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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-25 00:20:55 +0100
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[locaux-globaux] clarification (imparfaite) sur les mesures + copié-collé + suite plan
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index f82ef32..26d3ff3 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -64,7 +64,7 @@ non discrète qui en fait un corps topologique localement compact.
Dans cette section, on fixe un $K$ un corps local.
Lorsque $K$ est non-archimédien, on note $𝒪$
-son anneau des entiers, d'idéal maximal $𝔪$,
+son anneau des entiers, d'idéal maximal $𝔪=(ϖ)$,
et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$
le cardinal.
@@ -76,7 +76,6 @@ valeur absolue normalisée.
Compatibilité avec la norme $N_{L\bo K}$.
\end{proposition2}
-
\begin{proposition2}
Soit $μ$ mesure de Haar et $a ∈ K^×$. Alors $[a]^*μ=|a| μ$.
\end{proposition2}
@@ -185,6 +184,7 @@ fonction sur $\chap{K}$.
\end{remarques2}
\begin{proposition2}
+\label{Fourier et mesure locaux}
\begin{enumerate}
\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
\item Il existe une constante $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
@@ -245,6 +245,15 @@ de Haar sur le groupe multiplicatif de $K$ telle que
le compact $𝒪^×=𝒪-𝔪$ soit de mesure un.
\begin{lemme2}
+Si $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ est l'unique mesure de Haar sur
+le groupe additif de $K$ telle que le compact $𝒪$ soit de
+mesure un, on a :
+\[
+μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×}.
+\]
+\end{lemme2}
+
+\begin{lemme2}
Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$.
\end{lemme2}
@@ -254,6 +263,9 @@ dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose
ζ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}}
\]
+Exemple. $f=1_{𝒪^×}$ et $χ$ non ramifié,
+$ζ(s,χ,f)=\frac{1}{1-χ(ϖ)q^{-s}}$.
+
\begin{proposition2}
Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$.
Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que,
@@ -367,6 +379,8 @@ Description de la topologie.
$[a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
\end{proposition2}
+$μ_{\japmath{玉}}$.
+
\begin{proposition2}
\label{adèles et cb}
$L\bo K$ finie.
@@ -455,7 +469,7 @@ repose sur RR.
corollaire :
-\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
+\begin{théorème2}
Sous l'hypothèse de (ii),
\[
𝒪_U^× ≃ 𝐙^r ⊕ (\text{groupe fini}),
@@ -463,16 +477,183 @@ Sous l'hypothèse de (ii),
où $r=♯U-1$.
\end{théorème2}
-Dans le cas des corps de fonctions, c'est un théorème de
-F.K Schmidt : $𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $♯S-1$.
-Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] pour
-démonstrations non adéliques.
\begin{démo}
Point clef : si $𝐑^n/Γ$ est compact et $Γ$ discret,
alors $Γ$ est un réseau.
\end{démo}
+En particulier :
+
+\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
+\XXX
+Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
+$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
+Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
+est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
+\end{théorème2}
+
+\subsection{Théorème des unités de Dirichlet : démonstration directe}
+\XXX
+
+Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude)
+de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin
+Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.
+
+Commençons par observer le fait suivant :
+
+\begin{lemme2}
+\XXX
+Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
+$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
+est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
+engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
+$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
+Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$
+consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base
+par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base
+du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
+à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+\XXX
+Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}}$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
+$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
+\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$.
+Le morphisme
+$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
+est de la forme
+$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
+\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
+\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
+Passer de la matrice ayant ces colonnes à
+$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
+La formule en résulte.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃ \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
+Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
+et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
+un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
+$$
+\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
+$$
+Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
+\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
+
+
+Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
+est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
+= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
+Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
+$$
+\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
+$$
+Cela résulte de l'égalité
+$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
+jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
+des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
+(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc
+l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
+le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
+des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.
+
+Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$
+de toute partie bornée est \emph{finie}.
+Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement
+$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
+bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
+est bornée.
+Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
+sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
+Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
+du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
+il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
+pour $e\in 𝒪_K$.
+
+Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
+tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
+de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.
+
+Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.
+
+Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.
+
+\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien]
+Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$
+tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
+\end{quote}
+
+Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.
+
+\begin{quote}
+Il existe une constante $\mu_K$
+telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant :
+$$\left\{ \begin{array}{l}
+\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
+\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
+\end{array}\right.$$
+\end{quote}
+
+Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs
+satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
+Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
+$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
+\CC^{r_\CC},\
+\left\{ \begin{array}{l}
+|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
+|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
+\end{array}\right.\}
+$$
+(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)
+
+On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
+le produit est muni de la mesure produit.
