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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-04-07 16:21:03 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-04-07 16:21:03 +0200
commit0d96aabbc094d5ffb6ff82bb8b8e3ba1fb50f903 (patch)
treea7c9da341bc85038def943ed20cef252a9bfcc11 /chapitres
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[calculs] Correction d'une erreur + remarques sur cette erreur.
Ceci étant, je ne comprends toujours pas bien ce qui se passe...
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex71
1 files changed, 48 insertions, 23 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index e400add..6e1bbdd 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -961,9 +961,9 @@ polynôme comme proposé.
\begin{proposition2}\label{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable}
Soit $f \in K[X]$ un polynôme de degré $d$ à coefficients dans un
corps $K$, irréductible dans $K[X]$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$
-les racines comptées avec multiplicité dans un corps de rupture $L$.
-Alors, pour $\mathfrak{G}$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$, les
-affirmations suivantes sont équivalentes :
+les racines comptées avec multiplicité dans un corps de
+décomposition $L$. Alors, pour $\mathfrak{G}$ un sous-groupe de
+$\mathfrak{S}_d$, les affirmations suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant
par $\mathfrak{G}$ (c'est-à-dire tel que
@@ -972,32 +972,57 @@ affirmations suivantes sont équivalentes :
\item pour toute fraction rationnelle $R \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$
invariante par $\mathfrak{G}$ (c'est-à-dire telle que
$R(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = R(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que
- $\sigma\in \mathfrak{G}$) et dont un dénominateur possible ne
- s'annule pas en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, on a $R(\xi_1,\ldots,\xi_d)
- \in K$ ;
-\item on a $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$, où $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$
- est une fraction rationnelle quelconque telle que
- $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \mathfrak{G}$ et dont un dénominateur
- possible ne s'annule pas en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ (on rappelle
- qu'on peut trouver un tel $P$ dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$,
- cf. \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes} ci-dessus) ;
+ $\sigma\in \mathfrak{G}$) et dont le dénominateur ne s'annule pas en
+ $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, on a $R(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ;
\item \XXX
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Le fait que (ii) implique (i) ou (iii) est trivial, ainsi que le fait
-que (i) implique (iii) lorsque $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$. Or d'après
-\ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}, il existe effectivement $P
-\in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) =
-\mathfrak{G}$, et dans ce cas on a $\Fix_{\mathfrak{G}}
-K(Z_1,\ldots,Z_d) = F(P)$ où $F = \Fix_{\mathfrak{S}_d}
-K(Z_1,\ldots,Z_d)$. En supposant que (iii) est vérifié pour ce $P$,
-il l'est pour tout élément de $F(P)$ puisque $Q(\xi_1,\ldots,\xi_d)
-\in K$ est clair si $Q \in F$ (en exprimant $Q(\xi_1,\ldots,\xi_d)$
-avec les fonctions totalement symétriques des $\xi_i$, qui sont au
-signe près les coefficients de $f$) : or ceci implique (ii).
+Le fait que (ii) implique (i) est trivial. Montrons que (i) implique
+(ii) : soit $R = P/Q$ avec $P,Q \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ sans facteur
+commun (on rappelle que $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est factoriel, ce qui
+donne un sens à cette affirmation), où $Q$ ne s'annule pas en
+$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ et où $R$ est invariante par $\mathfrak{G}$.
+Pour chaque $\sigma\in\mathfrak{G}$, on a alors $R =
+\sigma(P)/\sigma(Q)$, c'est-à-dire que $P\,\sigma(Q) = Q\,\sigma(P)$
+dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$, et comme $P,Q$ ont été supposés sans facteur
+commun on peut en déduire $\sigma(Q) = c_\sigma Q$ et $\sigma(P) =
+c_\sigma^{-1} P$ avec $c_\sigma\in K^\times$, en particulier
+$\sigma(Q)$ ne s'annule pas en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Si on
+introduit $Q^* = \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma(Q) =
+(\prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} c_\sigma) Q$, et de même $P^* =
+\prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma(P) =
+(\prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} c_\sigma^{-1}) P$, on a $P^*/Q^* = P/Q
+= R$, le polynôme $Q^*$ ne s'annule pas en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, et
+comme $P^*$ et $Q^*$ sont tous deux invariants par $\mathfrak{G}$, la
+conclusion du (i) permet d'affirmer que $R(\xi_1,\ldots,\xi_d) =
+P^*(\xi_1,\ldots,\xi_d)/Q^*(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$.
\end{proof}
+\begin{remarque2}
+Il est tentant de comparer le (ii) de la proposition ci-dessus
+avec \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}. Notamment, on sait
+qu'il existe des polynômes $P$ tels que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) =
+\mathfrak{G}$, et que si $P$ est un tel polynôme, alors le corps
+$F(P)$ qu'il engendre au-dessus du corps $K(\sigma_1,\ldots,\sigma_d)$
+des fonctions rationnelles totalement symétriques en les $Z_i$ est
+précisément le corps des fonctions rationnelles invariantes
+par $\mathfrak{G}$ : on peut donc être tenté de penser que l'hypothèse
+$P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ suffit à entraîner la conclusion (ii) de
+la dernière proposition. Or il n'en est rien : par exemple, si $K$
+est un corps de caractéristique $3$ non parfait, $L$ l'extension
+purement inséparable de $K$ obtenue en ajoutant la racine cubique
+$\xi$ d'un élément $a \in K$ qui ne soit pas un cube dans $K$, si on
+pose $d=3$ et $\mathfrak{G} = \ZZ/2\ZZ$ opérant en échangeant les
+indéterminées $Z_2$ et $Z_3$, et $P = Z_2 Z_3^2 + Z_2^2 Z_3$ qui
+vérifie bien $\Stab_{\mathfrak{S}_3}(P) = \mathfrak{G}$, on peut
+écrire $Z_1 = \frac{\sigma_1 \sigma_3}{\sigma_3 + P} \in F(P)$ où
+$\sigma_1 = Z_1+Z_2+Z_3$ et $\sigma_3 = Z_1 Z_2 Z_3$, on a bien
+$P(\xi,\xi,\xi) = 2 \xi^3 \in K$, et pourtant $Z_1$ prend en
+$(\xi,\xi,\xi)$ une valeur ($\xi$) qui n'appartient pas à $K$,
+c'est-à-dire que la conclusion (i) ou (ii) ne tient pas.
+\end{remarque2}
+
\begin{sslemme2}\label{transitivite-des-sylow}
Soit $G$ un groupe de permutations transitif sur un ensemble $X$ de
cardinal $p^e$ avec $p$ un nombre premier, et soit $H$ un sous-groupe