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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-03-06 20:40:05 +0100 |
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Introduction de macros \mathtextrm, \mathtextsf et \mathtexttt
Le but est de résoudre le problème des accents qui n'apparaissaient
pas, par exemple, dans \mathrm{Dér} (parce qu'Unicode ne définit pas
les caractères accentués dans les alphabets mathématiques et,
concrètement, parce que le package unicode-math ne leur donne pas
des \mathcode appropriés, et ne fournit d'ailleurs pas de 'é'
sans-sérif ou autre truc du genre).
Ces macros servent donc à écrire du texte dans des formules
mathématiques, de façon un peu « intermédiaire » entre \mathrm et
\textrm : elles créent du vrai mode maths (donc qui change de taille
en exposant et indice, contrairement à \textrm) mais en allant
chercher dans une police orientée texte et _sans_ aller prendre dans
les alphabets « mathématiques » d'Unicode. Attention : à cause de
l'usage de \emitmathchars, le paramètre passé à ces macros ne doit
pas contenir de commande quelle qu'elle soit, uniquement des
caractères.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r-- | chapitres/AC.tex | 20 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/AVD-Dedekind.tex | 12 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/Cebotarev.tex | 14 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/Dedekind.tex | 60 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/KASW.tex | 44 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/RT.tex | 4 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 48 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/brauer.tex | 35 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/corps-finis.tex | 80 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/correspondance-galois.tex | 16 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/descente.tex | 2 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/extensions-algebriques.tex | 4 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/formes-tordues.tex | 8 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/groupes-permutations.tex | 4 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/krull.tex | 16 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 232 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 2 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/spectre.tex | 4 | ||||
-rw-r--r-- | chapitres/verselles.tex | 22 |
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diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex index 07222f3..129dbbe 100644 --- a/chapitres/AC.tex +++ b/chapitres/AC.tex @@ -19,7 +19,7 @@ \chapter{Notions d'algèbre commutative} \fi -\newcommand{\Top}{\mathop{\mathrm{Top}}} +\newcommand{\Top}{\mathop{\mathtextrm{Top}}} %%% À faire·: @@ -32,7 +32,7 @@ si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou, de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$. Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une -plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$ +plus petite partie, notée $S_{\mathtextrm{mult}}$, de $A$ contenant $S$ et multiplicative. Si $S$ est une partie multiplicative, @@ -46,7 +46,7 @@ On vérifie immédiatement que les opérations d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application $A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}. Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose -$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l' +$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathtextrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l' \emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la $A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle @@ -73,8 +73,8 @@ L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal maximal. \begin{démo} -On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car -$𝔭∩S=∅$ si et seulement si $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$. +On peut supposer $S=S_{\mathtextrm{mult}}$ car +$𝔭∩S=∅$ si et seulement si $𝔭∩S_{\mathtextrm{mult}}=∅$. Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$ car tout élément de $S$ est envoyé @@ -128,9 +128,9 @@ est également injectif. \end{proposition2} \begin{démo} -Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau. -Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$. -Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que +Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathtextrm{mult}}$, dans le noyau. +Observons que l'on a $f(S_{\mathtextrm{mult}})=f(S)_{\mathtextrm{mult}}$. +Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathtextrm{mult}}$ tel que $f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et, finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori}, son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul. @@ -386,7 +386,7 @@ un morphisme $u:A^n→A^n$ tel que le diagramme suivant soit commutatif : En effet, si l'on note $e_i$ ($1≤i≤n$) la base canonique de $A^n$ et que l'on pose $c_i=s(e_i)$, il existe des éléments $a_{ij}∈A$ tels que, pour tout $i$, $bc_i=∑_{j≤n}a_{ij}c_j$. Il suffit de définir -$u$ par la matrice $(a_{ij})$. Soit $χ_u(X)=\det(\mathrm{Id}-Xu)∈A[X]$. +$u$ par la matrice $(a_{ij})$. Soit $χ_u(X)=\det(\Id-Xu)∈A[X]$. C'est un polynôme \emph{unitaire}, tel que — par Cayley-Hamilton — l'endomorphisme $χ_u(u)$ de $A^n$ soit identiquement nul. La commutativité du diagramme ci-dessus entraîne que $χ_u(b)=0$. CQFD. @@ -1255,7 +1255,7 @@ Cf. [CL], III. §5 ou Raynaud, Anneaux locaux henséliens. \XXX $A$ $𝐙$-algèbre de type fini. \[ -ζ_A^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-\#κ(x)^{-s}}. +ζ_A^{\mathtextrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-\#κ(x)^{-s}}. \] \end{définition2} diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex index 9102c91..32d691f 100644 --- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex +++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex @@ -323,7 +323,7 @@ dans l'énoncé est immédiate. Pour démontrer que son inverse est continu (bicontinuité), il suffit de vérifier que pour chaque $j$, l'application $∑_i λ_i v_i ↦ λ_j$, $E → K$ est continue. Or, une telle forme linéaire est de noyau -$H_j=\mathrm{Vect}(e_i:i ≠ j)$. Par hypothèse +$H_j=\mathtextrm{Vect}(e_i:i ≠ j)$. Par hypothèse de récurrence, ce sous-espace vectoriel topologique est isomorphe à $K^{n-1}$ donc complet donc fermé dans $E$. La forme linéaire « $j$-ième coordonnée » @@ -561,7 +561,7 @@ Notamment : et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans $K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ c'est-à-dire que l'extension est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante -de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a : +de $B$, et $f=\mathtextrm{Irr}_K(x)$ on a : \begin{itemize} \item $f$ est d'Eisenstein c'est-à-dire unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$, \item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$ @@ -768,7 +768,7 @@ vectoriel de dimension $1$. Sous les hypothèses précédentes : \begin{enumerate} \item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$, -\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique. +\item si $\car(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique. \end{enumerate} \end{corollaire2} @@ -888,7 +888,7 @@ Cf. th. général. \begin{démo}[Seconde démonstration] \XXX Soit $L$ une extension finie galoisienne de -$K=k((t))=\mathrm{Frac}(k[[t]])$ où +$K=k((t))=\Frac(k[[t]])$ où $k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier $L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire précédent que $G=\Gal(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$. @@ -1099,8 +1099,8 @@ Formule \begin{proposition2} \XXX \[ -\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2 -=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\] +\mathtextrm{dét}(\sigma_i(x_j))^2 +=|\mathtextrm{dét}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\] \end{proposition2} \begin{démo} diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex index e93d4d5..66df8ea 100644 --- a/chapitres/Cebotarev.tex +++ b/chapitres/Cebotarev.tex @@ -346,7 +346,7 @@ sont additifs vis-à-vis d'une décomposition de $F$ en produit. On peut donc supposer $F$ irréductible. Enfin, quitte à multiplier $F$ par une constante et changer de variable, ce qui ne change $n_p(F)$ que pour un nombre fini de nombres premiers, on peut supposer $F$ unitaire (cf. démonstration de \ref{Dedekind}), de degré noté $d$. -Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\mathrm{Frac}(A_F)$. +Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\Frac(A_F)$. L'application $\Spec(A_F)→ \Spec(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un idéal maximal sur un idéal maximal et le cardinal de ses fibres est au plus $d$ (cf. \ref{going-up}). Si $p=\wp\cap \ZZ$, on dit que $p$ divise @@ -359,7 +359,7 @@ soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$). Ainsi, $$ -Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \Spec\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et } +Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \Specmax.A_F, p|\wp\ \textrm{ et } N(\wp)=p\}p^{-s}, $$ où $N\wp:=\# A_F/\wp$. @@ -369,7 +369,7 @@ $\zeta_{\ZZ}=\zeta$ est la fonction de Euler-Riemann qui converge pour $s>1$. De plus, comme $\zeta(2s)$ est bornée au voisinage de $1$, on a $$ -Z_F(s)=\sum_{\wp\in \Spec\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1). +Z_F(s)=\sum_{\wp\in \Specmax.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1). $$ En effet, les idéaux premiers de degré $\geq 2$ contribuent au maximum à hauteur de $d\zeta(2s)$. @@ -455,7 +455,7 @@ $$ C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$, défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant les représentants de $\mathfrak{S}_d/S$ (classes à gauche). -Soient $\Delta=\mathrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathrm{disc}(\tilde{f}_S)$ +Soient $\Delta=\mathtextrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathtextrm{disc}(\tilde{f}_S)$ leurs discriminants respectifs. Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers divisant $\Delta\Delta_S$. @@ -617,12 +617,12 @@ fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élémen sans point fixe (c'est-à-dire qui ne soit pas de type $(1,\dots)$). La formule $$ -\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)=\# \mathrm{Orbites},=1\ +\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\Fix(\sigma)=\# \mathtextrm{Orbites},=1\ \textrm{par transitivit\'e} $$ -entraîne que $\#\mathrm{Fix}(\sigma)$ ne peut être systématiquement $\geq 1$. En effet, +entraîne que $\#\Fix(\sigma)$ ne peut être systématiquement $\geq 1$. En effet, la contribution égale à $d\geq 2$ de l'identité jointe à ces inégalités larges -entraînerait $\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)>1$. +entraînerait $\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\Fix(\sigma)>1$. \end{proof} \begin{corollaire2} diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex index 3944ec2..ed05ac9 100644 --- a/chapitres/Dedekind.tex +++ b/chapitres/Dedekind.tex @@ -19,7 +19,7 @@ \chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux} \fi -\DeclareMathOperatorWithFont{\vol}{\mathrm}{vol} +\DeclareMathOperatorWithFont{\vol}{\mathtextrm}{vol} \section{Anneaux de Dedekind : généralités} @@ -154,8 +154,8 @@ Formule \begin{proposition2} \XXX \[ -\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2 -=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\] +\mathtextrm{dét}(\sigma_i(x_j))^2 +=|\mathtextrm{dét}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\] \end{proposition2} \begin{démo} @@ -184,8 +184,8 @@ Le morphisme $𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$ est de la forme $$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x), -\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots, -\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$ +\mathtextrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathtextrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots, +\mathtextrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathtextrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$ Passer de la matrice ayant ces colonnes à $\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$. La formule en résulte. @@ -230,13 +230,13 @@ du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous. Admettons un instant le fait suivant : \begin{quote} Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\mathfrak{a}$, il -existe $0\neq x\in \mathfrak{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\mathfrak{a})$. +existe $0\neq x\in \mathfrak{a}$ tel que $|\N_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \N(\mathfrak{a})$. \end{quote} Soit $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\mathfrak{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mathscr{O}_K$. et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \mathfrak{a}$, il existe un idéal $\mathfrak{c}$ de $\mathscr{O}_K$ tel que $(x)=\mathfrak{c}\mathfrak{a}$ (cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors -$\mathrm{N}(\mathfrak{c})\leq \mu_K$. +$\N(\mathfrak{c})\leq \mu_K$. Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$ car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}). @@ -246,7 +246,7 @@ Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big) Soit $\mathfrak{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$ tel que $$ -m^d\leq \mathrm{N}(\mathfrak{a}) < (m+1)^d. +m^d\leq \N(\mathfrak{a}) < (m+1)^d. $$ Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence @@ -296,7 +296,7 @@ de $K → ⨁_v K_v/O_v$. \XXX Corps de nombres : -\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}.\] +\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathtextrm{Hasse}}.