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author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-02-21 15:19:26 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-02-21 15:19:26 +0100 |
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[LG] relecture majoration Bombieri
☡ j'ai toujours des doutes sur σ ↔ σ^{-1} dans les formules.
(Bien distinguer la droite de la gauche lors d'une future relecture.))
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-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 56 |
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 4aeb952..619e2cc 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4684,8 +4684,11 @@ l'image cette application est l'ensemble $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre au-dessus de $x$ est exactement de cardinal $\deg(x)$. Il en résulte que l'entier $N_K(n)$ ci-dessus n'est autre que le cardinal de $X(k_n)$, où $k_n$ désigne une extension -de $k$ de degré $n$ (unique à isomorphisme près). - +de $k$ de degré $n$ (unique à isomorphisme près) et que +pour toute fonction $f ∈ K^×$, l'ensemble des places $φ ∈ X(\sur{k})$ +telles que $φ(f)=0$ est de cardinal au plus $\deg \div₀(f)$. +Observons pour référence ultérieure que les $k$-automorphismes $σ$ de $K$ +agissent sur $X(k′)$ : $σ ⋅ φ = φ ∘ σ^{-1}$. \subsubsection{Extension du corps des constantes} \label{extension des scalaires pour Zêta} @@ -5412,7 +5415,7 @@ fraction rationnelle de la forme $\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}$, où $P$ est un polynôme à coefficients entiers de degré $2g$ satisfaisant $P(0)=1$. Un tel polynôme se factorise de façon unique, à l'ordre des facteurs près, en un produit $P(T)=∏_{i=0}^{2 g_K} (1-α_i T)$ : les $α_i$ sont les -inverses des racines de $P$ dans le corps $𝐂$ des complexes. +inverses des racines de $P$ dans le corps $𝐂$ des nombres complexes. En identifiant la dérivée logarithmique de la fraction rationnelle $Z$ avec l'expression établie en \ref{réécriture Zêta corps de fonctions}, on trouve immédiatement le fait suivant. @@ -5432,7 +5435,7 @@ De plus, l'ensemble des nombres $α$ est stable par $α↦ q/α$. Seul le complément est à vérifier. La stabilité par $α↦ q/α$ est conséquence de l'équation fonctionnelle $P(q^{-1}T^{-1})=q^{-χ/2}T^{-χ_K}P(T)$ (\ref{équation fonctionnelle -zêta} (iii,b), qui entraîne la stabilité de l'ensemble des zéros de $P$ +zêta} (iii,b)), qui entraîne la stabilité de l'ensemble des zéros de $P$ par $z↦ q^{-1}z^{-1}$. %Il en résulte également que $∏_i α_i = ∏_i q/α_i$ d'où %$∏_i α_i = ± q^g$. On laisse le soin au lecteur de vérifier @@ -5476,7 +5479,7 @@ La réciproque est élémentaire (cf. \ref{} ci-dessous). \XXX Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et, pour chaque entier $n ≥ 1$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$ -de degré $n$. On veut estimer la taille des ensembles $X(k_n)$ +de degré $n$. On veut estimer la taille — notée $N(n)$ ci-dessus — des ensembles $X(k_n)$ définis en \ref{notation-Xk}. Il est tautologique que $X(k_n)$ s'identifie à l'ensemble $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ des points @@ -5521,11 +5524,11 @@ effectif}). \begin{démo} Notons $ℒ_n$ l'ensemble $L(nx)$ des fonctions $f ∈ K$ telles que $\div(f) ≥ - n x$, et $l_n$ sa dimension sur $k$ (cf. \ref{Poisson implique RR}). D'après -\ref{RR et croissance l}, la suite $(l_n)$ est croissante et $l_n ≤ l_{n-1}+1$. +\ref{RR et croissance l}, la suite $(l_n)_{n ≥ 0}$ est lentement croissante : +\mbox{$l_{n-1} ≤ l_n ≤ l_{n-1}+1$}. Notons $S$ l'ensemble des indices $n ∈ 𝐍$ pour lesquels $l_n=l_{n-1}+1$ (« saut »), et choisissons pour chaque $s ∈ S$ une fonction $f_s ∈ ℒ_s - ℒ_{s-1}$. -\commentaire{introduire notation $\div_∞$} -On a donc $\div_∞(f_s)=sx$ et si $S_{≤ N}$ est l'ensemble des indices de sauts +On a donc $\div(f_s)=-sx$ et si $S_{≤ N}$ est l'ensemble des indices de sauts inférieurs à un entier donné $N$, les fonctions $f_s$, pour $s ∈ S_{≤ N}$, forment une \emph{base} de $ℒ_N$. Appliquons ce qui précède aux entiers $N=q′-1$ et $M=N+(2g+1)$. Vérifions le fait suivant : @@ -5533,48 +5536,49 @@ et $M=N+(2g+1)$. Vérifions le fait suivant : \emph{les fonctions $f_s {f_{t}}^{q′}$, pour $s ∈ S_{≤ N}$ et $t ∈ S_{≤ M}$, sont $k$-linéairement indépendantes.