[LG] relecture majoration Bombieri

 ☡ j'ai toujours des doutes sur σ ↔ σ^{-1} dans les formules.
 (Bien distinguer la droite de la gauche lors d'une future relecture.))

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@@ -4684,8 +4684,11 @@ l'image cette application est l'ensemble $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre
 au-dessus de $x$ est exactement de cardinal $\deg(x)$.
 Il en résulte que l'entier $N_K(n)$ ci-dessus n'est autre
 que le cardinal de $X(k_n)$, où $k_n$ désigne une extension
-de $k$ de degré $n$ (unique à isomorphisme près).
-
+de $k$ de degré $n$ (unique à isomorphisme près) et que
+pour toute fonction $f ∈ K^×$, l'ensemble des places $φ ∈ X(\sur{k})$
+telles que $φ(f)=0$ est de cardinal au plus $\deg \div₀(f)$.
+Observons pour référence ultérieure que les $k$-automorphismes $σ$ de $K$
+agissent sur $X(k′)$ : $σ ⋅ φ = φ ∘ σ^{-1}$.
 
 \subsubsection{Extension du corps des constantes}
 \label{extension des scalaires pour Zêta}
@@ -5412,7 +5415,7 @@ fraction rationnelle de la forme $\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}$,
 où $P$ est un polynôme à coefficients entiers de degré $2g$ satisfaisant $P(0)=1$.
 Un tel polynôme se factorise de façon unique, à l'ordre des facteurs près,
 en un produit $P(T)=∏_{i=0}^{2 g_K} (1-α_i T)$ : les $α_i$ sont les
-inverses des racines de $P$ dans le corps $𝐂$ des complexes.
+inverses des racines de $P$ dans le corps $𝐂$ des nombres complexes.
 En identifiant la dérivée logarithmique de la fraction rationnelle $Z$
 avec l'expression établie en \ref{réécriture Zêta corps de fonctions},
 on trouve immédiatement le fait suivant.
@@ -5432,7 +5435,7 @@ De plus, l'ensemble des nombres $α$ est stable par $α↦ q/α$.
 Seul le complément est à vérifier.
 La stabilité par $α↦ q/α$ est conséquence de l'équation fonctionnelle
 $P(q^{-1}T^{-1})=q^{-χ/2}T^{-χ_K}P(T)$ (\ref{équation fonctionnelle
-zêta} (iii,b), qui entraîne la stabilité de l'ensemble des zéros de $P$
+zêta} (iii,b)), qui entraîne la stabilité de l'ensemble des zéros de $P$
 par $z↦ q^{-1}z^{-1}$.
 %Il en résulte également que $∏_i α_i = ∏_i q/α_i$ d'où
 %$∏_i α_i = ± q^g$. On laisse le soin au lecteur de vérifier
@@ -5476,7 +5479,7 @@ La réciproque est élémentaire (cf. \ref{} ci-dessous). \XXX
 
 Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et, 
 pour chaque entier $n ≥ 1$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$
-de degré $n$. On veut estimer la taille des ensembles $X(k_n)$
+de degré $n$. On veut estimer la taille — notée $N(n)$ ci-dessus — des ensembles $X(k_n)$
 définis en \ref{notation-Xk}.
 Il est tautologique que $X(k_n)$ s'identifie à l'ensemble
 $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ des points
@@ -5521,11 +5524,11 @@ effectif}).
 \begin{démo}
 Notons $ℒ_n$ l'ensemble $L(nx)$ des fonctions $f ∈ K$ telles que $\div(f) ≥ - n
 x$, et $l_n$ sa dimension sur $k$ (cf. \ref{Poisson implique RR}). D'après
-\ref{RR et croissance l}, la suite $(l_n)$ est croissante et $l_n ≤ l_{n-1}+1$.
+\ref{RR et croissance l}, la suite $(l_n)_{n ≥ 0}$ est lentement croissante :
+\mbox{$l_{n-1} ≤ l_n ≤ l_{n-1}+1$}.
 Notons $S$ l'ensemble des indices $n ∈ 𝐍$ pour lesquels $l_n=l_{n-1}+1$
 (« saut »), et choisissons pour chaque $s ∈ S$ une fonction $f_s ∈ ℒ_s - ℒ_{s-1}$.
-\commentaire{introduire notation $\div_∞$}
-On a donc $\div_∞(f_s)=sx$ et si $S_{≤ N}$ est l'ensemble des indices de sauts
+On a donc $\div(f_s)=-sx$ et si $S_{≤ N}$ est l'ensemble des indices de sauts
 inférieurs à un entier donné $N$, les fonctions $f_s$, pour $s ∈ S_{≤ N}$,
 forment une \emph{base} de $ℒ_N$. Appliquons ce qui précède aux entiers $N=q′-1$
 et $M=N+(2g+1)$. Vérifions le fait suivant :
@@ -5533,48 +5536,49 @@ et $M=N+(2g+1)$. Vérifions le fait suivant :
 \emph{les fonctions $f_s   {f_{t}}^{q′}$, pour $s ∈ S_{≤ N}$ et $t ∈ S_{≤ M}$, sont
 $k$-linéairement indépendantes.}
 \end{quote}
-Pour ce faire, il suffit de vérifier que les fonctions $f_s ∈ K$ sont linéairement
+Il suffit de vérifier que les fonctions $f_s ∈ K$ sont linéairement
 indépendantes sur $K′=K^{q′}$. Or, si $∑_s λ_s^{q′} f_s=0$, où les coefficients
-$λ_s$ sont non nuls, il existe deux indices $s₁ ≠ s₂ ∈ S_{≤ N}$ tels que $v_x( λ_{s₁}^{q′} f_{s₁})=v_x(λ_{s₂}^{q′}
+$λ_s$ sont non nuls et dans $K$, il existe deux indices distincts $s₁,s₂$
+dans $S_{≤ N}$ tels que $v_x( λ_{s₁}^{q′} f_{s₁})=v_x(λ_{s₂}^{q′}
 f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \mod q′$, ce qui
-est exclu car $s₁,s₂ ≤ N < q′$.  
+est exclu car $s₁$ et $s₂$ sont majorés par $N=q′ -1$.
 