\] \[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\] (fonction zêta complétée) où $Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$. @@ -319,7 +319,7 @@ $ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$. $ζ_{𝐐(\sqrt{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(\sqrt{m})}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7 -$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$. +$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathtextrm{Hasse}}(s)$. \end{exemple2} @@ -347,7 +347,7 @@ Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble $$ \{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in -\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\} +\mathsf{C}\text{ et } \N(\mathfrak{a})\leq t\} $$ soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$. \end{théorème2} @@ -362,7 +362,7 @@ $$ établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et $$ \{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \mathfrak{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\ -|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\mathfrak{b}_{\mathsf{C}})\}. +|\N_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \N(\mathfrak{b}_{\mathsf{C}})\}. $$ Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention. @@ -371,7 +371,7 @@ quotient $P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}):=\mathfrak{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$ où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie en effet les idéaux principaux contenus dans $\mathfrak{b}_\mathsf{C}$. C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel -la norme $x\in \mathfrak{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$ +la norme $x\in \mathfrak{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\N_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$ se factorise. Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter $$ @@ -400,7 +400,7 @@ Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$. Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$. Alors, si $\vol(Y)>0$, $$ -\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}. +\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathtextrm{covol}(B)} a^{n}. $$ \end{quote} @@ -489,19 +489,19 @@ Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$. -Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$, -est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1}) -= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$. +Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\N_{K/\QQ}(u)$, +est un entier relatif ; comme il en est de même de $\N_{K/\QQ}(u^{-1}) += \N_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\N_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$. Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance $$ \log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}. $$ Cela résulte de l'égalité -$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$, +$\N_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\N_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$, jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit -des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$ +des coordonnées. Plus précisément, $\N_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$ (de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc -l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que +l'égalité $\N_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant. @@ -538,7 +538,7 @@ Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant : $$\left\{ \begin{array}{l} \log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\ -\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K +\N_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K \end{array}\right.$$ \end{quote} @@ -562,9 +562,9 @@ fermée (donc mesurable), symétrique par rapport $$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$ Soit $\mu_K>0$ une constante telle que $$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]} -\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$ +\mathtextrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$ À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que -$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$, +$\mathtextrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$, c'est-à-dire $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$. Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les @@ -625,17 +625,17 @@ le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_ L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point de $A$ a une norme inférieure à $1$. Admettons que -$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$ +$$\mathtextrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$ Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$, -$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA) - \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$ +$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathtextrm{vol}(tA) + \geq 2^n \mathtextrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$ il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$. L'inégalité en résulte immédiatement. Effectuons le calcul volumique. Posons $$ -f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+ +f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+ 2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ \sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1), $$ @@ -650,7 +650,7 @@ $$ f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1). $$ Soit -$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}}, +$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}}, \sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ \sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$ de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$. @@ -702,7 +702,7 @@ que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$. Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$, si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$, on a -$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$. +$\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$. Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$, en sommant le carré des deux égalités on trouve : $$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$ @@ -713,7 +713,7 @@ Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$, $(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$, on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus, $$ -\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big). +\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big). $$ Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$, et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire, diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex index 6049119..353a50b 100644 --- a/chapitres/KASW.tex +++ b/chapitres/KASW.tex @@ -275,7 +275,7 @@ et fixons un générateur $σ$. Fixons également un générateur $ζ$ de $μ_n( L'isomorphisme $ι:Π ⥲ μ_n(k)$, $σ ↦ ζ$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$ font de $K$ un $μ_n(k)$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$ (\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un -G-torseur}). L'ensemble $\mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼$ +G-torseur}). L'ensemble $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼$ des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe de cohomologie $H¹(K\bo k,μ_n(k))=\Hom(Π,μ_n(k))$ ; cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$. @@ -294,7 +294,7 @@ $H⁰(K\bo k,K^×)$ est, par définition, $\Fix_Π(K^×)$, lui-même égal à $k^×$ et $H⁰(K\bo k,{K^×}^n)=k^× ∩ {K^×}^n$ pour la même raison. Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme \[ -(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n ⥲ H¹(K\bo k,μ_n(k)) ≃ \mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼. +(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n ⥲ H¹(K\bo k,μ_n(k)) ≃ \mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼. \] Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie la classe d'un élément $a$ de $k^× ∩ {K^×}^n$ @@ -310,7 +310,7 @@ CQFD. \item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi une démonstration de \ref{extension cyclique=Kummer} (ii). \item On peut vérifier que le morphisme composé -\[(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n → \mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼\] +\[(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n → \mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼\] envoie la classe de $a$ sur la classe du $μ_n(k)$-torseur $k[X]/(X^n-a)$. % \XXX à faire \end{itemize} @@ -1010,7 +1010,7 @@ cyclique d'ordre $p$, et fixons un générateur $σ$. L'isomorphisme $ι:Π ⥲ 𝐙/p$, $σ ↦ 1$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$ font de $K$ un $𝐙/p$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$ (\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un -G-torseur}). L'ensemble $\mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼$ +G-torseur}). L'ensemble $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼$ des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe de cohomologie $H¹(K\bo k,𝐙/p)=\Hom(Π,𝐙/p)$ ; cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$. @@ -1028,7 +1028,7 @@ $H⁰(K\bo k,K)$ est, par définition, $\Fix_Π(K)$, lui-même égal à $k$ et $H⁰(K\bo k,℘(K))=k ∩ ℘(K)$ pour la même raison. Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme \[ -(k ∩ ℘(K))/℘(k) ⥲ H¹(K\bo k,𝐙/p) ≃ \mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼. +(k ∩ ℘(K))/℘(k) ⥲ H¹(K\bo k,𝐙/p) ≃ \mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼. \] Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie la classe d'un élément $a$ de $k ∩ ℘(K)$ @@ -1045,7 +1045,7 @@ CQFD. \item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi une démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (ii). \item On peut vérifier que le morphisme composé -\[(k ∩ ℘(K))/℘(k) → \mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼\] +\[(k ∩ ℘(K))/℘(k) → \mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼\] envoie la classe de $a$ sur la classe du $𝐙/p$-torseur $k[X]/(X^p-X-a)$. % \XXX à faire \end{itemize} @@ -1432,11 +1432,11 @@ $⊕$ leur loi de groupe. Ainsi, nous appellerons par exemple « multiplication par un entier $r$ » le morphisme $[r]:(W_n(A),⊕) → (W_n(A),⊕)$, $f ↦ f^r$ (pour $A$ variable). -\subsubsection{}Considérons la filtration descendante $(\mathrm{Fil}^iW_n)_{0 < i ≤ n+1}$ ($i -∈ 𝐍$) de $W_n$ définie par les sous-groupes $\mathrm{Fil}^iW_n(A)=1+X^i A_n$. -On a $\mathrm{Fil}^1W_n=W_n$ et $⋂_i \mathrm{Fil}^iW_n=\{1\}$. -Pour chaque $i>0$, les applications évidentes $\mathrm{Fil}^iW_n(A) → A$, $1+a X^i+\cdots -↦ a$ induisent un isomorphisme $\mathrm{Fil}^iW_n/\mathrm{Fil}^{i+1}W_n +\subsubsection{}Considérons la filtration descendante $(\mathtextrm{Fil}^iW_n)_{0 < i ≤ n+1}$ ($i +∈ 𝐍$) de $W_n$ définie par les sous-groupes $\mathtextrm{Fil}^iW_n(A)=1+X^i A_n$. +On a $\mathtextrm{Fil}^1W_n=W_n$ et $⋂_i \mathtextrm{Fil}^iW_n=\{1\}$. +Pour chaque $i>0$, les applications évidentes $\mathtextrm{Fil}^iW_n(A) → A$, $1+a X^i+\cdots +↦ a$ induisent un isomorphisme $\mathtextrm{Fil}^iW_n/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_n → \Ga$, où l'on rappelle que l'on note $\Ga$ le foncteur envoyant un anneau $A$ sur le groupe additif $(A,+)$. Le foncteur en groupes commutatifs $W_n$ est donc extension successive @@ -1454,11 +1454,11 @@ qui sont des \emph{isomorphismes} de groupes (cf. \ref{Wn en caractéristique nulle}). \begin{remarque2}\label{groupe unipotent est ensemblistement trivial} -Soit $W$ un groupe abstrait et $(\mathrm{Fil}^iW)_{0 ≤ i < r}$ une filtration décroissante finie -sur $W$ telle que $F⁰W=W$ et $\mathrm{Fil}^rW=\{1\}$, à gradués -$\mathrm{gr}^{\mathrm{Fil}}_i(W)=\mathrm{Fil}^iW/\mathrm{Fil}^{i+1}W$ isomorphes à un +Soit $W$ un groupe abstrait et $(\mathtextrm{Fil}^iW)_{0 ≤ i < r}$ une filtration décroissante finie +sur $W$ telle que $F⁰W=W$ et $\mathtextrm{Fil}^rW=\{1\}$, à gradués +$\mathtextrm{gr}^{\mathtextrm{Fil}}_i(W)=\mathtextrm{Fil}^iW/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W$ isomorphes à un même groupe $G$. Chaque choix de sections \emph{ensemblistes} $s_i$ aux morphismes -$\mathrm{Fil}^i(W) ↠ \mathrm{gr}^{\mathrm{Fil}}_i(W)⥲ G$ induit une bijection $G^r ⥲ W$, +$\mathtextrm{Fil}^i(W) ↠ \mathtextrm{gr}^{\mathtextrm{Fil}}_i(W)⥲ G$ induit une bijection $G^r ⥲ W$, $(g₀, …,g_{r-1}) ↦ s₀(g₀)\cdots s_{r-1}(g_{r-1})$. \end{remarque2} @@ -1494,7 +1494,7 @@ dans $k$ indépendants de la $k$-algèbre $A$. \end{lemme2} Remarquons que les applications $α ↦ E(\frac{α}{u} x^i)$ sont des sections -(fonctorielles, ensemblistes) du morphisme $\mathrm{Fil}^iW_n/\mathrm{Fil}^{i+1}W_n → \Ga$. +(fonctorielles, ensemblistes) du morphisme $\mathtextrm{Fil}^iW_n/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_n → \Ga$. L'énoncé (ii), dont (i) est le cas particulier $k=𝐙$ et $E(X)=1-X$, est donc une variante de la remarque \ref{groupe unipotent est ensemblistement trivial}. @@ -1516,10 +1516,10 @@ Le cas $n=∞$ se démontre de même. (ii) Supposons $n$ fini. On suffit de montrer par récurrence sur $r ≤ n$ que tout élément $f ∈ W_n(A)$ s'écrit $E(α₁X) \cdots E(α_r X^r) g_r$ -où $g_r ∈ \mathrm{Fil}^{r+1}W_n(A)$, et les $α_i$ sont comme dans l'énoncé. +où $g_r ∈ \mathtextrm{Fil}^{r+1}W_n(A)$, et les $α_i$ sont comme dans l'énoncé. Cela résulte du fait que pour chaque $α ∈ A$, le quotient d'une série $g=1+αX^{r+1}+ β X^{r+2}+\cdots $ par $E(\frac{α}{u} X^{r+1})$ appartient -à $ \mathrm{Fil}^{r+2}W_n(A)$ et que son coefficient en $X^{r+2}$ +à $ \mathtextrm{Fil}^{r+2}W_n(A)$ et que son coefficient en $X^{r+2}$ est un polynôme en $α$ et $β$ à coefficients dans $k$. (Ce polynôme ne dépend que de $r$ et des coefficients de $E$.) Le cas $n=∞$ se démontre de même. \end{démo} @@ -1573,7 +1573,7 @@ Soient $r$ et $s$ des entiers non nuls. Les identités suivantes sont valables d \item $F_s F_t =F_{st}$ ; \item $V_s V_t =V_{st}$ ; \item $F_r V_s=V_s F_r$ si $r$ et $s$ sont premiers entre eux. -\item $V_r F_r (\mathrm{Fil}^s) ⊆ \mathrm{Fil}^s$. +\item $V_r F_r (\mathtextrm{Fil}^s) ⊆ \mathtextrm{Fil}^s$. \end{enumerate} \end{proposition2} @@ -1649,9 +1649,9 @@ de $p$. Le produit fini $e_L=∏_{ℓ ∈ L} (1-ε_ℓ)$ des idempotents $1-ε_ℓ$ est un idempotent de $\End(W_{∞|𝐙_{(p)}})$. Développant le produit, on trouve : \[ -e_L=∑_{\mathrm{supp}(r) ⊆ L} μ(r) ε_r, +e_L=∑_{\mathtextrm{supp}(r) ⊆ L} μ(r) ε_r, \] -où le support $\mathrm{supp}(r)$ d'un entier $r$ est l'ensemble +où le support $\mathtextrm{supp}(r)$ d'un entier $r$ est l'ensemble des nombres premiers le divisant et où $μ$ est la fonction de Möbius (cf. \refext{CF}{definition-fonction-de-Moebius}). Faisant tendre l'ensemble fini $L$ vers l'ensemble infini $𝒫-\{p\}$ @@ -2119,7 +2119,7 @@ s'en déduisant par passage au quotient \XXX. Par récurrence et d'après \ref{bijections entre Wn et An}, il suffit de démontrer que pour chaque $α ∈ K$ et chaque entier $i ≥ 1$, il existe $β ∈ K$ tel que le quotient $(1-α X^i)/℘(1-β X^i)$ -appartienne à $\mathrm{Fil}^{i+1}W_∞(K)$. Cela résulte +appartienne à $\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_∞(K)$. Cela résulte de l'égalité \[ \frac{(1-α X^i)(1-β X^i)}{1-β^p X^i}=1+(β^p-β-α)X^i+ \cdots. diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex index df1f945..6950025 100644 --- a/chapitres/RT.tex +++ b/chapitres/RT.tex @@ -46,7 +46,7 @@ $k((x₁,…,x_n))$ est séparable sur $k$. \begin{exercice2} \label{degtr-Laurent-fractions-rationnelles} -Montrer que $\mathrm{deg.tr}_k k((x))=\mathrm{card.