} \end{quote} -Pour ce faire, il suffit de vérifier que les fonctions $f_s ∈ K$ sont linéairement +Il suffit de vérifier que les fonctions $f_s ∈ K$ sont linéairement indépendantes sur $K′=K^{q′}$. Or, si $∑_s λ_s^{q′} f_s=0$, où les coefficients -$λ_s$ sont non nuls, il existe deux indices $s₁ ≠ s₂ ∈ S_{≤ N}$ tels que $v_x( λ_{s₁}^{q′} f_{s₁})=v_x(λ_{s₂}^{q′} +$λ_s$ sont non nuls et dans $K$, il existe deux indices distincts $s₁,s₂$ +dans $S_{≤ N}$ tels que $v_x( λ_{s₁}^{q′} f_{s₁})=v_x(λ_{s₂}^{q′} f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \mod q′$, ce qui -est exclu car $s₁,s₂ ≤ N < q′$. +est exclu car $s₁$ et $s₂$ sont majorés par $N=q′ -1$. Il résulte de ce qui précède que le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{N,M}$ de $K$ image de $ℒ_N ⊗_k ℒ_M^{q′}$ par l'application produit est de dimension $l_{N,M}=l_N ⋅l_M$. -Par Riemann-Roch, on a la minoration +Par le théorème de Riemann-Roch, on a donc la minoration \[ l_{N,M} ≥ (N-g+1)(M-g+1)=(q′-g)(q′+g+1)=q+q′-g(g+1) . \] -\end{démo} -Considérons d'autre part le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{M,N;g}$ de $K$ -image de $\big(ℒ_M ⊗_k σ^{-1}ℒ_N\big)^{q′}$ par l'application produit. -Il résulte de l'inclusion $ℒ_{M,N;g} ⊆ ℒ\big(Mx+Nq′g(x)\big)$, de l'inégalité -$\deg(Mx+N q′ g(x))=q+2g>2g-2$ et du théorème de Riemann-Roch que l'on a la majoration +Considérons d'autre part le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{M,N;σ}$ de $K$ +image de $ℒ_M ⊗_k \big(σℒ_N\big)^{q′}$ par l'application produit. +\commentaire{re-vérifier $σ ↔ σ^{-1}$…} +Il résulte de l'inclusion $ℒ_{M,N;g} ⊆ ℒ\big(Mx+Nq′σ(x)\big)$, de l'inégalité +$\deg(Mx+N q′ σ(x))=q+2g>2g-2$ et du théorème de Riemann-Roch que l'on a la majoration \[ -l_{M,N;g}=\dim_k ℒ_{M,N;g} ≤ (q+2g)-g+1=q+g+1. +l_{M,N;σ}=\dim_k ℒ_{M,N;σ} ≤ (q+2g)-g+1=q+g+1. \] -Comme $q′>(g+1)²$, on a $l_{N,M} > l_{M,N;g}$ si bien que l'application -$k$-linéaire $ℒ_{N,M} → ℒ_{M,N;g}$, envoyant $f_s f_{t}^{q′}$ sur $f_t (σ^{-1}f_s)^{q′}$ +Comme $q′>(g+1)²$, on a $l_{N,M} > l_{M,N;σ}$ si bien que l'application +$k$-linéaire $ℒ_{N,M} → ℒ_{M,N;σ}$, envoyant $f_s f_{t}^{q′}$ sur $f_t (σf_s)^{q′}$ — « échange tordu du demi-Frobenius » — est de noyau non trivial. Il existe donc des fonctions $h_s$ dans $ℒ_M$ telles \[ f ≔ ∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s^{q′} f_s ≠ 0 \] +mais \[ -g=∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s (σ^{-1}f_s)^{q′}=0. +F ≔ ∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s (σf_s)^{q′}=0. \] Soit $φ$ une $k$-place dans $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$ non localisée en $x$ de sorte que $φ$ est défini sur les espaces $ℒ_n$. -\commentaire{vérifier $σ$ ou $σ ^{-1}$...} -Comme $φ(f_s)=φ(σ^{-1}f_s)^{q}$, on a -$φ(f)=∑_s φ(h_s)^{q′} φ(σ^{-1}f_s)^q=φ(g)^{q′} =0$. -D'après \ref{} \XXX, le cardinal de $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$ +Comme $φ(f_s)=φ(σf_s)^{q}$, on a +$φ(f)=∑_s φ(h_s)^{q′} φ(σf_s)^q=φ(F)^{q′} =0$. +D'après \ref{notation-Xk}, le cardinal de $\Fix \big(σ^{-1}\Frob_k | X(\sur{k})\big)$ est donc majoré par $\deg(\div₀(f))$. Comme $\deg(\div₀(f))=\deg(\div_∞(f))$ et $f ∈ ℒ_{N+q′ M}$, le cardinal recherché est donc inférieur ou égal à $1+(N+q′M)=(1+q)+(2g+1)q′-1$. CQFD. - +\end{démo} \[⁂\] Utiliser astuce $σ ∘ \Frob = \Frob ′$ |