mathrm{ultr}}$)
-étant une bijection de $K$ dans $K$ (resp.
-de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$),
-on peut supposer que $o=0$ et $n=1$.
-Comme $|f^{\mathrm{ultr}}| ≤ 1$,
-il suffit donc majorer la somme :
-\[
-a^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}})} |f^{\mathrm{arch}}(a^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})|,
-\]
-où $λ^{\mathrm{ultr}}$ désigne l'image de $λ$
-dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{v ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_v ≃ 𝐑^{r_𝐑+2 r_𝐂}$.
+$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
+où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble
+$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}).
+L'application $λ↦ o+𝔫 λ$ induisant une bijection de $K$
+ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$,
+on peut supposer que $f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$.
+Comme d'autre part cette fonction est majorée par $1$ en valeur
+absolue, il nous suffit de montrer la convergence uniforme de
+la somme
+\[
+a_𝐀^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})}
+|f^{\mathrm{arch}}(a_𝐀^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})|
+\]
+sur le compact $C^{\mathrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{x ∈
+Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x$.
+(On note ici $λ^{\mathrm{ultr}}$ l'image de $λ$
+dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$ par le plongement diagonal.)
+%$𝐑^{r_𝐑+2 r_𝐂}$.
 Tout compact de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ étant contenu dans
-l'image de $𝒪$ par une homothétie de rapport dans $K$,
-on peut de même supposer le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ contenu dans $𝒪$
+l'image de $𝒪_{K_𝐀}$ par une homothétie de rapport dans $K$,
+on peut de même supposer [pas clair \XXX] le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ contenu dans $𝒪$
 de sorte que $𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}$ est contenu dans $𝒪$.
 Or, on a vu en \ref{cocompacité} (ii) que le sous-groupe
 $K ∩ 𝒪 = 𝒪_K(…)$ est naturellement un réseau dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$.