}(k^{𝐍})$. +Montrer que $\degtr_k k((x))=\#(k^{𝐍})$. % Bourbaki, A, exercice. \end{exercice2} @@ -61,7 +61,7 @@ $p$-rang \begin{proposition2} \label{p-rang-invariant-par-extension-finie} Soit $L\bo K$ une extension finie. Alors, -$p-\mathrm{rang}(K)=p-\mathrm{rang}(L)$. +$p-\mathtextrm{rang}(K)=p-\mathtextrm{rang}(L)$. \end{proposition2} \begin{proposition2} diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index d446ba8..12513a5 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -14,7 +14,7 @@ \chapter{Bases de Gröbner et applications} \fi -\DeclareMathOperatorWithFont{\initial}{\mathrm}{in} +\DeclareMathOperatorWithFont{\initial}{\mathtextrm}{in} \section{Bases de Gröbner} @@ -254,7 +254,7 @@ variables, que $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots \preceq Z_d$. \subsubsection{L'ordre lexicographique (pur)} L'\textbf{ordre lexicographique} est défini par $Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d} -\mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ +\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{lex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ ssi $\ell_i < \ell'_i$ pour le \emph{plus grand} $i$ tel que $\ell_i \neq \ell'_i$. Autrement dit, l'ordre lexicographique compare deux monômes en comparant leur degré en $Z_d$ ou, en cas d'égalité, de @@ -275,7 +275,7 @@ Z_3^2 \preceq \cdots \preceq Z_4 \preceq \cdots$ (l'ordinal associé à ce bon ordre sur les monômes de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ vaut $\omega^d$). \begin{proposition2}\label{caracterisation-ordre-lexicographique-pur} -Si $\initial_{\mathtt{lex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq +Si $\initial_{\mathtexttt{lex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq d$) alors $f \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$. De plus, cette propriété caractérise l'ordre lexicographique (parmi les ordres admissibles). \end{proposition2} @@ -307,7 +307,7 @@ coïncident. \subsubsection{L'ordre lexicographique gradué} L'\textbf{ordre lexicographique par degré} ou \textbf{ordre lexicographique gradué} est défini par $Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d} -\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ +\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum \ell'_i$ et $\ell_i < \ell'_i$ pour le \emph{plus grand} $i$ tel que $\ell_i \neq \ell'_i$. Autrement dit, les monômes sont classés en priorité par @@ -327,15 +327,15 @@ ordre sur les monômes de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ vaut $\omega$ comme c'est le cas pour tout ordre gradué). \begin{proposition2}\label{caracterisation-ordre-lexicographique-gradue} -L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$ est gradué au sens +L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$ est gradué au sens de \ref{definition-ordres-admissibles}, et si -$\initial_{\mathtt{glex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq +$\initial_{\mathtexttt{glex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq d$) avec $f$ un polynôme homogène, alors $f \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$. De plus, ces propriétés caractérisent l'ordre lexicographique gradué (parmi les ordres admissibles). \end{proposition2} \begin{proof} -Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$ soit gradué +Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$ soit gradué est évident sur sa définition ; pour ce qui est de la deuxième propriété, il suffit de remarquer que tous les monômes plus petits, pour l'ordre lexicographique gradué, et de même degré, qu'un monôme @@ -353,17 +353,17 @@ k[Z_1,\ldots,Z_t]$ ; ceci signifie que tout monôme faisant intervenir supérieur à tout monôme du même degré ne faisant intervenir que $Z_1,\ldots,Z_t$. Si $s = Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}$ et $s' = Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ sont deux monômes de même degré -total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}} s'$ (donc, vu que -le degré total est le même, $s \mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}} s'$), +total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}} s'$ (donc, vu que +le degré total est le même, $s \mathrel{\preceq_{\mathtexttt{lex}}} s'$), la démonstration utilisée dans le cas de l'ordre lexicographique pur montre que $s \preceq s'$, et ceci démontre que $\preceq$ coïncide -avec l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$. +avec l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$. \end{proof} \subsubsection{L'ordre lexicographique inversé gradué} L'\textbf{ordre lexicographique inversé par degré} (ou \textbf{...gradué}) est défini par $Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d} -\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots +\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum \ell'_i$ et $\ell_i > \ell'_i$ pour le \emph{plus petit} $i$ tel que $\ell_i \neq \ell'_i$. Autrement dit, cet ordre trie en premier lieu @@ -384,21 +384,21 @@ Z_1 Z_2 Z_3 \preceq \cdots \preceq Z_2^3 \preceq \cdots$ (l'ordinal associé à ce bon ordre sur les monômes de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ vaut $\omega$ comme c'est le cas pour tout ordre gradué). -On peut noter que $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ et -$\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$ coïncident lorsqu'il n'y a que +On peut noter que $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ et +$\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$ coïncident lorsqu'il n'y a que deux variables (une fois fixé l'ordre entre celles-ci). \begin{proposition2}\label{caracterisation-ordre-lexicographique-inverse-gradue} -L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ est gradué au sens +L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ est gradué au sens de \ref{definition-ordres-admissibles}, et si -$\initial_{\mathtt{grevlex}}(f) \in (Z_1,\ldots,Z_t)$ (pour un $t\leq +$\initial_{\mathtexttt{grevlex}}(f) \in (Z_1,\ldots,Z_t)$ (pour un $t\leq d$, et en notant bien sûr $(Z_1,\ldots,Z_t)$ l'idéal engendré par ces variables) avec $f$ un polynôme homogène, alors $f \in (Z_1,\ldots,Z_t)$. De plus, ces propriétés caractérisent l'ordre lexicographique inversé gradué (parmi les ordres admissibles). \end{proposition2} \begin{proof} -Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ soit gradué +Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ soit gradué est évident sur sa définition ; pour ce qui est de la deuxième propriété, il suffit de remarquer que tous les monômes plus petits, pour l'ordre lexicographique inversé gradué, et de même degré, qu'un @@ -406,7 +406,7 @@ monôme dans $(Z_1,\ldots,Z_t)$, sont eux-mêmes dans $(Z_1,\ldots,Z_t)$ : en effet, dire d'un monôme qu'il appartient à $(Z_1,\ldots,Z_t)$ signifie qu'il a un degré $>0$ dans l'une des $t$ premières variables, et, à degré total constant, diminuer le monôme -pour $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ se fait en augmentant le +pour $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ se fait en augmentant le degré dans la plus petite variable. Pour montrer que les propriétés énoncées caractérisent l'ordre @@ -419,7 +419,7 @@ ordre admissible gradué tel que si $\initial_{\preceq}(f) \in inférieur à tout monôme du même degré ne faisant intervenir que $Z_{t+1},\ldots,Z_d$. Si $s = Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}$ et $s' = Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ sont deux monômes de même -degré total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}} s'$, +degré total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}} s'$, c'est-à-dire tels que $\ell_i > \ell'_i$ où $i$ est le \emph{plus petit} possible tel que $\ell_i \neq \ell'_i$, on appelle comme précédemment $s^0 = Z_1^{\ell^0_1} \cdots Z_d^{\ell^0_d}$ le plus @@ -428,7 +428,7 @@ par$s = s^0 s^1$ et $s' = s^0 s^{1\prime}$ : on a alors $s^1 \preceq s^{1\prime}$ puisque $s^1$ fait intervenir $Z_i$ et non $s^{1\prime}$ (alors qu'ils sont de même degré total), donc $s \preceq s'$, et ceci démontre que $\preceq$ coïncide avec -l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$. +l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$. \end{proof} \subsubsection{Quelques autres ordres possibles} Il est assez fréquent @@ -700,7 +700,7 @@ L'un ou l'autre de ces phénomènes montre que $f_1,f_2$ ne forment pas une base de Gröbner de l'idéal $I$ qu'ils engendrent. En fait, il s'avère que cet idéal $I$ est celui engendré par $f_2$ et $f = -f_1 + X f_2$, et que ces polynômes-là en forment une base de Gröbner, -l'idéal initial $\initial_{\mathtt{lex}}(I)$ étant celui engendré par +l'idéal initial $\initial_{\mathtexttt{lex}}(I)$ étant celui engendré par $X^3$ et $Y^2$. (Par ailleurs, si $k = \QQ$, alors $\QQ[X,Y]/I$ est le corps $\QQ(\root3\of2, j\root3\of2)$ de décomposition de $X^3 - 2$ sur $\QQ$.) @@ -1242,11 +1242,11 @@ algorithme permettant de le résoudre : \begin{proposition2}\label{base-de-groebner-elimination} Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I -\cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Alors on a $\initial_{\mathtt{lex}}(J) = -\initial_{\mathtt{lex}}(I) \cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (où on est convenu +\cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Alors on a $\initial_{\mathtexttt{lex}}(J) = +\initial_{\mathtexttt{lex}}(I) \cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (où on est convenu d'ordonner les variables de la manière $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots \preceq Z_d$) ; et si $B = \{f_1,\ldots,f_r\}$ est une base de Gröbner -de $I$ pour l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}}$, alors $B \cap +de $I$ pour l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{lex}}}$, alors $B \cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$ est une base de Gröbner de $J$. Plus généralement, ces affirmations (à $t$ fixé) valent pour tout @@ -1293,7 +1293,7 @@ dans cette démonstration ? \emph{si on connaît $t$ à l'avance}, consiste à prendre l'ordre sur le degré total en les seules variables $Z_1,\ldots,Z_t$ comme premier critère de comparaison, et en cas d'égalité comparer avec -$\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$.) +$\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$.) \begin{corollaire2}\label{projection-et-extensions-de-corps} Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex index 498a6cd..4fcf2c7 100644 --- a/chapitres/brauer.tex +++ b/chapitres/brauer.tex @@ -73,7 +73,7 @@ $\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K))$. \begin{theoreme2}[Skolem-Nœther]\label{Skolem-Noether sur corps} Soient $K$ un corps et $n≥1$ un entier. Le morphisme $\GL_n(K)→\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K))$, -$g↦\mathrm{Int}(g)=(m↦gmg^{-1})$ +$g↦\Int(g)=(m↦gmg^{-1})$ induit un isomorphisme \[ \PGL_n(K)=\GL_n(K)/K^× ⥲\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K)). @@ -134,7 +134,7 @@ L'application \refext{Formes}{formes vers H1} induit une bijection \begin{démo} Par définition, $\Azu(n,K\bo -k)=\mathrm{Formes}(\text{algèbre }𝐌_n,K\bo k)$. +k)=\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre }𝐌_n,K\bo k)$. La donnée d'une structure de $k$-algèbre sur un $k$-espace vectoriel $A$ de rang $n²$ correspond à la donnée d'une application @@ -356,7 +356,6 @@ de mettre bout à bout les définitions — mais fastidieuse. Nous encourageons le lecteur à en omettre la lecture. \begin{démo} -{\renewcommand{\Int}{\mathrm{Int}} Commençons par rappeler que pour toute $k$-algèbre $C$, le groupe $Π$ agit naturellement sur $C_K=C⊗_k K$ par son action sur le second facteur. Nous noterons $σ↦σ_C$, $Π→\Aut_K(C_K)$ @@ -394,7 +393,7 @@ le facteur d'homothétie est le produit des facteurs d'homothétie. (En effet, l'isomorphisme (i) ci-dessus envoie la matrice $λ\Id_n⊗μ\Id_m$ sur la matrice $λμ\Id_{nm}$.) Puisque, par définition, $ΔC_C$ représente le $2$-cocycle associé à $[C]$, on a bien -l'égalité $[C]=[A]+[B]$, en notation additive.