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[LG] formule de Poisson adélique : début réécriture.
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 0aabe52..d44bf2a 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -290,7 +290,8 @@ est due à Haar Alfréd — sous une hypothèse restrictive dont s'est affranchi André Weil — et l'unicité à John von Neuman. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement invariante à droite, en un sens évident. -Nous présentons dans le paragraphe suivant une esquisse. +Nous présentons dans le paragraphe suivant une esquisse de preuve de ces +résultats. \subsubsection{Existence et unicité à un facteur près d'une mesure de Haar : esquisse de démonstration} \label{Haar existence et unicité} @@ -484,6 +485,8 @@ invariante à droite lorsque $G$ est \subsubsection{} \label{caractérisation compacité par mesure} Si $G$ est compact et $μ$ une mesure de Haar, on a vu que sa mesure $μ(G)$ est finie. +(On appelle \textbf{mesure de Haar normalisée} l'unique mesure de Haar telle que +$μ(G)=1$.) Réciproquement, si $G$ est seulement supposé \emph{localement} compact mais de mesure extérieure $μ^*(G)$ finie, alors $G$ est compact. En effet, soit $V$ un voisinage compact de l'unité de $G$. @@ -496,7 +499,7 @@ est donc recouvert par les compacts $g_i V V^{-1}$, en nombre fini ; il est compact. CQFD. \subsubsection{} -\label{module quotient} +\label{module et mesure quotients} Soit $Γ$ un sous-groupe discret d'un groupe abélien topologique localement compact $G$. Supposons le groupe quotient $X=G/Γ$ compact ; on dit que $Γ$ est \textbf{cocompact} dans $G$. @@ -2606,7 +2609,7 @@ un \textbf{isomorphisme modulo les compacts} s'il est strict, à noyau compact et à conoyau cocompact. \end{définition2} -Rappelons (\ref{module quotient}) que $H ≤ G$ est \emph{cocompact} si $G/H$ est compact. +Rappelons (\ref{module et mesure quotients}) que $H ≤ G$ est \emph{cocompact} si $G/H$ est compact. \begin{proposition2} \label{restriction isomorphisme modulo compacts} @@ -2734,7 +2737,9 @@ le produit restreint $(𝒳;𝒱)_𝐀$ est également métrisable. \end{remarque2} -\subsubsection{Locale compacité}Il résulte de la définition +\subsubsection{Locale compacité} +\label{locale compacité produit restreint} +Il résulte de la définition et du théorème de Tikhonov que si chaque $𝒳_s$ (resp. $𝒱_s$) est localement compact (resp. compact), chaque $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$ est un ouvert compact du produit @@ -3041,7 +3046,7 @@ toutes petites}, et l'observation lui faisant immédiatement suite. \begin{démo} Il résulte du théorème de cocompacité précédent et -de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module quotient}) +de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module et mesure quotients}) que le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$ est égal à $1$. D'autre part, il résulte immédiatement de la construction de la mesure de Haar adélique (\ref{mesure produit-colimite}) @@ -3195,7 +3200,7 @@ est compact en utilisant la compacité du quotient $K_𝐀/K$ et le résultat de comparaison \ref{topologies induites coïncident}. Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar sur le groupe (localement compact) $K_𝐀$ des adèles et notons $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}$ -la mesure induite (\ref{module quotient}) sur le quotient $K_𝐀/K$ des adèles par le groupe +la mesure induite (\ref{module et mesure quotients}) sur le quotient $K_𝐀/K$ des adèles par le groupe discret cocompact $K$. Le groupe des adèles n'étant \emph{pas} compact \XXX, il existe d'après \ref{caractérisation compacité par mesure} un compact $C₀$ de $K_𝐀$ tel que @@ -3523,7 +3528,7 @@ Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global. À toute collection $(f_x:K_x → 𝐂)_{x ∈ Σ(K)}$ de fonctions continues telles que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ on ait $f_x(𝒪_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction -$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\lim_{x ∈ Σ(K)} f_x$ +$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x$ de $K_𝐀$ dans $𝐂$, produit externe restreint des $(f_x)$, c'est-à-dire envoyant un adèle $(a_x)$ sur le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} f_x(a_x)$. C'est une fonction continue, que l'on notera aussi simplement @@ -3551,13 +3556,13 @@ presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$. %des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b] %p. 178 et p. 189. \XXX Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions -$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\lim_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} +$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls. Si $K$ est un corps de nombres, il résulte de \ref{cocompacité} (i) qu'il existe un élément $a ∈ K$ tel que $a-a_x$ appartienne à $𝒪_{K,x}$ pour chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$. -Dans ce cas, toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison +Dans ce cas, toute fonction $f_𝐀 ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison linéaire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où $f^{\mathrm{ultr}}$ est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝔪_x^{n_x}$ ($n_x=0$ pour presque tout $x$). @@ -3821,14 +3826,15 @@ De plus, on peut identifier $K^⊥$ à $Ω¹_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX Soient $K$ un corps global et $ψ= (ψ_x)_x$ un caractère non trivial de $K_𝐀$, trivial sur $K$. Pour chaque place $x$ de $K$, considérons la transformée de Fourier locale autoduale $ℱ_{ψ_x}$ (\ref{Fourier et mesure locaux}). -Si $f=\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\lim_x f_x$ +Si $f=\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x f_x$ appartient à l'espace de Bruhat-Schwartz (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}), les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_x}$ : cela résulte du fait que le niveau $n(ψ_x)$ sont presque tous nuls (\ref{dual des classes de adèles}) et de la dualité locale (\ref{Fourier et mesure locaux}, (i) et (v)). La fonction $ℱ_ψ(f):= -\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\lim_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient -donc également à $𝒮(K_𝐀)$. On peut réécrire cette définition de la +\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient +donc également à $𝒮(K_𝐀)$ ; on étend cette définition à $𝒮(K_𝐀)$ tout +entier par linéarité. On peut réécrire cette définition de la transformation de Fourier $ℱ_ψ$ sous une forme globale. Notons $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure de Radon produit restreint des mesures $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ sur $K_x$ @@ -3895,20 +3901,21 @@ du produit restreint des $𝐤_x$, $x≠ ∞$, déduit de $ψ_𝐤$ (\ref{cara et $\chap{𝐅_p[t]}=\lim_P 𝐅_p[t]/P ⥲ ∏_{x ≠ ∞} 𝒪_{𝐤_x}$. Le formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} permet le calcul explicite de $ℱ_{ψ_∞}(f^∞)$ par dévissage ; -par exemple, $ℱ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= p [× t²]^* 𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]}$. +par exemple, $ℱ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= p𝟭_{t^{-2}𝐅_p[[t^{-1}]]}$. +\commentaire{Rapport avec \ref{mesure quotient adélique} ?} On en tire en particulier que la valeur en zéro de $ℱ_{ψ_𝐤}(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}})$, qui coïncide par définition avec la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_𝐤}(𝒪_{𝐤_𝐀})$ de $𝒪_{𝐤_𝐀}$, est égale à $p$. -\commentaire{Rapport avec \ref{mesure quotient adélique} ?} D'autre part, on vérifie immédiatement la formule $∑_{λ ∈ 𝐤} 𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}}(λ)= ∑_{λ ∈ 𝐤} ℱ_{ψ_𝐤}\big(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}}\big)(λ)$. -Le terme de gauche est le cardinal, égal à $p$, de $𝒪_{𝐤_𝐀} ⋂ 𝐤=𝐅_p$ ; +Le terme de gauche est le cardinal, égal à $p$, de $𝒪_{𝐤_𝐀} ⋂ 𝐤=𝐅_p$ (fonctions +rationnelles sans pôle) ; le terme de droite est $p$ fois le nombre, égal à $1$, de fonctions rationnelles $f ∈ 𝐤$ sans pôle hors de l'infini et ayant un zéro (au moins) double en l'infini. -Dans le cas d'une fonction $f ∈ 𝒮(𝐤_𝐀)$, la formule -de Poisson adélique est moins immédiate. -La méthode esquissé ci-dessus dans le cas du corps des rationnels nous ramène en effet au théorème -de Riemann-Roch énoncé ci-après. [à vérifier/détailler] \XXX +Dans le cas d'une fonction générale $f ∈ 𝒮(𝐤_𝐀)$, la formule +de Poisson adélique est moins immédiate : la méthode +esquissée ci-dessus dans le cas du corps des rationnels +nous ramène essentiellement à une forme théorème de Riemann-Roch (\ref{Riemann-Roch}). \subsection{Formules d'inversion et de Poisson} @@ -3916,14 +3923,17 @@ Ce paragraphe est consacré à la démonstration du théorème suivant. \begin{théorème2} \label{Fourier adélique} -\XXX -Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀/K$. +Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀/K$ et soit +$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associée +aux mesures