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path: root/chapitres
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-11-25 13:53:23 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-11-25 13:53:23 +0100
commit01257a2de28f0bddb8575792af8eb7bfd477014f (patch)
treea12a2f18363eb3c8e7b0b4cdbd3c4bdf277759e5 /chapitres
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Merge git.madore.org:galois
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex48
1 files changed, 27 insertions, 21 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index e942c27..4c8dfa8 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -23,7 +23,7 @@
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{calc}
-\tikzset{column sep=3em,row sep=2em,text height=1.5ex, text depth=0.25ex,>=angle 90}
+\tikzset{column sep=3em,row sep=2em,text height=1.5ex, text depth=0.25ex}
\tikzset{description/.style={fill=white,inner sep=1pt}}
\def\russe#1{\foreignlanguage{russian}{#1}}
@@ -1821,6 +1821,8 @@ envoyant $K$ sur $L$.
Le morphisme $𝐀_K → 𝐀_L$ correspondant
est $(a_x)↦ (b_y)$ où pour $y↦ x$, $b_y=a_x$
et $A_K^n ⥲ A_L$ étend $K^n ⥲ L$ etc. \XXX
+Dans le cas étale, toute forme $𝐀_K$-linéaire
+$𝐀_L → 𝐀_K$ est de la forme $\Tr_{𝐀_L \bo 𝐀_K} ∘ [× a]$.
\end{proposition2}
(Pas d'hypothèse de séparabilité.)
@@ -2386,26 +2388,30 @@ est un isomorphisme et $K$ est orthogonal à lui-même.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Soit $K₀$ un sous-corps de $K$ isomorphe à $𝐐$ ou un corps $𝐤=𝐅_p(t)$
-($p>0$) tel que l'extension $K \bo K₀$ soit étale (\ref{toute courbe est revêtement ramifié de P1}).
-Si $ψ_{K₀}$ est un caractère additif non trivial de $𝐀_{K₀}$
-(resp. et trivial sur $K₀$), il résulte de \ref{adèles et cb}
-que le caractère $ψ_{K₀} ∘ \Tr_{𝐀_K \bo 𝐀_{K₀}}$ est également
-non trivial (resp. et trivial sur $K$).
-La conclusion résulte alors \XXX de la commutativité
-du diagramme
-\begin{center}
-\begin{tikzpicture}[auto]
-\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
-𝐀_{K} & \chap{𝐀_{K}} \\ 𝐀_{K₀}^n & \chap{𝐀_{K₀}}^n \\};
-\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
-\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
-\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
-\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
-\end{tikzpicture}
-\end{center}
-et du fait que $\Tr(aK)=\Tr(a)K₀$ et $\Tr(a) ∈ K₀$
-implique $a ∈ K$. \XXX
+Si $K$ est $𝐐$ ou un corps $𝐤=𝐅_p(t)$ ($p>0$), cela résulte
+de ce qui précède. Montrons que maintenant que le théorème
+il est vrai pour tout corps $L$ étale sur un corps $K$
+comme précédemment.
+D'après \ref{toute courbe est revêtement ramifié de P1},
+cela permettra de conclure.
+Si $ψ_{K}$ est un caractère additif non trivial de $𝐀_{K}$
+(resp. et trivial sur $K$), il résulte de \ref{adèles et cb}
+que le caractère $ψ_L=ψ_{K} ∘ \Tr_{𝐀_L \bo 𝐀_{K}}$ est également
+non trivial (resp. et trivial sur $L$).
+Si $ψ_L(a 𝐀_L)=\{1\}$, et $a_x ≠ 0$ ($x$ place de $K$)
+on a $ψ_{K,x}(K_x)=\{1\}$ (car $\Tr_{L_x \bo
+K_x}(L_x)=K_x$), ce qui est absurde. (Cf. calculs
+explicites ci-dessus : le niveau des $ψ_{K,x}$ est fini.)
+Ainsi $a=0$ et $A_L → \chap{A_L}$ est donc injective.
+La surjectivité résulte formellement du fait
+que $𝐀_L = 𝐀_K^n$ (car si l'on note $b↦ (b₁,…,b_n)$
+cet isomorphisme, il existe des $a_i$ dans $𝐀_K$
+tels que $ψ(b)=ψ_K(⟨a,(b₁,…,b_n⟩)$) et que toute forme $𝐀_K$-linéaire
+$𝐀_L → 𝐀_K$ est de la forme $\Tr_{𝐀_L \bo 𝐀_K} ∘ [× a]$.
+Orthogonalité : il existe pour chaque $i$, un $l_i
+∈ L$ tel que $\Tr(a l_i K)=a_i K$. En conséquence,
+si $ψ_K ∘ \Tr (aL)=\{1\}$, on a $ψ_K(a_iK)=\{1\}$
+d'où $a_i ∈ K$ et finalement, $a ∈ L$.
\end{démo}
\subsubsection{Fourier sur $A_K$}