} +l'égalité $[C]=[A]+[B]$, en notation additive. \end{démo} Cette proposition est un ingrédient essentiel @@ -975,14 +974,14 @@ des quaternions imaginaires. On en déduit un morphisme $𝐇^×(A) → \GL₃(A)$. Comme d'autre part on a l'égalité $N(rqr^{-1})=N(q)$, cette action préserve la forme quadratique euclidienne naturelle sur $\Im 𝐇(A)$, $q=a\i+b\j+c\k ↦ N(q)=a²+b²+c²$, si bien que le morphisme précédent -se factorise à travers un morphisme $𝐇^×(A) → \mathrm{O}₃(A)$. +se factorise à travers un morphisme $𝐇^×(A) → \mathtextrm{O}₃(A)$. Le noyau de ce morphisme est $\Gm(A)=A^×$, plongé dans $𝐇^×(A)$ par $a↦a⋅1$, car le centre de $𝐇(A)$ est $A$. \begin{proposition2}\label{H vers special orthogonal} -L'image du morphisme $𝐇^×(A) → \mathrm{O}₃(A)$ est contenue -dans $\mathrm{SO}₃(A)$. +L'image du morphisme $𝐇^×(A) → \mathtextrm{O}₃(A)$ est contenue +dans $\SOrth₃(A)$. \end{proposition2} \begin{démo} @@ -1019,7 +1018,7 @@ le morphisme $𝐇^{N=1}(K) → \SOrth₃(K)$ est également surjectif. \end{théorème2} Le groupe $𝐇^{N=1}$ est aussi appelé \emph{groupe spin}, -noté $\mathrm{Spin}₃$ ; c'est un revêtement double de $\SOrth₃$. +noté $\mathtextrm{Spin}₃$ ; c'est un revêtement double de $\SOrth₃$. Dans les deux paragraphes suivants nous allons donner deux démonstrations, radicalement différentes, de ce théorème. @@ -1030,7 +1029,7 @@ spinorielle} Supposons un instant $K=𝐑$. Le théorème \ref{parametrisation Euler-Hamilton-Cayley}, qui est paramétrisation rationnelle du groupe spécial orthogonal -$\mathrm{SO}₃(𝐑)$, est dans ce cas dû à Euler (cf. \cite{Problema@Euler}). +$\SOrth₃(𝐑)$, est dans ce cas dû à Euler (cf. \cite{Problema@Euler}). Elle généralise la paramétrisation rationnelle de $\SOrth₂(𝐑) ≃ S¹$ par $𝐑$, envoyant $t ∈ 𝐑$ sur \[ @@ -1096,7 +1095,7 @@ $u_μ:m ↦ \Tr(g_μ ⋅ m) +1=-½\det(m+g_μ)$. Remarquons que $g_1+g_\i+g_\j+g_\k=0$ de sorte que $u_1+u_\i+u_\j+u_\k$ est la fonction constante de valeur $4 ≠ 0$. En particulier, les quatre sous-ensembles $U_μ=\{m:u_μ(m)≠0\}$ recouvrent -$\mathrm{SO}₃$ où, pour alléger les notations, nous ne précisons plus le corps $K$. +$\SOrth₃$ où, pour alléger les notations, nous ne précisons plus le corps $K$. Comme observé ci-dessus dans le cas particulier $μ=1$, on a : \[ @@ -1141,7 +1140,7 @@ que si $m∈U_μ(K)$, on a l'égalité Il n'est pas difficile de vérifier que la norme spinorielle n'est autre que le morphisme $\SOrth₃(K)=H⁰(K,\SOrth₃) → H¹(K,μ₂)=K^×/{K^×}²$ -déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$. +déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathtextrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$. \XXX \begin{exercice2} @@ -1164,7 +1163,7 @@ de $𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$. \XXX Euler-Hamilton-Cayley} par décomposition en réflexions} Nous supposons maintenant que $K$ est un \emph{corps}. Il est bien connu (\cite{}) que tout élément du groupe -$\mathrm{SO}₃(K)=\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$, et plus généralement +$\SOrth₃(K)=\SOrth(\Im 𝐇(K))$, et plus généralement du groupe spécial orthogonal d'une forme quadratique non dégénérée, est produit d'un nombre \emph{pair} de réflexions, c'est-à-dire d'éléments $s_r$ de la forme $q↦q-\frac{2⟨r,q⟩}{⟨r,r⟩}r$ où $⟨\tiret,\tiret⟩$ est le produit scalaire $⟨x,y⟩=½(x\sur{y}+y\sur{x})$ associé @@ -1182,26 +1181,26 @@ Si $q$ est un quaternion imaginaire on a donc \[ s_r(q)=rq\sur{r}^{-1}. \] -Tout élément de $\mathrm{SO}₃(K)$, composé de tels éléments, s'écrit donc sous la forme +Tout élément de $\SOrth₃(K)$, composé de tels éléments, s'écrit donc sous la forme $q↦rqr′$ où $r,r′$ appartiennent à $𝐇^×(K)$ : \[ s_{r₁} ∘ \cdots ∘ s_{r_n}=\left(q↦(r₁\cdots r_n)q (\sur{r_n \cdots r₁})^{-1}\right).\] Considérons maintenant le plongement naturel -de $\mathrm{O}₃(K)=\mathrm{O}(\Im 𝐇(K))$ dans $\mathrm{O}₄(K)=\mathrm{O}(𝐇(K))$, +de $\mathtextrm{O}₃(K)=\mathtextrm{O}(\Im 𝐇(K))$ dans $\mathtextrm{O}₄(K)=\mathtextrm{O}(𝐇(K))$, envoyant une isométrie de $\Im 𝐇(K)$ sur l'unique isométrie de $𝐇(K)$ la prolongeant agissant trivialement sur le centre $K⋅1$ de $𝐇(K)$. (Remarquons que $𝐇(K)=\Im 𝐇(K) ⊥ \mbox{$K⋅1$}$.) Ce plongement préserve le déterminant. Une variante immédiate de l'argument précédent montre que -tout élément de $\mathrm{SO}(𝐇(K))$ est également de la forme +tout élément de $\SOrth(𝐇(K))$ est également de la forme $q↦rqr′$ avec $r,r ′ ∈𝐇^×(K)$. Ne pouvant utiliser l'égalité $-\sur{q}=q$, on utilise l'identité \[ (q↦-r₁\sur{q}r₁) ∘ (q↦-r₂\sur{q}r₂)=(q↦r₁qr₁) ∘ (q↦\sur{r₂}q\sur{r₂}). \] -Il en résulte qu'un élément de $\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$ +Il en résulte qu'un élément de $\SOrth(\Im 𝐇(K))$ est la restriction d'une isométrie $f:q↦rqr'$ de $𝐇(K)$ avec $f(1)=1$. -On a donc $rr'=1$, c'est-à-dire $r'=r^{-1}$ : tout élément de $\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$ +On a donc $rr'=1$, c'est-à-dire $r'=r^{-1}$ : tout élément de $\SOrth(\Im 𝐇(K))$ est bien une conjugaison par un quaternion. \section{Torsion du groupe de Brauer « absolu », cohomologie profinie} @@ -1903,7 +1902,7 @@ homogène de degré $n$. Ceci entraîne le résultat annoncé. \begin{remarque2} On laisse le soin au lecteur de définir, pour tout $a∈A$, un « polynôme caractéristique -réduit » $\mathrm{Prd}_A(a,X)=X^n-\Trd_A(a)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\Nrd_A(a)$. +réduit » $\mathtextrm{Prd}_A(a,X)=X^n-\Trd_A(a)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\Nrd_A(a)$. Cf. Bourbaki, VIII, §12. \end{remarque2} diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex index 6c98f73..6684a32 100644 --- a/chapitres/corps-finis.tex +++ b/chapitres/corps-finis.tex @@ -2507,12 +2507,12 @@ le morphisme induit $\chap{H}→\chap{G}$ est une injection. (Cet Il en résulte que pour toute suite \emph{exacte} de groupes abéliens finis $1→K→G→H→1$, la suite $1→\chap{H}→\chap{G}→\chap{K}→1$ est également exacte. En effet, -$K^\perp:=\mathrm{Ker}(\chap{G}→\chap{K})$ est naturellement +$K^\perp:=\Ker(\chap{G}→\chap{K})$ est naturellement en bijection avec $\chap{G/K}$. \begin{lemme2} Soit $G$ un groupe fini abélien. Le morphisme d'évaluation -$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathrm{\acute{e}v}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme. +$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathtextrm{év}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme. \end{lemme2} \begin{démo} @@ -2570,7 +2570,7 @@ Alors, $∑_{χ∈\chap{G}} χ(g)$ est égal à $0$ si $g≠e$ et $|G|$ sinon. \begin{démo} Le résultat est trivial si $g=e$. Supposons $g≠e$. Puisque le morphisme $G→\chap{\chap{G}}$ est un -isomorphisme, il est donc injectif : $\mathrm{\acute{e}v}_g≠e$. +isomorphisme, il est donc injectif : $\mathtextrm{év}_g≠e$. En d'autres termes, il existe un caractère $χ'∈\chap{G}$ tel que $χ'(g)≠1$. Soit $S=∑_χ χ(g)$. On a $χ'(g)S=∑_χ (χ'χ)(g)=S$. Puisque $χ'(g)≠1$, on a bien $S=0$. @@ -2584,9 +2584,9 @@ et $|G|$ sinon. \end{corollaire2} \begin{démo} -Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathrm{\acute{e}v}_g(χ)$, +Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathtextrm{év}_g(χ)$, du lemme précédent, et du fait que tout caractère de $\chap{G}$ est -de la forme $\mathrm{\acute{e}v}_g$ pour un unique $g∈G$. +de la forme $\mathtextrm{év}_g$ pour un unique $g∈G$. \end{démo} \subsection{Équation $X^n=g$ dans un groupe abélien fini ; application} @@ -2704,13 +2704,13 @@ par une sous-algèbre quotient \emph{stricte}. (On a vu en \ref{algebre-diagonalisable} que tous ces quotients sont du type envisagé dans la démonstration.) -On note $\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions +On note $\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions aux \emph{anciens}, provenant d'une plus petite algèbre). Généralisant quelque peu la notation habituelle, on pose $\chap{A^×}[n]:=\{χ=(χ₀,\dots,χ_d)∈\chap{A^×}, χ_i^{n_i}=1\}$. (Si $n₀=\dots=n_d$, on retombe sur la définition précédente.) -Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathrm{nouv}}$ resp. -$E^{\mathrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant +Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathtextrm{nouv}}$ resp. +$E^{\mathtextrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant de $\chap{A^×}$. Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non trivial. @@ -2724,7 +2724,7 @@ Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc écrire : $$ -N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b} +N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b} χ(a)\big). $$ @@ -2757,7 +2757,7 @@ Soient $F$ un corps fini de cardinal $q$, $d≥0$ un entier, $c₀,\dots,c_d∈F Alors, $$ N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \atop -χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x). +χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x). $$ \end{proposition2} @@ -2795,7 +2795,7 @@ reformule : $$ N=q^d+(-1)^{d-1}(q-1)∑_χ χ(c)J(χ), $$ -où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$. +où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]$. \subsubsection{Le cas $b$ quelconque}\label{formule-b-quelconque} Comme pour $x∈F^×$, on a $x^{q-1}=1$, il vient : @@ -2809,8 +2809,8 @@ $$ N=q^d+(-1)^d\big(∑_{χ'} χ'(c,-b)J(χ')-∑_χ χ(c)J(χ)\big), $$ où la première somme se fait relativement à l'algèbre $A'=A×F$, -$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[(n,q-1)]$ -et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$. +$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[(n,q-1)]$ +et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]$. (Remarquer que $q^{d+1}-q^d=(q-1)q^d$.) @@ -2822,10 +2822,10 @@ un unique $a∈F$ tel que $ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(ax)}$. \begin{démo} On se ramène immédiatement à montrer que toute forme linéaire $f:F→\FF_p$ est -de la forme $x\mapsto \mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)$. Cela résulte du fait que +de la forme $x\mapsto \Tr_{F/\FF_p}(ax)$. Cela résulte du fait que la trace est non-dégénérée (l'extension $F/\FF_p$ est étale ; cf. \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (v)). -% si $\mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)=0$ pour tout $x∈F$, alors, $a=0$. +% si $\Tr_{F/\FF_p}(ax)=0$ pour tout $x∈F$, alors, $a=0$. %Ce dernier point résulte à son tour du fait que la trace est surjective %et, de façon équivalente, non nulle : le polynôme $X+X^p+\cdots+X^{p^{r-1}}$, %qui a au plus $p^{r-1}$ racines dans $F$ (supposé de degré $r$ sur $\FF_p$), @@ -2887,7 +2887,7 @@ $$ \begin{proposition2} Soient $A$ une $F$-algèbre étale, $ψ$ un caractère (additif) non trivial -de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ non trivial. +de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}$ non trivial. Alors, $$ |𝔤(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}. @@ -2898,7 +2898,7 @@ $$ En faisant le changement de variable $y=xz$ dans la formule $$ -|𝔤(χ,ψ)|²=𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big), +|𝔤(χ,ψ)|²=𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\Tr_{A'/F}(x-y)\big), $$ on trouve immédiatement $$ @@ -2961,8 +2961,8 @@ réciprocité quadratique} \subsubsection{Notations} Soit $F$ un corps fini cardinal $q$ et de caractéristique $p≠2$. Le groupe $F^×$ a donc un unique -sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mathrm{quad}}$ le caractère -correspondant. On a donc $χ_{\mathrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon. +sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mathtextrm{quad}}$ le caractère +correspondant. On a donc $χ_{\mathtextrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon. C'est le seul caractère non trivial de $2$-torsion, de sorte que l'ensemble des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à un seul @@ -2970,7 +2970,7 @@ des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à Dans tout ce paragraphe, nous fixons une racine primitive $p$-ème de l'unité $ζ_p$ et considérons le caractère additif non trivial associé : -$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mathrm{quad}}$ la +$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mathtextrm{quad}}$ la somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicatif) quadratique. \begin{proposition2} @@ -2978,36 +2978,36 @@ somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicati Soient $d≥0$ un entier et $N$ le nombre de solutions de l'équation $X₀²+\cdots+X_d²=1$. \begin{enumerate} -\item $g_{\mathrm{quad}}²=qχ_{\mathrm{quad}}(-1)$ ; -\item $χ_{\mathrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ; -\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est +\item $g_{\mathtextrm{quad}}²=qχ_{\mathtextrm{quad}}(-1)$ ; +\item $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ; +\item $N=q^d+χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est pair ; -\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est +\item $N=q^d+χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est impair. \end{enumerate} \end{proposition2} -Rappelons que $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mathrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut +Rappelons que $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mathtextrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut $1$ si $(-1)^n$ est un carré dans $F$, $-1$ sinon. \begin{démo} (i) résulte de la formule générale : $$𝔤(χ,ψ)𝔤(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$ (ii) Si $x∈{F^×}²$, $x^{\frac{q-1}{2}}=1$ et vice-versa pour des raisons -de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$, +de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathtextrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$, égalité ayant lieu dans $\{±1\}$, plongé dans $\mathbf{U}$ (terme de gauche) et $F^×$ (terme de droite). (iii) et (iv) résultent de la formule générale exprimant $N$ comme une somme, de l'égalité $qJ=g$. Pour (iii), on utilise également l'égalité -$χ_{\mathrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mathrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$, +$χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mathtextrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$, qui découle de (i). L'égalité (iv) est semblable et laissée au lecteur. \end{démo} \begin{remarque2} Insistons sur le caractère élémentaire de ces formules. -Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mathrm{quad}}(a)$, en