auto-duales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ (\ref{définition Fourier +adélique}). \begin{enumerate} -\item Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associées -aux mesures auto-duales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$. Elle est indépendante -de $ψ$ et coïncide l'unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus -$+$}}_{\japmath{玉}}$, dite \emph{mesure de Tamagawa}, -telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀/K)=1$. +\item La mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante +du choix de $ψ$ et coïncide l'unique mesure de Haar +$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$, dite \emph{mesure de Tamagawa}, +telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ soit le produit +(au sens de \ref{module et mesure quotients}) de la mesure de comptage sur le groupe discret $K$ par +la mesure de Haar normalisée sur le groupe \emph{compact} $K_𝐀/K$. \item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$. \item Pour $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$, @@ -3939,82 +3949,79 @@ on a : \end{enumerate} \end{théorème2} -\begin{remarques2} -\begin{enumerate} -\item -Le fait que la mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante -de $ψ$, qui est un corollaire du théorème précédent, résulte -immédiatement des calculs locaux (\ref{Fourier et mesure locaux}), -de la dualité de Pontrâgin (\ref{Pontrâgin pour adèles}) et -la formule du produit (\ref{formule du produit}). Prendre garde de ne pas confondre la mesure de Tamagawa -avec la mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ produit +avec la mesure de Haar (globale) $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ produit des mesures de Haar locales définies en \ref{mesures Tamagawa locales}. -\item -Notons que le terme de droite de (iii) dépend \emph{a priori} du -choix de $ψ$ (car il en est ainsi de $ℱ_ψ(f)$), contrairement au terme de gauche. -Or, il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} et de la formule -du produit que si $a ∈ K^×$, on a $ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$. -L'indépendance du terme de droite en résulte aussitôt. -\end{enumerate} -\end{remarques2} - -\subsubsection{Démonstration du (ii)} - -Résulte immédiatement de la définition \ref{définition Fourier adélique} - et de la proposition \ref{Fourier et mesure locaux} (iv)-(v). -\subsubsection{Démonstration du (iii) : préliminaires} +\subsubsection{}D'après la dualité de Pontrâgin (\ref{Pontrâgin pour adèles}), +tout caractère non trivial des classes d'adèles est de la +forme $[×a]^*ψ$ (noté également $ψ_a$) pour un unique $a ∈ K^×$. Il résulte de la formule +\ref{Fourier et mesure locaux} (vi) appliquée aux composantes locales et de la formule du produit +(\ref{formule du produit}) que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus +$+$}}_{ψ_a}$. (On montre également, en utilisant la formule +$ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$ que le terme de droite de l'égalité (iii) +ne dépend pas de $ψ$, comme attendu.) Le fait que la mesure induite +par $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ sur le quotient $K_𝐀/K$ +soit \emph{normalisée} sera établi à la fin de la démonstration. + +\subsubsection{Formule d'inversion} +Rappelons que $ℱ_ψ(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′} f_x):= +\mathop{\bigboxtimes\nolimits′} ℱ_{ψ_x}(f_x)$, lorsque +les fonctions $f_x$ sont dans $𝒮(K_x)$ et presque toutes +égales à $𝟭_{𝒪_{K,x}}$. +La formule d'inversion globale résulte donc, par linéarité, +des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)). + +\subsubsection{Formule de Poisson : convergence} \label{lemme de convergence normale sur compacts} \newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}} Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$. -Vérifions le fait suivant : -\begin{quote} -La somme de fonctions $a ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ Γ} f(a+λ)$ converge uniformément -sur $C$. -\end{quote} - -❧ Cas de la caractéristique $p>1$. -Quitte à agrandir $C$, on peut supposer que $C$ contient -le support de $f$ et est de la forme -$∏_{v ∈ S} K_v × ∏_{v ∉ S} 𝒪_v$, où $S$ est un ensemble fini -contenant les places archimédiennes (cf. \ref{} \XXX). -Pour chaque $v ∈ Σ(K)$, notons $C_v$ la projection de $C$ -sur $K_v$ et $C_v^{\Supp} ⊆ K_v$ le support de $f_v$ -si $v ∈ S$ et $𝒪_v$ sinon. Enfin, posons $C^{\Supp}=∏_v C_v^{\Supp}$ ; -c'est un compact contenu dans $C$. (On utilise ici l'hypothèse -faite sur $K$.) La fonction $f$ est nulle hors de $C^{\Supp}$. Il en résulte -que chaque terme $f(a+λ)$ de la somme est nul sauf peut-être -si $λ ∈ K ∩ (C + {\traitdunion}C^{\Supp})$, où $C+ {\traitdunion}C^{\Supp}$ désigne -l'image (compacte) de l'application $C×C → K_𝐀$, $(a,b)↦ a-b$. -L'intersection de $K$ avec tout compact étant \emph{finie}, -la somme considérée est, restreinte au compact $C$, également finie -et le résultat en découle aussitôt. - -❧ Cas ultramétrique. +Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ K} f(a_𝐀+λ)$ converge +uniformément sur $C$. On peut supposer que la fonction est un produit +restreint $f=(f_x)$. Nous traitons séparément corps de fonctions et corps de nombres. + +❧ Cas des corps de fonctions. +Soit $U$ un ouvert dense de $K$ tel que le support de $f$ soit contenu dans +$K_𝐀(U)=∏_{u ∈ U} 𝒪_{k,u} × ∏_{x ∉ U} K_x$. Considérons le compact $D=∏_x D_x$ +de $K_𝐀$, où $D_x$ est le support $\Supp(f_x)$ de $f_x$ si $x ∉ U$, ou +bien $𝒪_{k,x}$ si $x ∈ U$. +(En présence de places archimédiennes, la compacité de $\Supp(f_x)$ et, \emph{a +fortiori}, celle de $D$ ne sont pas garanties.) +La fonction $f$ est nulle hors de $D$. Il en résulte +que chaque terme $f(a_𝐀+λ)$ de la somme est nul sauf peut-être +si $λ$ appartient à l'intersection de $K$ avec l'image +\emph{compacte} l'application $D×C → K_𝐀$, $(d,a)↦ d-a$. +L'intersection de $K$ avec tout compact étant \emph{finie} (\ref{cocompacité}), +la somme considérée, restreinte au compact $C$, est une somme finie. + +❧ Cas des corps de nombres. D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$ de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où -$f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{o+n𝒪}$, avec $o ∈ K$ et $n=∏_x ϖ_x^{n_x}$ +$f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $o ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$ ($n_x=0$ pour presque tout $x$). -Lorsque $a$ appartient à $C$, les termes $f(a+λ)$ +Lorsque $a_𝐀$ appartient à $C$, les termes $f(a_𝐀+λ)$ de la somme sont nuls sauf peut-être si -$λ ∈ K ∩ \big((o+n 𝒪) +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}\big)$, -où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans -$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}=K_𝐀(Σ^{\mathrm{arch}})$. -L'application $λ↦ o+n λ$ (resp. $C^{\mathrm{ultr}}↦ o+n C^{\mathrm{ultr}}$) -étant une bijection de $K$ dans $K$ (resp. -de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$), -on peut supposer que $o=0$ et $n=1$. -Comme $|f^{\mathrm{ultr}}| ≤ 1$, -il suffit donc majorer la somme : -\[ -a^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}})} |f^{\mathrm{arch}}(a^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})|, -\] -où $λ^{\mathrm{ultr}}$ désigne l'image de $λ$ -dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{v ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_v ≃ 𝐑^{r_𝐑+2 r_𝐂}$. +$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}\big)$, +où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble +$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}). +L'application $λ↦ o+𝔫 λ$ induisant une bijection de $K$ +ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$, +on peut supposer que $f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$. +Comme d'autre part cette fonction est majorée par $1$ en valeur +absolue, il nous suffit de montrer la convergence uniforme de +la somme +\[ +a_𝐀^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})} +|f^{\mathrm{arch}}(a_𝐀^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})| +\] +sur le compact $C^{\mathrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{x ∈ +Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x$. +(On note ici $λ^{\mathrm{ultr}}$ l'image de $λ$ +dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$ par le plongement diagonal.) +%$𝐑^{r_𝐑+2 r_𝐂}$. Tout compact de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ étant contenu dans -l'image de $𝒪$ par une homothétie de rapport dans $K$, -on peut de même supposer le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ contenu dans $𝒪$ +l'image de $𝒪_{K_𝐀}$ par une homothétie de rapport dans $K$, +on peut de même supposer [pas clair \XXX] le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ contenu dans $𝒪$ de sorte que $𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}$ est contenu dans $𝒪$. Or, on a vu en \ref{cocompacité} (ii) que le sous-groupe $K ∩ 𝒪 = 𝒪_K(…)$ est naturellement un réseau dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$. |