 Il résulte de ce qui précède que le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{N,M}$ de $K$
 image de $ℒ_N ⊗_k ℒ_M^{q′}$ par l'application produit est de dimension $l_{N,M}=l_N ⋅l_M$.
-Par Riemann-Roch, on a la minoration
+Par le théorème de Riemann-Roch, on a donc la minoration
 \[
 l_{N,M} ≥ (N-g+1)(M-g+1)=(q′-g)(q′+g+1)=q+q′-g(g+1) .  
 \]
-\end{démo}
-Considérons d'autre part le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{M,N;g}$ de $K$
-image de $\big(ℒ_M ⊗_k σ^{-1}ℒ_N\big)^{q′}$ par l'application produit. 
-Il résulte de l'inclusion $ℒ_{M,N;g} ⊆ ℒ\big(Mx+Nq′g(x)\big)$, de l'inégalité
-$\deg(Mx+N q′ g(x))=q+2g>2g-2$ et du théorème de Riemann-Roch que l'on a la majoration
+Considérons d'autre part le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{M,N;σ}$ de $K$
+image de $ℒ_M ⊗_k \big(σℒ_N\big)^{q′}$ par l'application produit. 
+\commentaire{re-vérifier $σ ↔ σ^{-1}$…}
+Il résulte de l'inclusion $ℒ_{M,N;g} ⊆ ℒ\big(Mx+Nq′σ(x)\big)$, de l'inégalité
+$\deg(Mx+N q′ σ(x))=q+2g>2g-2$ et du théorème de Riemann-Roch que l'on a la majoration
 \[
-l_{M,N;g}=\dim_k ℒ_{M,N;g} ≤ (q+2g)-g+1=q+g+1.
+l_{M,N;σ}=\dim_k ℒ_{M,N;σ} ≤ (q+2g)-g+1=q+g+1.
 \]
-Comme $q′>(g+1)²$, on a $l_{N,M} > l_{M,N;g}$ si bien que l'application  
-$k$-linéaire $ℒ_{N,M} → ℒ_{M,N;g}$, envoyant $f_s f_{t}^{q′}$ sur $f_t (σ^{-1}f_s)^{q′}$
+Comme $q′>(g+1)²$, on a $l_{N,M} > l_{M,N;σ}$ si bien que l'application  
+$k$-linéaire $ℒ_{N,M} → ℒ_{M,N;σ}$, envoyant $f_s f_{t}^{q′}$ sur $f_t (σf_s)^{q′}$
 — « échange tordu du demi-Frobenius » — est de noyau non trivial.  
 Il existe donc des fonctions $h_s$ dans $ℒ_M$
 telles
 \[
 f ≔ ∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s^{q′}  f_s ≠ 0
 \]
+mais
 \[
-g=∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s (σ^{-1}f_s)^{q′}=0.
+F ≔ ∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s (σf_s)^{q′}=0.
 \]
 Soit $φ$ une $k$-place dans $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$
 non localisée en $x$ de sorte que $φ$ est défini sur les espaces $ℒ_n$.
-\commentaire{vérifier $σ$ ou $σ ^{-1}$...}
-Comme $φ(f_s)=φ(σ^{-1}f_s)^{q}$, on a
-$φ(f)=∑_s φ(h_s)^{q′} φ(σ^{-1}f_s)^q=φ(g)^{q′} =0$.
-D'après \ref{} \XXX, le cardinal de $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$
+Comme $φ(f_s)=φ(σf_s)^{q}$, on a
+$φ(f)=∑_s φ(h_s)^{q′} φ(σf_s)^q=φ(F)^{q′} =0$.
+D'après \ref{notation-Xk}, le cardinal de $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$
 est donc majoré par $\deg(\div₀(f))$.
 Comme $\deg(\div₀(f))=\deg(\div_∞(f))$ et $f ∈ ℒ_{N+q′ M}$,
 le cardinal recherché est donc inférieur ou égal
 à $1+(N+q′M)=(1+q)+(2g+1)q′-1$. CQFD. 
-
+\end{démo}
 		\[⁂\]
 
 Utiliser astuce $σ ∘ \Frob = \Frob ′$