tire -$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mathrm{quad}}(a_i)$. Le second +Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mathtextrm{quad}}(a)$, en tire +$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mathtextrm{quad}}(a_i)$. Le second terme est, au signe près, une somme de Jacobi. Ce calcul a été fait bien avant le cas d'une hypersurface diagonale générale, dû à Weil. @@ -3066,38 +3066,38 @@ explicite lorsque $p=17$. Cf. \ref{reciprocite-quadratique}. Soit $ℓ≠p$ un nombre premier impair. -Notons $χ=(χ_{\mathrm{quad}},\dots,χ_{\mathrm{quad}})$ +Notons $χ=(χ_{\mathtextrm{quad}},\dots,χ_{\mathtextrm{quad}})$ le caractère de ${F^{ℓ+1}}^×$, où $F=\FF_p$. Il est nouveau, non trivial -mais diagonalement trivial car $χ_{\mathrm{quad}}^{ℓ+1}=1$. +mais diagonalement trivial car $χ_{\mathtextrm{quad}}^{ℓ+1}=1$. Il résulte de la formule $pJ=g$ (\ref{proposition-Gauss-Jacobi}) et du calcul de $g²$ (\ref{proposition-cardinal-spheres}, (i-ii)) que l'on a l'égalité : -$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots -χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ). +$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mathtextrm{quad}}(x₁)\cdots +χ_{\mathtextrm{quad}}(x_ℓ). $$ L'égalité de droite est une traduction immédiate de la définition des sommes de Jacobi. (On utilise le fait que -$χ_{\mathrm{quad}}=χ_{\mathrm{quad}}^{-1}$.) -En faisant passer le terme $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve : +$χ_{\mathtextrm{quad}}=χ_{\mathtextrm{quad}}^{-1}$.) +En faisant passer le terme $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve : $$ p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{∑x_i=1\atop -x_i∈𝐅_p^×}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots -χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ). +x_i∈𝐅_p^×}χ_{\mathtextrm{quad}}(x₁)\cdots +χ_{\mathtextrm{quad}}(x_ℓ). $$ La somme de droite est une somme d'entiers égaux à $±1$. -Elle est congrue à $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)$ modulo $ℓ$ pour +Elle est congrue à $χ_{\mathtextrm{quad}}(ℓ)$ modulo $ℓ$ pour la raison suivante. L'ensemble de sommation est naturellement un $𝐙/ℓ$-ensemble (action par permutation cyclique des coordonnées) et la fonction sommée est invariante par cette action. Il en résulte que, modulo $ℓ$, seuls les points fixes contribuent. L'unique point fixe est donné par $x₁=\cdots=x_ℓ=\frac{1}{ℓ}∈F^×$. Sa -contribution est $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$. +contribution est $χ_{\mathtextrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$. -Puisque $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part, +Puisque $χ_{\mathtextrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part, modulo $ℓ$, $p^{\frac{ℓ-1}{2}}\equiv (\frac{p}{ℓ})$, on en tire : \[ diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 624e082..308abab 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -426,7 +426,7 @@ car potentiellement diagonalisable. Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne. Les automorphismes $g∈G=\Hom_k(K,K)$, vus comme éléments du $K$-espace vectoriel -$\End_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(K)$, sont $K$-linéairement indépendants. +$\End_{k\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K)$, sont $K$-linéairement indépendants. \end{corollaire2} Pour une généralisation, cf. exercice \ref{théorème de Dedekind}. @@ -463,9 +463,9 @@ on obtient une relation de dépendance non triviale, qui \begin{démo}[Troisième démonstration (esquisse)] Il suffit de démontrer ce résultat après extension des scalaires de $k$ à $K$. Il résulte de la proposition précédente que pour chaque $g∈G$, -l'élément $g⊗_k K$ de $\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(K⊗_k K)$ -correspond, via l'isomorphisme $\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(K⊗_k K)⥲ -\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(\Hom_{\Ens}(G,K))$ à l'opérateur +l'élément $g⊗_k K$ de $\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K⊗_k K)$ +correspond, via l'isomorphisme $\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K⊗_k K)⥲ +\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(\Hom_{\Ens}(G,K))$ à l'opérateur de \emph{translation} : \[ T_g:(x_h)_{h∈G}↦(x_{hg})_{h∈G}. @@ -629,7 +629,7 @@ automorphismes} : \begin{quote} Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre. L'ensemble $田A(k')$ est une partie $k'$-libre de -$\Hom_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(A,k')$. +$\Hom_{k\traitdunion\mathtextrm{ev}}(A,k')$. \end{quote} (On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois et l'isomorphisme $田A(k')⥲田A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie @@ -1615,8 +1615,8 @@ $別₂$. \begin{exemples2} -En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mathrm{r\acute{e}s}(f(X),f(-X))$ -[presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mathrm{r\acute{e}s}(f,f')$, on trouve +En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mathtextrm{rés}(f(X),f(-X))$ +[presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mathtextrm{rés}(f,f')$, on trouve facilement les formules ci-dessous. \XXX \begin{enumerate} @@ -1865,7 +1865,7 @@ $\Spec(K⊗_k {k'}\alg)→\Spec(K⊗_k k')$ est surjectif (\refext{AC}{relèvement idéaux} ou \refext{Descente}{fidèle platitude}) et $G$-équivariant donc on peut supposer $k'$ algébriquement clos. Dans ce cas, $A$ est isomorphe comme $k'$-algèbre, munie -d'une action de $G$, à $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}). +d'une action de $G$, à $\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}). Le spectre de cette algèbre est canoniquement isomorphe à $G$ (\refext{Krull}{Spec(Hom(X,k))}) agissant (transitivement) sur lui-même par translation. diff --git a/chapitres/descente.tex b/chapitres/descente.tex index a2c7025..2c28ee6 100644 --- a/chapitres/descente.tex +++ b/chapitres/descente.tex @@ -50,7 +50,7 @@ Toute $k$-\emph{dérivation} de $M_n(k)$ est toute application $k$-linéaire $δ:M_n(k)→M_n(k)$ satisfaisant les relations $δ(xy)=xδ(y)+yδ(x)$ pour toute paire $(x,y)∈M_n(k)²$ est de la forme -$m↦\mathrm{Int}_x(m)=xm-mx$ pour un (unique) +$m↦\mathtextrm{Int}_x(m)=xm-mx$ pour un (unique) $x∈M_n(k)$. \end{proposition2} diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index a109148..dbda01d 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -927,7 +927,7 @@ Lorsque $f$ se factorise comme en (i), on dit alors que $f$ est \emph{scindé} s \begin{définition2}\label{définition corps de décomposition} Une extension $K\bo k$ satisfaisant la condition (i) de la proposition précédente est appelée extension, ou corps, de \emph{décomposition} de -$f$. On note parfois $\mathrm{d\acute{e}c}_k(f)$. +$f$. On note parfois $\dec_k(f)$. \end{définition2} \begin{démo}[Démonstration de la proposition] @@ -2733,7 +2733,7 @@ de sorte que $M[ε]$ est une $k$-algèbre au-dessus de $A$. \item Définir la notion de morphisme entre $k$-algèbres augmentées vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$. \item Construire un isomorphisme $k$-linéaire -$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$. +$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathtextrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$. \end{enumerate} \end{exercice2} diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex index a0dc212..cb662ae 100644 --- a/chapitres/formes-tordues.tex +++ b/chapitres/formes-tordues.tex @@ -740,12 +740,12 @@ $K\bo k$ toute $k$-algèbre $A$ munie d'une action $k$-linéaire de $G$ telle que $A_K$ soit isomorphe à $K^G$. \end{définition2} -On note $\mathrm{Tors}(K\bo k,G)$ leur ensemble. On appelle +On note $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,G)$ leur ensemble. On appelle $G$-torseur trivial (sous-entendu : sur $k$) le $G$-torseur $k^G$. \begin{exemple2}\label{extension galoisienne groupe G est un G-torseur} Toute extension $k′\bo k$ galoisienne de groupe $G$ -et trivialisé par $K\bo k$ est un objet de $\mathrm{Tors}(K\bo k,G)$. +et trivialisé par $K\bo k$ est un objet de $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,G)$. Choisissons en effet un $k$-plongement $ι$ de $k′$ dans $K$, dont l'existence est conséquence du fait que $K\bo k$ diagonalise $k′\bo k$ (voir aussi \ref{description explicite Tors=H1}, (i)). @@ -768,7 +768,7 @@ De façon générale, on a : — $A\bo k$ est une $G$-algèbre galoisienne. \begin{proposition2}\label{H1G=TorsG} -L'ensemble des classes d'isomorphismes $\mathrm{Tors}(K\bo k,G)/∼$ +L'ensemble des classes d'isomorphismes $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,G)/∼$ est naturellement en bijection avec l'ensemble $H¹(Π,G)$, quotient de l'ensemble $\Hom(Π,G)$ sous l'action de $G$ par conjugaison. Si $G$ est abélien, il est isomorphe à $\Hom(Π,G)$. @@ -1081,7 +1081,7 @@ extension finie galoisienne. Pour tout $k$-tenseur $(V,x)$ de type $(p,q)$, l'application \[ -\mathrm{Formes}\big((V,x),K\bo k)→H¹\big(\Gal(K\bo +\mathtextrm{Formes}\big((V,x),K\bo k)→H¹\big(\Gal(K\bo k),\Aut((V,x)_{\bo K})\big) \] est une bijection. diff --git a/chapitres/groupes-permutations.tex b/chapitres/groupes-permutations.tex index bb7e7ab..b1f571a 100644 --- a/chapitres/groupes-permutations.tex +++ b/chapitres/groupes-permutations.tex @@ -1250,7 +1250,7 @@ primitif de $𝔖_n$ contenant un $p$-cycle. \begin{lemme2} Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $𝔖_X$, $C$ un sous-groupe -de $G$ tel que le cardinal de $F=\mathrm{Fix}(C)\subset X$ soit égal à $f$. +de $G$ tel que le cardinal de $F=\Fix(C)\subset X$ soit égal à $f$. Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué \emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement sur $F$. @@ -1303,7 +1303,7 @@ normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants : \item Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N ↠ 𝔖_F$, via le morphisme de restriction, bien défini ici. -\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\mathrm{Stab}_N(\pi)$ satisfait +\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\Stab_N(\pi)$ satisfait $N_{\pi}↠ 𝔖_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$. \item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $𝔖_{P}$ diff --git a/chapitres/krull.tex b/chapitres/krull.tex index 3f5340d..f797c51 100644 --- a/chapitres/krull.tex +++ b/chapitres/krull.tex @@ -655,9 +655,9 @@ $a⊗b\mapsto \big(g∈G\mapsto g(a)b∈K'\big)$ induit un isomorphisme de $K'$-algèbres $$ -K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K'), +K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K'), $$ -où $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications +où $\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications \emph{continues} de $G$ dans $K'$, $G$ étant muni de la topologie de Krull et $K'$ de la topologie @@ -731,13 +731,13 @@ $$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mathscr{E}} E⊗_k K'.$$ D'autre part, pour tout $E∈\mathscr{E}$, l'application $\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')→ -\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ déduite du morphisme de +\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')$ déduite du morphisme de restriction $r_E:G→G_{E\bo k}$ est injective car $r_E$ est surjectif. Identifiant $\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ à son image dans -$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$, +$\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')$, on a : -$$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mathscr{E}} +$$\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mathscr{E}} \Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K').$$ Soit en effet $f:G→K'$ une application continue ; on souhaite @@ -771,7 +771,7 @@ La conclusion résulte de la commutativité des diagrammes \textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!} %$$ %\xymatrix{ -%K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K') \\ +%K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K') \\ %E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u] %} %$$ @@ -785,10 +785,10 @@ conséquence immédiate des définitions. L'espace topologique sous-jacent à $G$ étant compact, il résulte du résultat de \ref{Spec(Hom(X,k))} que le spectre de -$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ est en bijection naturelle avec +$\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')$ est en bijection naturelle avec $G$, par l'application naturelle $g↦\Ker(\ev_g)$. On retrouve le résultat de \refext{CG}{points-KtensK}, pour $K'=K$, -puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')→K'$ +puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\mathtextrm{cont}}(G,K')→K'$ correspond par l'isomorphisme de la proposition à l'application $a⊗b↦g(a)b$, diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 6f5b078..107f74f 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -22,7 +22,7 @@ \chapter{Corps locaux, corps globaux} \fi -\DeclareMathOperatorWithFont{\module}{\mathrm}{mod} +\DeclareMathOperatorWithFont{\module}{\mathtextrm}{mod} \section{Corps locaux} @@ -416,7 +416,7 @@ tel que pour toute fonction $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ de support dans $V_{φ,ε}$ et d'intégrale $μ(ψ)=1$, on ait $‖ φ ⋆_μ ψ - φ ‖_∞ ≤ ε$. (Un tel énoncé est souvent utilisé pour régulariser des fonctions ; nous n'en rappelons pas la démonstration.) -Pour un tel $ψ$, on a $|ν(φ ⋆_μ ψ) -ν(φ)| ≤ ε ⋅ ν\big( \mathrm{Supp}(φ) V_{φ,ε}^{-1}\big)$. +Pour un tel $ψ$, on a $|ν(φ ⋆_μ ψ) -ν(φ)| ≤ ε ⋅ ν\big( \mathtextrm{Supp}(φ) V_{φ,ε}^{-1}\big)$. En particulier, il existe des fonctions $ψ$ positives de $μ$-intégrale unité telles que $ν(φ ⋆_μ ψ)$ soit arbitrairement proche de $ν(φ)$. En appliquant ceci à $φ=φ₀$, et en utilisant les égalités $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$ et $μ(φ₀)=ν(φ₀)$, on en déduit @@ -843,7 +843,7 @@ constante : l'anneau des entiers $𝒪$ de $K$ étant un voisinage de l'origine, on se ramène par translation à montrer que toute fonction continue $𝒪 → 𝐂$ est localement constante. Cela résulte de la définition de la topologie sur $𝒪=\lim_n 𝒪/ 𝔪^n$ -d'après laquelle $\Hom_{\mathrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$. +d'après laquelle $\Hom_{\mathtextrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$. Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$ tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie @@ -1295,7 +1295,7 @@ un caractère du groupe fini $𝒰/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal co Si $K$ est archimédien, l'entier $a$ tel que $χ₁=(u ↦ u^{-a})$ est appelé \emph{conducteur} de $χ$. Les quasi-caractères $ω_s$ sont de conducteur nul, aussi bien dans le cas ultramétrique qu'archimédien. Si $K$ est réel, le quasi-caractère $x↦ x^{-1}$ n'est autre -que $\mathrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$. +que $\mathtextrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathtextrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$. \begin{démo} Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|𝒰}$ ; c'est un @@ -2095,7 +2095,7 @@ valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble. Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp. \textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles -respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$. +respectifs sont notés $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$. Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin d'éviter la possible confusion entre les valeurs absolues archimédiennes et les valeurs absolues « à l'infini » @@ -2134,21 +2134,21 @@ $k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$ le corps résiduel, $N(x)$ le cardinal de $k_x$ — ap Notons que si $ϖ$ est une uniformisante de $𝒪_{K,x}$, on a $N(x)=|ϖ|_x^{-1}$. Il est parfois utile de faire la convention suivante : -lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_{K,x}=K_x$. +lorsque $x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_{K,x}=K_x$. % pertinence à vérifier \XXX. (Cela permet parfois d'éviter -% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ » +% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$ » \subsubsection{} \label{U-entiers} -Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$ +Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$ qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_{K,x}$ pour chaque $x ∈ U$. De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$. Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$. (Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.) % choix terminologique discutable \XXX Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est d'usage de noter $𝒪_K$ -l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$, dit \textbf{anneau des entiers} de $K$. +l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K))$, dit \textbf{anneau des entiers} de $K$. \subsubsection{} \label{notation OLU} @@ -2181,7 +2181,7 @@ nul. Ce n'est autre que le sous-anneau $k[t^i/P, 0 ≤ i ≤ d]$ de $𝐅_p(t)$ où $d=\deg(P)$. Notons que dans un cas comme dans l'autre, ces anneaux sont des $k$-algèbres de type fini et de corps des fractions $𝐅_p(t)$. -Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_𝐐=𝒪_K(Σ)=𝐙$. +Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathtextrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_𝐐=𝒪_K(Σ)=𝐙$. \subsubsection{} \label{corps des constantes} @@ -2199,9 +2199,9 @@ $𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$ envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$, où $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ est la valuation $p$-adique de $f$ si $p$ est premier, ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$. -Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$) +Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathtextrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$) est une bijection, d'inverse noté $x ↦ p_x$, et -$\{∞\} → Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également. +$\{∞\} → Σ^{\mathtextrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également. Par la suite, on identifiera souvent ces ensembles par les bijections précédentes. Cette identification est compatible avec les notations introduites ci-dessus. @@ -2306,10 +2306,10 @@ et le théorème \ref{cocompacité} \emph{infra}.) \label{finitude-infinitude-places} Soit $K$ un corps global. \begin{enumerate} -\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ est \emph{fini}. -\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ est \emph{infini}. De plus, +\item L'ensemble $Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$ est \emph{fini}. +\item L'ensemble $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ est \emph{infini}. De plus, pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$, son sous-ensemble -$\{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K): N(x) ≤ c\}$ est \emph{fini}. +$\{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K): N(x) ≤ c\}$ est \emph{fini}. \end{enumerate} \end{proposition2} @@ -2318,8 +2318,8 @@ Il résulte de \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues} et du fait que la restriction d'une valeur absolue archimédienne (resp. ultramétrique) est archimédienne (resp. ultramétrique), qu'il suffit de traiter le cas particulier où $K$ est un corps global premier. -Dans ce cas, (i) résulte du fait que $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$ -est un singleton et $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide. +Dans ce cas, (i) résulte du fait que $Σ^{\mathtextrm{arch}}(𝐐)$ +est un singleton et $Σ^{\mathtextrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide. Quant au premier point de (ii), il suffit de montrer que l'ensemble des idéaux maximaux $(P)$ de $𝐙$ (resp. $𝐅_p[t]$) est infini. Ceci est bien connu et en substance dû à Euclide : considérer un diviseur irréductible @@ -2414,10 +2414,10 @@ déduit de l'inclusion $A ↪ K_u^+$. C'est un idéal \emph{maximal} car $A/(A (On utilise le fait qu'un anneau fini intègre est un corps.) Rappelons que $\Specmax(A)$ s'injecte naturellement dans \commentaire{mettre ces sorites ailleurs ?} -$Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ car chaque idéal maximal $𝔭$ de l'anneau $A$ +$Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ car chaque idéal maximal $𝔭$ de l'anneau $A$ induit une valuation ultramétrique $|⋅|_𝔭$ sur son corps des fractions -telle que $𝔭 = A ∩ K_{|⋅|_𝔭}^{++}$. L'application composée $U → \Specmax(A) → Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ -est l'injection de $U$ dans $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$. +telle que $𝔭 = A ∩ K_{|⋅|_𝔭}^{++}$. L'application composée $U → \Specmax(A) → Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ +est l'injection de $U$ dans $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$. En effet, si $u ∈ U$ et $𝔭_u=A ∩ K_u^{++}$ est l'idéal premier de $A$ correspondant, inclusion $A ⊆ K_u^+$ s'étend en une inclusion du localisé $A_{𝔭_u}$ dans l'anneau $K_u^+$ (car pour tout élément $b$ de $A∖ 𝔭_u$, @@ -2581,8 +2581,8 @@ associé est un isomorphisme de groupes topologiques. \begin{itemize} \item Dans (i), on demande que l'isomorphisme de \emph{groupes} $\sur{f}$ soit bicontinu c'est-à-dire, ici, d'inverse continu. Cette condition -n'est pas automatique : considérer le morphisme $G^{\mathrm{disc}} → G$, -où $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mathrm{disc}}$ le +n'est pas automatique : considérer le morphisme $G^{\mathtextrm{disc}} → G$, +où $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mathtextrm{disc}}$ le même groupe, muni de la topologie discrète. \item Le composé de deux morphismes stricts n'est pas nécessairement strict. \end{itemize} @@ -2811,30 +2811,30 @@ On le note $μ(f)$ ; la forme linéaire $f↦ μ(f)$ est une mesure de Radon \subsubsection{} \label{définition adèles} Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ(K)$ -l'ensemble des points et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble +l'ensemble des points et $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ l'ensemble cofini des points ultramétriques. La construction générale précédente nous permet de définir le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ(K)$, relativement -aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$. +aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$. C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪_{K,x}$ -pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée +pour $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée \textbf{anneau des adèles sur $K$}. Un élément de $K_𝐀$ est souvent noté $a=(a_x)$, ou parfois $a_𝐀$ pour éviter toute confusion avec un élément de $K$. \subsubsection{} \label{définition adèles ultramétriques} -On note aussi $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$) le produit restreint des -corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, relativement +On note aussi $K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}$) le produit restreint des +corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$, relativement aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ (resp. le produit fini des $K_x$ pour $x -∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \textbf{adèles ultramétriques} +∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \textbf{adèles ultramétriques} ou \textbf{finis} (resp. \textbf{archimédiens} ou \textbf{infinis}). \subsubsection{} \label{adèles principaux} Pour chaque $x ∈ Σ(K)$, le corps $K$ se plonge naturellement dans $K_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K$ -est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$. +est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$. Ainsi l'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{x ∈ Σ} K_x$ se factorise à travers l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite \emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$ @@ -2846,10 +2846,10 @@ pour les propriétés topologiques de cette inclusion.) \label{notation KAU} On prendra garde de ne pas confondre l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$, -pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$ +pour $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$ des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$. Lorsque cela ne semble pas prêter à confusion, -le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$ des \textbf{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ; +le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K))$ des \textbf{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ; il est \emph{compact} lorsque $K$ est un corps de fonctions. D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $𝒪_{K_𝐀} ∩ K =𝒪_K$ (\ref{U-entiers}). @@ -2975,7 +2975,7 @@ Pour montrer la compacité du quotient, il suffit de vérifier l'égalité $C + 𝐐 =𝐐_𝐀$. Par translation par un entier, il suffit de montrer que l'on a $\big(𝐑 × ∏_p 𝐙_p\big) + 𝐐 = 𝐐_𝐀$, -ou encore que le groupe additif quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr.}}(𝐐))$ +ou encore que le groupe additif quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐_𝐀(Σ^{\mathtextrm{ultr.}}(𝐐))$ est engendré par (l'image de) $𝐐$. Or, ce quotient est canoniquement isomorphe à la \emph{somme} directe $⨁_p 𝐐_p / 𝐙_p$, car l'anneau des adèles est un produit \emph{restreint}. Comme le morphisme @@ -3039,7 +3039,7 @@ Pour tout $a_𝐀 ∈ K_𝐀^×$, l'ensemble $K ∩ a_𝐀^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ es \end{corollaire2} Rappelons (\ref{notation KAU}) que $𝒪_{K_𝐀}$ est -le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} +le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝒪_{K,x}$, le premier facteur n'apparaissant pas lorsque $K$ est un corps de fonctions. @@ -3090,13 +3090,13 @@ et, par conséquent, $∏_y |λ|_y = ∏_x |\N_{L\bo K}(λ)|_x$. \subsubsection{} \label{définition idèles} Comme précédemment, on considère un corps global $K$, dont on note $Σ(K)$ -l'ensemble des points et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble +l'ensemble des points et $Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ l'ensemble cofini des points ultramétriques. La construction générale du §\ref{généralités produits restreints} nous permet de définir le produit restreint $K^×_𝐀$ des groupes multiplicatifs $K^×_x$ des corps -locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$). +locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$). C'est la colimite des groupes topologiques $K^×_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪^×_{K,x}$ -pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée +pour $U ⊆ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée \textbf{groupe des idèles sur $K$}. L'inclusion $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$ est \emph{continue} \XXX et son image est le groupe des éléments inversibles de l'anneau $K_𝐀$ des adèles. @@ -3186,7 +3186,7 @@ Les résultats établis permettent de conclure. \label{idèles principaux} Pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, le groupe $K^×$ se plonge naturellement dans $K^×_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K^×$ -est une unité en $x$ pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$. +est une unité en $x$ pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$. Ainsi l'inclusion diagonale $K^× ↪ ∏_{x ∈ Σ(K)} K^×_x$ se factorise à travers l'inclusion $K^× ↪ K^×_𝐀$, dite \emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K^×$ @@ -3247,7 +3247,7 @@ $\log_𝐀:f ↦ (\log(|f|_x))_{x ∉ U}$ de $𝒪_K(U)^×$ vers l'hyperplan $(⨁_{x ∉ U} 𝐑)⁰$ des éléments de somme nulle est un isomorphisme modulo les compacts et le groupe $𝒪_K(U)^×$ est isomorphe à la somme directe de $𝐙^r$, où $r = -\max\{\mathrm{card}( Σ(K)∖U)-1,0\}$, et d'un groupe abélien fini. +\max\{\mathtextrm{card}( Σ(K)∖U)-1,0\}$, et d'un