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path: root/chapitres
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-08-30 18:54:35 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-08-30 18:54:35 +0200
commit099be62506644b2a7caff0398063b2990c444a83 (patch)
tree452866d924d35f28974b9fc2a6d1bc3b4e10ebab /chapitres
parent8155e4544f89d0bd15570f4e981b69891b320933 (diff)
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[Gröbner] Factorisation d'un bout de démonstration.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex22
1 files changed, 8 insertions, 14 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 0cb44ab..9709329 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -561,20 +561,14 @@ pourtant le cas :
Dans les conditions ci-dessus, on a $I = (f_1,\ldots,f_r)$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
-On a $I \supseteq (f_1,\ldots,f_r)$ puisque les $f_i$ sont supposés
-dans $I$. Supposons maintenant qu'il n'y ait pas égalité. Soit $h
-\in I$ un polynôme avec le monôme dans $\initial(h)$ le plus petit
-possible (pour $\preceq$) tel que $h \not\in (f_1,\ldots,f_r)$.
-Puisque $\initial(h) \in \initial(I)$, on peut écrire $\initial(h) = g_1
-\initial(f_1) + \cdots + g_r \initial(f_r)$ par l'hypothèse faite sur
-les $f_i$ (pour certains $g_1,\ldots,g_r$).
-D'après \ref{divisibilite-des-monomes}, ceci montre que $\initial(h) = c s
-\initial(f_i)$ pour un certain monôme $s$ et $c$ une constante. On a
-alors $s f_i \in I$, et $\initial(c s f_i) = c s \initial(f_i) = \initial(h)$,
-donc $h - c s f_i$, qui appartient à $I$, a un terme initial de monôme
-strictement plus petit que $h$, donc par minimalité de ce dernier, $h
-- c s f_i \in (f_1,\ldots,f_r)$. Mais alors $h \in (f_1,\ldots,f_r)$,
-une contradiction.
+On a $(f_1,\ldots,f_r) \subseteq I$ puisque les $f_i$ sont supposés
+dans $I$. D'après \ref{inclusion-ideaux-et-egalite-ideaux-initiaux},
+il suffit de montrer que $\initial(J) = \initial(I)$ où $J =
+(f_1,\ldots,f_r)$. On sait que $\initial(J) \subseteq \initial(I)$ ;
+mais réciproquement, si $h \in I$, par hypothèse sur les $f_i$ on peut
+écrire $\initial(h) = g_1 \initial(f_1) + \cdots + g_r \initial(f_r)$,
+donc $\initial(h) \in J$ et ainsi $\initial(h) \in \initial(J)$ : ceci
+montre bien $\initial(J) = \initial(I)$.
\end{proof}
\begin{proposition2}\label{existence-bases-de-groebner}