+L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
+fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
+à l'origine et convexe. Son volume est
+$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
+Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
+$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
+\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
+À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
+$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
+\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
+Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
+ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
+conditions du lemme.
+
+Démontrons le «~lemme chinois~».
+Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu
+du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
+normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
+strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
+$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
+une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.
+
+\begin{quote}
+Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
+ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
+sur une ligne soit nulle.
+Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
+\end{quote}
+
+\begin{remarque2}
+Dans le cas des corps de fonctions, c'est un théorème de
+F.K Schmidt : $𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $♯S-1$.
+Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] pour démonstrations non adéliques.
+\end{remarque2}
+
\subsection{Groupes de Picard}
\subsubsection{}On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme
@@ -480,7 +661,7 @@ $\Coker(K^× → ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙)$, envoyant $a ∈ K^×$ sur $(v(a))_{v
Comme $I_K/𝒦=⨁_{v ∤ ∞} K_v^×/𝒪_v^× ⥲ ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙$, on a un
isomorphisme canonique
\[
-C_K/\sur{𝒦} ⥲ \Pic_K$
+C_K/\sur{𝒦} ⥲ \Pic_K
\]
où $\sur{𝒦}$ désigne l'image de $𝒦$ dans $C_K$. [notations à changer ? \XXX]
@@ -566,6 +747,7 @@ $N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
\subsubsection{caractères additifs ; caractères de Hecke}
\begin{théorème2}
+\label{Pontrâgin pour adèles}
\begin{enumerate}
\item $K ⥲ \chap{A_K / K}$.
\item $A_K ⥲ \chap{A_K}$.
@@ -581,16 +763,24 @@ Cf. [Saitô] p. 245 ou [Weil, Adèles] II.2.1.1
\begin{théorème2}
\XXX
-Pour $f ∈ 𝒮(A_K)$,
+Soit $ψ=(ψ_v)$ un caractère non trivial de $A_K/K$.
+\begin{enumerate}
+\item Soit $μ_ψ$ la mesure sur $A_K$ associées
+aux mesures auto-duales $μ_{ψ_v}$. Alors, $μ_ψ(A_K/K)=1$.
+\item Pour $f ∈ 𝒮(A_K)$,
\[
-∑_{x ∈ K} f(x)=μ(A_K/K)^{-1} ⋅ ∑_{x ∈ K} ℱ(f)(x).
+∑_{x ∈ K} f(x)=∑_{x ∈ K} ℱ_ψ(f)(x).
\]
+\end{enumerate}
\end{théorème2}
-Cf. Goldstein, p. 150.
-☡ Tout le problème est dans le choix de $μ$ et de $ψ$.
-Pour un « bon » choix, on a $μ=1$.
+En particulier $μ_ψ$ ne dépend pas de $ψ$ ; on la notera
+$μ_{\mathrm{auto}}$. (Par opposition à la mesure de Tamagawa
+$μ_{\japmath{玉}}$.)
+Cela est lié à l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux},
+\ref{Pontrâgin} (i) et la formule du produit.
+Cf. Goldstein, p. 150.
\subsection{Théorème de Riemann-Roch}
@@ -603,7 +793,17 @@ alors le volume de $A_K \bo K$ est : $|𝔡_K|^½$ dans le cas des corps de nom
$q^{g-1}$ dans le cas des corps de fonctions.
\end{théorème2}
+Cf. p. ex. [Weil, Adèles].
+\begin{théorème2}
+Si $K$ est un corps de nombres, le volume de $I¹_K/K^×$ est
+\[
+\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} h R}{√{|D|}w}.
+\]
+sinon [...]
+\end{théorème2}
+
+Cf. [Bump], p. 268.
\section{Fonctions zêta}
@@ -625,6 +825,7 @@ Si $K$ est un corps de nombre, $ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}=∑_{𝔞 ⊆
où $Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$.
\item[fonctions]
\[\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s).\]
+\end{itemize}
\end{définition2}
\begin{exemples2}
@@ -639,9 +840,10 @@ Objectif.
\begin{théorème2}
Converge absolument pour $\Re(s)>1$.
-Prolongement méromorphe/fraction rationnelle en … si corps de
-fonctions. Équation fonctionnelle : $\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s)$
-avec résidu en $1$=….
