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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-06-08 22:08:13 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-06-08 22:08:13 +0200
commit0c24cc4e4a9a2b2b5435aba613dc65f7e41bef13 (patch)
treea446023fe9636cbda490d1b5a246a5e440c87a1d /chapitres
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[LG] suppression structure EVT dimension finie sur corps localement compacts
il semblerait que le cas particulier plus facile (et a posteriori général) où le corps de base est *valué* suffise. → Pourquoi Weil s'emm****-t-il ?
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex58
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 38a83d9..756b40c 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -707,64 +707,6 @@ est continue pour la topologie $(t)$-adique et de noyau $𝐅_p((t^p))$.)
\[⁂\]
-
-\begin{théorème2}
-\label{EVT sur corps localement compact}
-Soit $E$ un $K$-espace vectoriel topologique et soit $F$
-un sous-espace vectoriel de dimension finie $n$.
-Pour toute base $v₁,…,v_n$ de $F$, l'application
-$f:K^n → F$, $(λ_i) ↦ ∑_i λ_i v_i$, est un
-isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques.
-Le sous-espace $F$ est fermé dans $V$ et localement
-compact.
-\end{théorème2}
-
-\begin{démo}
-Montrons le premier énoncé.
-Seule la continuité de l'application linéaire $f^{-1}$ est
-non triviale ; cela revient à montrer que $f$ est une
-application \emph{ouverte}. Il suffit
-de vérifier que pour chaque réel $r>0$, $f(B_r^n)$
-contient un voisinage ouvert de $0$ dans $F$.
-Soit $S_∞$ l'ensemble des $(λ_i) ∈ K^n$
-tels que $\max_i \mod_K(λ_i)=1$ ; on a l'inclusion
-triviale $S_∞ ⊆ B_1^n$. Par continuité de $\mod_K$,
-$S_∞$ est fermé ; c'est un compact par \ref{compacité des Br}.
-Comme $f(S_∞)$ ne contient pas l'origine de $E$ et est
-compact donc fermé, il existe un voisinage ouvert $W$ de $E$
-et un voisinage de $0$ dans $K$, que l'on peut supposer
-être égal à un $B_ε$ ($ε>0$), tels que $B_ε W ⊆ E - f(S_∞)$.
-Ou encore : $λ w ∉ f(S_∞)$ lorsque $\mod_K(λ) ≤ ε$ et $w ∈ W$.
-Soit $r>0$ et soit $μ ∈ B_{r ε}-\{0\}$.
-Montrons que $f(B_r^n)$ contient $F ∩ μ W$ ; ceci
-achèvera la première partie de la démonstration.
-Considérons donc $v=∑_i λ_i v_i$ dans $μ W$ et un indice $j$
-tel que $\mod_K(λ_j)$ soit maximal. Le vecteur $λ_j^{-1}v$
-appartient à $f(S_∞)$ et à $(λ_j^{-1}μ)W$. D'après ce qui
-précède, on a nécessairement $\mod_K(λ_j^{-1}μ)> ε$,
-donc $\mod_K(λ_j)<\mod_K(μ) ε^{-1} ≤ r$. CQFD.
-
-Il résulte de ce qui précède que si $E$ est de dimension
-finie, tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est fermé :
-si $n ≤ m$, l'ensemble des $(λ₁,…,λ_n,0,…,0)$ est fermé
-dans $K^m$. Si $E$ est de dimension infinie, $F$ de dimension finie
-et $v$ appartient à l'adhérence de $F$ dans $F$,
-l'espace vectoriel $F+Kv$ est de dimension finie.
-Son sous-espace vectoriel $F$ est donc fermé
-et $v ∈ F$ : $F$ est donc fermé dans $E$.
-Enfin, un produit fini d'espaces localement
-compacts est localement compact.
-\end{démo}
-
-Il résulte du théorème précédent qu'un $K$-espace vectoriel
-de dimension fini ne peut être muni que d'un seule structure
-d'espace vectoriel topologique.
-
-\subsubsection{}[...]
-
-
- \[⁂\]
-
\subsubsection{}Soit $K ↪ L$ une injection continue de corps
topologiques. Si $K$ est local et $L\bo K$ finie, $L$ est
également un corps local. Réciproquement, toute extension