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path: root/chapitres
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-08-30 17:08:20 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-08-30 17:08:20 +0200
commit00f0d679a90f4b0661866076fd692dec477ed7c2 (patch)
tree949810a151c511cd3da112334e327d4c57965ede /chapitres
parent7ad2692eb75989139b24cbf55ea76b26f7d8a91f (diff)
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[Gröbner] Blabla général sur l'élimination algébrique.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex22
1 files changed, 22 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 16446ed..72d67d2 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1177,6 +1177,28 @@ en réduisant de nouveau par l'algorithme de division.
%
\subsection{Bases de Gröbner et élimination}
+\subsubsection{} Si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t \leq d$, l'idéal $J = I \cap
+k[Z_1,\ldots,Z_t]$ est appelé un \emph{idéal d'élimination} de $I$.
+Une interprétation intuitive de cette opération, justifiant le nom,
+consiste à imaginer que $I$ décrit un ensemble de relations
+algébriques entre les indéterminées $Z_1,\ldots,Z_d$ (relations
+engendrées par les relations données $f_1,\ldots,f_r$) et que l'idéal
+$J$ consiste en celles qui ne concernent que les $t$ premières
+indéterminées : trouver des générateurs de $J$ revient donc à
+« éliminer » les variables $Z_{t+1},\ldots,Z_d$ d'entre les équations
+$f_1{=}0,\ldots,f_r{=}0$, et trouver les meilleures relations
+possibles entre les $t$ variables restantes. (En admettant certains
+résultats de géométrie algébrique notamment le Nullstellensatz \XXX,
+lorsque $k$ est algébriquement clos, l'ensemble $\mathscr{Z}(J)$ des
+$t$-uplets $(z_1,\ldots,z_t)$ vérifiant les équations en question est
+simplement la \emph{projection} sur les $t$ premières coordonnées de
+l'ensemble $\mathscr{Z}(I)$ des $d$-uplets $(z_1,\ldots,z_d)$
+vérifiant $f_i(z_1,\ldots,z_d)=0$.) Ce problème de trouver des
+générateurs de $J$ est le problème fondamental de la théorie de
+l'élimination. Les bases de Gröbner fournissent un algorithme
+permettant de le résoudre :
+
\begin{proposition2}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I
\cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Alors on a $\initial_{\mathtt{lex}}(J) =