+Prolongement méromorphe à $𝐂$ ayant un pôle simple en $1$
+et $0$ uniquement. Si $K$ est un corps de fonction,
+$ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
+∈ 𝐙[t]$. Équation fonctionnelle : $\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s)$ avec résidu en $1$=….
\end{théorème2}
Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}).
@@ -743,203 +945,25 @@ Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul.
\subsection{$ζ(s,χ,f)$}
-
-
-\subsection{Fonctions $L$ de Hecke}
-
-
-\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$}
-
- \[⁂\]
-
-\begin{lemme2}
-\XXX
-Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}}$.
-\end{lemme2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
-Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
-$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
-\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$.
-Le morphisme
-$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
-est de la forme
-$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
-\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
-\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
-Passer de la matrice ayant ces colonnes à
-$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
-La formule en résulte.
-\end{démo}
-
\begin{théorème2}
-\XXX
-Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente.
+Théorème de (Iwasawa?)-Tate.
\end{théorème2}
-☡ [probablement à déplacer]
+Cf. p. ex. [Bump], p. 267.
+\subsection{Fonctions $L$ de Hecke}
\begin{théorème2}
-Cas d'un corps de fonctions :
-\[
-ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}
-\]
-pôle simple en $1$ (et $0$).
-\end{théorème2}
-
-\begin{démo}
-Cf. [Rosen] chap. 5. Utilise Riemann-Roch.
-Voir aussi [Katô-Saitô], chap. 7.
-\end{démo}
-
-\subsection{Théorème des unités}
-
-Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude)
-de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin
-Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.
-
-\begin{lemme2}
-\XXX
-Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
-$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
-est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
-engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
-\end{lemme2}
-
-\begin{proof}
-\XXX
-On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
-$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
-Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$
-consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base
-par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base
-du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
-à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}.
-\end{proof}
-
-\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
-\XXX
-Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
-$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
-Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
-est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
+Théorème de Hecke.
\end{théorème2}
-\begin{proof}
-\XXX
-\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃ \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
-Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
-et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
-un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
-$$
-\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
-$$
-Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
-\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
-
-
-Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
-est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
-= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
-Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
-$$
-\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
-$$
-Cela résulte de l'égalité
-$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
-jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
-des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
-(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc
-l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
-le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
-des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.
-
-Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$
-de toute partie bornée est \emph{finie}.
-Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement
-$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
-bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
-est bornée.
-Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
-sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
-Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
-du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
-il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
-pour $e\in 𝒪_K$.
-
-Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
-tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
-de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.
-
-Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.
-
-Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.
-
-\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien]
-Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$
-tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
-\end{quote}
-
-Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.
-
-\begin{quote}
-Il existe une constante $\mu_K$
-telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant :
-$$\left\{ \begin{array}{l}
-\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
-\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
-\end{array}\right.$$
-\end{quote}
-
-Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs
-satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
-Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
-$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
-\CC^{r_\CC},\
-\left\{ \begin{array}{l}
-|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
-|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
-\end{array}\right.\}
-$$
-(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)
-
-On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
-le produit est muni de la mesure produit.
-L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
-fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
-à l'origine et convexe. Son volume est
-$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
-Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
-$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
-\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
-À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
-$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
-\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
-Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
-ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
-conditions du lemme.
-
-Démontrons le «~lemme chinois~».
-Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu
-du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
-normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
-strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
-$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
-une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.
-
-\begin{quote}
-Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
-ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
-sur une ligne soit nulle.
-Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
-\end{quote}
-\end{proof}
+Cf. p. ex. [Bump], p. 270.
+\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$}
-\section{Théorème de Minkowski et une application}
+\section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications}
+\subsection{Le théorème de Minkowski}
Notation : $K ⊗_𝐐 𝐑 ≃ 𝐑^{r_𝐑(K)}×𝐂^{r_𝐂(K)}$. On note $K_𝐑$ la
$𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.
@@ -1013,12 +1037,18 @@ $$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{
comme annoncé.
\end{démo}
-\subsection{Caractéristique $p>0$}
+\subsection{Le théorème de Riemann-Hurwitz}
\begin{théorème2}
+Riemann-Hurwitz.
+\end{théorème2}
+
+(Cf. Lang.)
+
+\begin{corollaire2}
\XXX
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée.
-\end{théorème2}
+\end{corollaire2}
\subsection{Un théorème de Selmer}