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path: root/chapitres
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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-06-08 22:41:29 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-06-08 22:41:29 +0200
commit0b4199f4b7847565483cf3def3dc9ae7ce59c52f (patch)
treebc3d9438be3d1a3cd43b45e9c325b5d66e574ded /chapitres
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[LG] reprise des sorites sur corps *globaux* (toudou)
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex75
1 files changed, 51 insertions, 24 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 3819dc2..a203804 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -705,14 +705,15 @@ satisfait les mêmes conditions. (Que $𝐅_p((t^p))$ soit fermé dans $𝐅_p
résulte par exemple du fait que la dérivation par rapport à $t$
est continue pour la topologie $(t)$-adique et de noyau $𝐅_p((t^p))$.)
- \[⁂\]
-
-\subsubsection{}Soit $K ↪ L$ une injection continue de corps
-topologiques. Si $K$ est local et $L\bo K$ finie, $L$ est
-également un corps local. Réciproquement, toute extension
-finie d'un corps local peut être munie d'une unique topologie en
-faisant un corps local. [mal dit] \XXX
-
+\subsubsection{}
+\label{extension finie corps local est local}
+Soit $L\bo K$ une extension finie de corps.
+Si $K$ est un corps local, $L$ peut être muni d'une
+topologie qui en fait un corps local ; elle est unique
+et $K$ est fermé dans $L$.
+Cela résulte de \refext{AVD-D}{EVT sur corps valué
+complet}. (Notons que $L$ est non discret
+car son sous-corps $K$ ne l'est pas.)
\subsection{Mesure de Tamagawa locales}
\label{mesures Tamagawa locales}
@@ -1643,24 +1644,50 @@ que de $y$ et que nous noterons $x$.
D'après \refext{AVD-Dedekind}{finitude préservée par complétion},
l'injection $K ↪ L$ induit une injection $K_x ↪ L_y$,
faisant de $L_y$ une \emph{extension finie} de $K_x$.
+Si $K_x$ est un corps local, il en est de même de $L_y$
+(\ref{extension finie corps local est local}).
+Or, on a vu ci-dessus que si $K=𝐐$ ou $K=𝐅_p(t)$,
+chaque $K_x$, $x ∈ Σ(K)$ est un corps local.
+Ainsi, les $L_y$ sont locaux dès lors que $L$ est un corps
+global.
+
+\begin{proposition2}
+Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$.
+Il existe un élément $t ∈ K$ tel que l'extension
+$K\bo 𝐅_p(t)$ soit finie séparable.
+\end{proposition2}
-[C'est un fait général qu'il faudrait mettre dans loc. cit.,
-ainsi d'ailleurs que les définitions de $Σ(K)$, les sorites
-qui vont avec etc. \XXX]
-
-Considérons maintenant un corps global $L$ quelconque.
-Il existe un sous-corps $K$ de $L$
-isomorphe à $𝐐$ ou à $𝐅_p(t)$ (pour un nombre premier $p$)
-tel que l'extension $L\bo K$ soit finie.
-Si $L$ est un corps de nombres algébriques, c'est évident ;
-si c'est un corps de fonctions, cela résulte de \refext{}{}.
-Notons que l'on peut même supposer l'extension
-\emph{séparable} (cf. \refext{}{}).
-D'après l'observation précédente, chaque complété $L_y$
-de $L$ est une extension finie d'un complété de $K$ (en tant
-que corps muni d'une valeur absolue). On a vu ci-dessus
-que les complétés de $K$ sont des corps locaux $𝐐_p$ ou $𝐅_p((t))$.
+\begin{démo}
+Première démonstration : cf. \refext{Rad}{}.
+
+Seconde démonstration, cf. Weil, p 48.
+\end{démo}
+\subsubsection{}Un corps global est donc une extension finie
+étale d'un \textbf{corps global premier}, un tel corps
+étant par convention égal à $𝐐$ ou isomorphe à un corps
+de fractions rationnelles $𝐅_p(t)$. L'étude des corps
+globaux procède souvent par réduction au cas des corps
+globaux premiers. (Cf. \ref{Kx sont locaux} pour un premier
+exemple.)
+
+\begin{proposition2}
+Soit $K$ un corps global. L'ensemble $Σ_a(K)$ est
+\emph{fini}.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $K$ un corps local et soit $f ∈ K$.
+Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $|f|_x ≤ 1$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
\ \[⁂\]