groupe abélien fini. En particulier, si $K$ un corps de nombres, $r_{\RR},r_{\CC}$ sont les entiers tels que la $𝐑$-algèbre $K_𝐑=K\otimes_{\QQ} \RR$ se décompose en $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$, alors le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entiers $𝒪_K$ @@ -3414,8 +3414,8 @@ réelles $\Re(χ_x)$ sont toutes égales à $σ$. \subsubsection{Caractères de Hecke} \XXX \subsection{Groupes de Picard} -\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}} -\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}\nolimits} +\newcommand{\Div}{\mathop{\mathtextrm{Div}}} +\renewcommand{\div}{\mathop{\mathtextrm{div}}\nolimits} \subsubsection{} \label{définition diviseur} @@ -3439,7 +3439,7 @@ Les diviseurs dans le sous-groupe $\div_U(K^×)$ de $\Div(U)$ sont appelés \textbf{diviseurs principaux} (sur $U$). On appelle \textbf{groupe de Picard} de $U$, le quotient \[ -\Pic(U)=\Div(U)∕\div_U(K^×)=\mathrm{coker}(K^× → ⨁_u 𝐙). +\Pic(U)=\Div(U)∕\div_U(K^×)=\mathtextrm{coker}(K^× → ⨁_u 𝐙). \] D'après ce qui précède, on a un isomorphisme naturel, induit par $\div_U$, \[ @@ -3504,7 +3504,7 @@ plus précisément que le morphisme $K^{×,=1}_𝐀 → K^×_𝐀 / K^×_𝐀(X) c'est-à-dire que l'on a l'égalité $K^×_𝐀 = K^{×,=1}_𝐀 K^×_𝐀(X)$, ou encore, par translation multiplicative, qu'il existe des idèles dans $ K^×_𝐀(X)$ de norme arbitraire. Cela résulte de l'existence -d'une place archimédienne $∞ ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ +d'une place archimédienne $∞ ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)$ et de la surjectivité de la norme $K^×_∞ → 𝐑_{>0}$. [détailler \XXX] \end{démo} @@ -3588,7 +3588,7 @@ Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global. \subsubsection{Notations} \label{produit externe restreint} À toute collection $(f_x:K_x → 𝐂)_{x ∈ Σ(K)}$ de fonctions continues telles -que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ on ait +que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ on ait $f_x(𝒪_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction $\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x$ de $K_𝐀$ dans $𝐂$, produit externe restreint des $(f_x)$, @@ -3598,10 +3598,10 @@ $f_𝐀=(f_x)$, tout en gardant à l'esprit que la donnée de la fonction produi externe restreint $f_𝐀$ ne permet bien évidemment pas de retrouver les facteurs $f_x$. (Voir cependant \ref{caractères additifs QA} ci-dessous dans le cas de caractères.) Il est parfois commode de considérer la partie -archimédienne $f_{𝐀}^{\mathrm{arch}}:K_𝐀^{\mathrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini -des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, -et son analogue ultramétrique $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}:K_𝐀^{\mathrm{ultr}} → 𝐂$. -Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$. +archimédienne $f_{𝐀}^{\mathtextrm{arch}}:K_𝐀^{\mathtextrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini +des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$, +et son analogue ultramétrique $f_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}:K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}} → 𝐂$. +Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathtextrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$. \subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique} \commentaire{Bonne définition ? Kudla [Tate]/Weil [1964b]} @@ -3610,23 +3610,23 @@ On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients complexes de produits externes restreints $f_𝐀=(f_x)$ où chaque $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$ du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}), et $f_x = 𝟭_{𝒪_{K,x}}$ pour -presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$. +presque tout $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$. % cf. Kudla, « Tate's thesis » %p. 125, ces fonctions seraient en général seulement %\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz. %L'inclusion stricte ne pouvant se produire que pour %des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b] %p. 178 et p. 189. \XXX -Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions -$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} -𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ +Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions +$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} +𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls. Si $K$ est un corps de nombres, il résulte de \ref{cocompacité} (i) qu'il existe un élément $a ∈ K$ tel que $a-a_x$ appartienne à $𝒪_{K,x}$ -pour chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$. +pour chaque $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$. Dans ce cas, toute fonction $f_𝐀 ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison -linéaire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où $f^{\mathrm{ultr}}$ -est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝔪_x^{n_x}$ +linéaire de fonctions $f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ f^{\mathtextrm{ultr}}$, où $f^{\mathtextrm{ultr}}$ +est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝔪_x^{n_x}$ ($n_x=0$ pour presque tout $x$). \subsubsection{Caractères additifs $𝐐_𝐀$} @@ -3918,20 +3918,20 @@ où $ψ_{a}=[× a]^* ψ$. Explicitons maintenant cette construction dans deux ca particuliers. — Transformation de Fourier sur $𝐐_𝐀$. Considérons une -fonction $f^{\mathrm{arch}} ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$, un entier relatif +fonction $f^{\mathtextrm{arch}} ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$, un entier relatif $N∈ 𝐙-\{0\}$ et un rationnel $o ∈ 𝐐$. Il résulte des égalités $𝟭_{o_p+ N 𝐙_p}=[-o_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$, du formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii) et de la formule du produit $∏_p |N|_p=1/|N|$ que l'on a l'égalité \[ -ℱ_{ψ_𝐐}(f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})= -\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^{\mathrm{arch}}) \big) ⊠ -\big( [×o]^* ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big) \tag{$⋆$}, +ℱ_{ψ_𝐐}(f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})= +\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^{\mathtextrm{arch}}) \big) ⊠ +\big( [×o]^* ψ_𝐐^{\mathtextrm{ultr}} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big) \tag{$⋆$}, \] -où $ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis +où $ψ_𝐐^{\mathtextrm{ultr}}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis déduit de $ψ_𝐐$ et l'on rappelle que l'on note $\chap{𝐙}$ le complété profini $∏_p 𝐙_p = \lim_n 𝐙/n$ de $𝐙$. -Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N +Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}}$ satisfait la \emph{formule de Poisson adélique} \[ ∑_{λ ∈ 𝐐} f(λ)=∑_{λ ∈ 𝐐} ℱ_{ψ_𝐐}(f)(λ), \tag{$⋆⋆$} @@ -3939,12 +3939,12 @@ Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N En effet, compte tendu du calcul $(⋆)$ de la transformée de Fourier, la formule de Poisson à établir se réécrit : \[ -∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^{\mathrm{arch}}(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o) -\chap{f^{\mathrm{arch}}}(λ). +∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^{\mathtextrm{arch}}(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o) +\chap{f^{\mathtextrm{arch}}}(λ). \] Cette dernière résulte de la formule de Poisson archimédienne classique -appliquée à la fonction $φ(λ)=f^{\mathrm{arch}}(N λ + o)$, dont la transformée -de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^{\mathrm{arch}}}(\frac{λ}{N})$. +appliquée à la fonction $φ(λ)=f^{\mathtextrm{arch}}(N λ + o)$, dont la transformée +de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^{\mathtextrm{arch}}}(\frac{λ}{N})$. Par linéarité et l'observation faite en (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}), la formule de Poisson $(⋆⋆)$ est valable pour toute fonction $f ∈ 𝒮(𝐐_𝐀)$ ; c'est aussi un cas particulier de la formule \ref{Fourier adélique} établie ci-dessous. @@ -4036,7 +4036,7 @@ des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)). \subsubsection{Formule de Poisson : convergence normale sur les compacts} \label{lemme de convergence normale sur compacts} -\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}} +\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathtextrm{Supp}}} Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$. Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ K} |f(a_𝐀+λ)|$ converge uniformément sur $C$. On peut supposer que la fonction est un produit @@ -4058,37 +4058,37 @@ la somme considérée, restreinte au compact $C$, est une somme finie. ❧ Cas des corps de nombres. D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$ -de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où -$f^{\mathrm{ultr}}$ est la fonction caractéristique $𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$ +de la forme $f^{\mathtextrm{arch}} ⊠ f^{\mathtextrm{ultr}}$, où +$f^{\mathtextrm{ultr}}$ est la fonction caractéristique $𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$ de $o+𝔫𝒪_{K_𝐀}$, pour un $o ∈ K$ et un produit cartésien $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$ ($n_x=0$ pour presque tout $x$). Lorsque $a_𝐀$ appartient à $C$, les termes $f(a_𝐀+λ)$ de la somme sont nuls sauf peut-être si -$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}\big)$, -où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble -$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}). -(On note ici $(o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}$ l'image de l'application +$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathtextrm{ultr}}\big)$, +où $C^{\mathtextrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble +$K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}). +(On note ici $(o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathtextrm{ultr}}$ l'image de l'application soustraction, et non la différence ensembliste.) L'application $λ↦ o+𝔫 λ$ induisant une bijection de $K$ -ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$, -on peut supposer que $f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$. +ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathtextrm{ultr}}$, +on peut supposer que $f^{\mathtextrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$. Comme d'autre part cette fonction est majorée par $1$ en valeur absolue, il nous suffit de montrer la convergence uniforme de la somme \[ -a_𝐀^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})} -|f^{\mathrm{arch}}(a_𝐀^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})| +a_𝐀^{\mathtextrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathtextrm{ultr}})} +|f^{\mathtextrm{arch}}(a_𝐀^{\mathtextrm{arch}}+λ^{\mathtextrm{arch}})| \] -sur le compact $C^{\mathrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{x ∈ -Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x$. -(On note ici $λ^{\mathrm{arch}}$ l'image de $λ$ -dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$ par le plongement diagonal et -on rappelle que $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que +sur le compact $C^{\mathtextrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}=∏_{x ∈ +Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} K_x$. +(On note ici $λ^{\mathtextrm{arch}}$ l'image de $λ$ +dans $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}$ par le plongement diagonal et +on rappelle que $K_𝐀^{\mathtextrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que $𝐑$-algèbre, à $𝐑^N$ où $N=r_𝐂 + 2 r_𝐂$.) Il existe une famille $n_x$ d'entiers négatifs presque tous nuls tels -que le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ de $𝒪_{K_𝐀}=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} +que le compact $C^{\mathtextrm{ultr}}$ de $𝒪_{K_𝐀}=∏_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝒪_{K,x}$ soit contenu dans le produit cartésien $∏_x 𝔪_x^{n_x}$. -L'intersection $K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})$ est donc contenue +L'intersection $K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathtextrm{ultr}})$ est donc contenue dans l'idéal fractionnaire produit $I=∏_x 𝔪_x^{n_x}$ de $K$. On s'est donc ramené à montrer que pour toute fonction $φ ∈ 𝒮(K_𝐑)$, la série de fonctions $a ↦ ∑_{λ ∈ I} |φ(a+λ)|$ converge uniformément @@ -4376,7 +4376,7 @@ de Tamagawa locale définie en \ref{mesures Tamagawa locales} sur ce même corps Lorsque $x$ est ultramétrique, une condition nécessaire et suffisante sur $d_{ψ,x}$ est que sa valuation $x(d_{ψ,x})$ soit égale au niveau $n_x(ψ_x)$. En particulier (\ref{dual des classes de adèles}), -$|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un +$|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \textbf{idèle différentiel attaché à $ψ$}, \index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$. @@ -4429,8 +4429,8 @@ que l'on a : \[ |d_K| = \begin{cases} -\displaystyle |𝔡_K|^{-1} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\ -\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0, +\displaystyle |𝔡_K|^{-1} & \text{si } \car(K)=0\\ +\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \car(K)>0, \end{cases} \] où $𝔡_K$ est la différente (\refext{AVD-D}{différente}) du corps @@ -4441,8 +4441,8 @@ fonctions $K$, de corps des constantes de cardinal $q$. \label{Fourier de 1} Soit $K$ un corps global et posons \[ -𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠ -\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} +𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠ +\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big). \] Il résulte de ces formules locales précédentes que l'on @@ -4469,8 +4469,8 @@ $+$}}_{玉}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$ \sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K) = \begin{cases} -\displaystyle \sqrt{|𝔡_K|} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\ -\displaystyle \sqrt{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0, +\displaystyle \sqrt{|𝔡_K|} & \text{si } \car(K)=0\\ +\displaystyle \sqrt{q^{2g-2}} & \text{si } \car(K)>0, \end{cases} \] où l'on rappelle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ @@ -4495,8 +4495,8 @@ de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de Picard. Alors, \sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K) = \frac{h}{w}× \begin{cases} -\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\ -\displaystyle 1 & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0, +\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R & \text{si } \car(K)=0\\ +\displaystyle 1 & \text{si } \car(K)>0, \end{cases} \] où $C_K^{=1}=K^{×,=1}_𝐀/K^×$ et $R$ est le \emph{régulateur} défini @@ -4531,24 +4531,24 @@ la conclusion est acquise dans ce cas. Cas d'un corps de nombres. Pour calculer le volume du quotient $K^{×,=1}_𝐀/𝒪_K^×$, nous utilisons -maintenant l'application logarithme $\log_𝐀:K^×_𝐀 → ∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑$ +maintenant l'application logarithme $\log_𝐀:K^×_𝐀 → ∏_{y ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} 𝐑$ définie en \ref{theoreme-unites-Dirichlet} et -$μ^{\mathrm{arch}}$ la mesure image directe de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ par $\log_𝐀$. +$μ^{\mathtextrm{arch}}$ la mesure image directe de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ par $\log_𝐀$. Le noyau de la restriction à $𝒪_K^×$ de $\log_𝐀$ étant l'ensemble des racines de l'unité, de cardinal $w$, on a l'égalité \[ w ⋅ \sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}\big(K_𝐀^{×,=1}(X)/𝒪_K^×\big)= -\sur{μ}^{\mathrm{arch}}\Big(\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰)/\log_𝐀 𝒪_K^×\Big). +\sur{μ}^{\mathtextrm{arch}}\Big(\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰)/\log_𝐀 𝒪_K^×\Big). \] (Raisonner par exemple en terme de domaines fondamentaux.) Il résulte des définitions locales \ref{sorites mesures multiplicatives locales} ainsi que d'un calcul élémentaire immédiat \footnote{Précisément : $∫_{𝐑^×} f(\log(|x|))\frac{dx}{x}=2×∫_𝐑 f(y)dy$ et $∫_{𝐂^×} f(\log(|z|²))\frac{2dxdy}{|z|²} = 2π×∫_𝐑 f(r)dr$.} -que la mesure $μ^{\mathrm{arch}}$ est égale à $2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂}$ fois -la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace euclidien $𝐑^{Σ^{\mathrm{arch}}(K)}=𝐑^{r_𝐑 + r_𝐂}$. +que la mesure $μ^{\mathtextrm{arch}}$ est égale à $2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂}$ fois +la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace euclidien $𝐑^{Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)}=𝐑^{r_𝐑 + r_𝐂}$. Pour conclure, il nous faut vérifier que le covolume (usuel) -de $\log_𝐀(𝒪_K^×)$ dans $\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰$ est égal +de $\log_𝐀(𝒪_K^×)$ dans $\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰$ est égal au régulateur $R$. C'est essentiellement la définition. \end{démo} @@ -4587,9 +4587,9 @@ c'est-à-dire un ensemble cofini $U ⊆ X$ tel que l'anneau $𝒪_K(U)$ des $U$-entiers soit de corps des fractions $K$ (\ref{normalité triviale}, \ref{OKU Dedekind}), on a l'égalité tautologique \[ -ζ_K(s) = ζ_{𝒪_K(U)}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x ∈ X-U} ζ_{K_x}(s), +ζ_K(s) = ζ_{𝒪_K(U)}^{\mathtextrm{Hasse}}(s) × ∏_{x ∈ X-U} ζ_{K_x}(s), \] -où l'on note $ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{𝔪 ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1- \# κ(𝔪)^{-s}}$ +où l'on note $ζ_{A}^{\mathtextrm{Hasse}}(s)=∏_{𝔪 ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1- \# κ(𝔪)^{-s}}$ est la fonction zêta de Hasse d'un anneau $A$ et $κ(𝔪)$ le corps résiduel $A/𝔪$ (\refext{AC}{définition fonction zêta Hasse}). Cette égalité est conséquence formelle du fait @@ -4600,7 +4600,7 @@ telle que $q_x = N(𝔪_x)$. \subsubsection{Réécriture : corps de nombres} Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité \[ -ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞} N(𝔞)^{-s}, +ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathtextrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞} N(𝔞)^{-s}, \] où $𝔞$ parcourt l'ensemble des idéaux non nuls de l'anneau des entiers $𝒪_K$ et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient (fini) $𝒪_K ∕ 𝔞$. @@ -4714,12 +4714,12 @@ Z_{K_e}(T^e)= ∏_{μ ∈ μ_e(𝐂)} Z_K(μT). Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est commode d'introduire la \textbf{fonction zêta (de Dedekind) complétée} \[ -\sur{ζ}_K(s)=∏_{\clap {$\scriptstyle a ∈ Σ^{\mathrm{arch.}}(K)$}} ζ_{K_a} ⋅ ζ_K(s), +\sur{ζ}_K(s)=∏_{\clap {$\scriptstyle a ∈ Σ^{\mathtextrm{arch.}}(K)$}} ζ_{K_a} ⋅ ζ_K(s), \] où les fonctions zêta archimédiennes $ζ_𝐑$ et $ζ_𝐂$ sont les \textbf{facteurs Gamma} modifiés considérés en \ref{Mellin local archimédien}. Nous étendons cette définition au cas où $K$ est un corps de fonctions -en posant $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$ (cf. $Σ^{\mathrm{arch.}}(K)=∅$). +en posant $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$ (cf. $Σ^{\mathtextrm{arch.}}(K)=∅$). Nous verrons ci-dessous que cette fonction zêta se prolonge analytiquement en une fonction méromorphe satisfaisant l'équation fonctionnelle \[ @@ -4800,11 +4800,11 @@ $(x,y)=(\frac{\sin(u)}{\cos(v)},\frac{\sin(v)}{\cos(u)})$ a pour jacobien $(1-x²y²)$ et envoie le triangle \[T=\{u,v ∈ 𝐑_{>0}: u + v < π/2\}\] bijectivement sur l'intérieur du carré de sorte que -$∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= \mathrm{Aire}(T)$. +$∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= \mathtextrm{Aire}(T)$. En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$. \end{enumerate} %Cf. Zagier, « Quelques conséquences surprenantes de la -%cohomologie de $\mathrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposé au CEM. +%cohomologie de $\mathtextrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposé au CEM. %Calcul de $ζ(2)$ du à Calabi : cf. « Sums of generalized %harmonic series and volumes », 1993. \nocite{Sums@BCK} @@ -5016,7 +5016,7 @@ où $\dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s)=∫_{C_K^{≤1}} \dot{f} c χ ω_s d\dot{μ} $×$}}_{1}$, etc. Il résulte de la formule de Poisson (\ref{Fourier adélique} \ref{Poisson-Riemann-Roch}) et de la formule -$\mathrm{inv}^* c=1-c$, où $\mathrm{inv}(ι)=ι^{-1}$, +$\mathtextrm{inv}^* c=1-c$, où $\mathtextrm{inv}(ι)=ι^{-1}$, que l'on a : \[ ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) = @@ -5153,8 +5153,8 @@ Déduisons maintenant le théorème \ref{équation fonctionnelle zêta} du théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}. Comme en \ref{Fourier de 1}, considérons la fonction \[ -𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠ -\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big) +𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠ +\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathtextrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big) \] On a d'une part $ζ(𝟭_𝒪,ω_s)=\sur{ζ}_K(s)$ et, d'autre part, ${\chap{𝟭_𝒪}=|d_K|^{½} [×d_K]^* 𝟭_𝒪}$ (« formule de Riemann-Roch »). @@ -5219,7 +5219,7 @@ Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble $$ \{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in -\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\} +\mathsf{C}\text{ et } \N(\mathfrak{a})\leq t\} $$ soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$. \end{corollaire2} @@ -5267,17 +5267,17 @@ le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_ L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point de $A$ a une norme inférieure à $1$. Admettons que -$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$ +$$\mathtextrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$ Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$, -$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA) - \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$ +$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathtextrm{vol}(tA) + \geq 2^n \mathtextrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$ il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$. L'inégalité en résulte immédiatement. Effectuons le calcul volumique. Posons $$ -f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+ +f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+ 2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ \sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1), $$ @@ -5292,7 +5292,7 @@ $$ f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1). $$ Soit -$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}}, +$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}}, \sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+ \sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$ de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$. @@ -5351,7 +5351,7 @@ que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$. Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$, si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$, on a -$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$. +$\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$. Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$, en sommant le carré des deux égalités on trouve : $$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$ @@ -5362,7 +5362,7 @@ Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$, $(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$, on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus, $$ -\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big). +\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big). $$ Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$, et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire, @@ -5588,7 +5588,7 @@ le foncteur des $k$-places. Si le corps des constantes de $L$ égal à $k$ alors, pour tout $σ ∈ \Aut(L \bo k)$ stabilisant $K$, on a la formule de la moyenne : \[ -\# \\Fix\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big) +\# \Fix\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big) =\frac{1}{\# G} ∑_{γ ∈ G} \# \Fix\big(\Frob_k^{γ σ}|Y(\sur{k})\big). \] \end{proposition2} diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 48292c4..2b0478b 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \fi \makeatletter -\newcommand{\resol}[1][\@empty]{\ifx#1\@empty^{\mathrm{résol}}\else^{\mathrm{résol}\,#1}\fi} +\newcommand{\resol}[1][\@empty]{\ifx#1\@empty^{\mathtextrm{résol}}\else^{\mathtextrm{résol}\,#1}\fi} \makeatother \section{Extensions résolubles} diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex index 9b5c71f..321e8aa 100644 --- a/chapitres/spectre.tex +++ b/chapitres/spectre.tex @@ -162,9 +162,9 @@ quotient est, par construction, une injection. Puisque son image est une sous-$k$-algèbre de $k$, donc égale à $k$, $\bar{f}$ est un isomorphisme. L'idéal $𝔭_f$ est donc maximal. D'autre part, le morphisme composé $k→A↠A/𝔭_f→k$, où la première flèche est le morphisme structural -$\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est +$\mathtextrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est l'identité car $\Hom_k(k,k)=\{\Id\}$. L'isomorphisme -$A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant +$A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathtextrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant le quotient $A/𝔭_f$ de sa structure de $k$-algèbre naturelle. L'injectivité de l'application $田A(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente : le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex index 4d1b6da..d8b7826 100644 --- a/chapitres/verselles.tex +++ b/chapitres/verselles.tex @@ -776,17 +776,17 @@ et Les autres cas sont semblables. Nous allons « pousser » la relation $(\star)$ par le morphisme Galois-équivariant -\[𝐇^×(k_{Q₈})→\mathrm{SO}₃(k_{Q₈})\] +\[𝐇^×(k_{Q₈})→\SOrth₃(k_{Q₈})\] induit par la conjugaison sur les complexes imaginaires (cf. \refext{Azu}{quaternions inversibles}). (Rappelons que l'on souhaite montrer que deux formes quadratiques sur $k³$ sont équivalentes.) Soit $m_x$ l'image de $q_x$ par ce morphisme. Comme $τ_{-1}(m_x)=-m_x$, -cette matrice appartient au sous-groupe $\mathrm{SO}₃(k_{V₄})$ de -$\mathrm{SO}₃(k_{Q₈})$ : l'action de $\Gal(k_{Q₈}\bo k)$ sur +cette matrice appartient au sous-groupe $\SOrth₃(k_{V₄})$ de +$\SOrth₃(k_{Q₈})$ : l'action de $\Gal(k_{Q₈}\bo k)$ sur $m_x$ se factorise à travers $\Gal(k_{V₄}\bo k)$. D'autre part, l'image de $\sur{μ}=-μ$ (pour $μ∈\{\i,\j,\k\}$) -dans $\mathrm{SO}₃(\Im 𝐇(𝐙))⊆\mathrm{SO}₃(\Im 𝐇(k_{Q₈}))$ +dans $\SOrth₃(\Im 𝐇(𝐙))⊆\SOrth₃(\Im 𝐇(k_{Q₈}))$ est, par définition, la matrice de l'application de conjugaison $ι ↦ μιμ^{-1}=-μ ι μ$, où $ι$ est imaginaire. Cette application agit par l'identité sur $μ$ @@ -797,7 +797,7 @@ et de l'action de $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ sur les $b_\i,b_\j$ et $b_\k$ (cf. \ref{notations Witt non 2}) que la matrice $P=m_x^{-1}\diag(b_\i,b_\j,b_\k)∈\GL_3(k_{V₄})$ est $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ invariante donc appartient à $\GL₃(k)$. -Comme $m_x∈\mathrm{SO}₃(k_{V₄})$, on a +Comme $m_x∈\SOrth₃(k_{V₄})$, on a \[\transpose{P}P=\transpose{\diag(b_\i,b_\j,b_\k)}\diag(b_\i,b_\j,b_\k)=\diag(a_\i,a_\j,a_\k) ;\] les $k$-formes $⟨1,1,1⟩$ et $⟨a_\i,a_\j,a_\k⟩$ sont isomorphes. CQFD. @@ -812,7 +812,7 @@ trivial. On a donc $\Gal(k_{Q₈}\bo k(x))=\{1\}$, c'est-à-dire $k_{Q₈}=k(x)$ Soit $P∈\GL₃(k)$ une matrice telle que $\transpose{P}P=\diag(a_\i,a_\j,a_\k)$. Compte tenu de ce qui précède, il est naturel de considérer \[ -m_P=\diag(b_\i,b_\j,b_\k)⋅P^{-1}∈\mathrm{SO}₃(k_{V₄}). +m_P=\diag(b_\i,b_\j,b_\k)⋅P^{-1}∈\SOrth₃(k_{V₄}). \] Par construction $σ_μ(m_P)=g_μ⋅m_P$ pour tout $μ∈\{1,\i,\j,\k\}$. Soit $Ω$ une clôture séparable de $k_{V₄}$ et soit $q¹_P$ @@ -820,16 +820,16 @@ un relèvement de $m_P$ dans $𝐇^{N=1}(Ω)$ (cf. \refext{Azu}{quaternions et S Un tel élément est bien défini à multiplication par $±1$ près, comme il résulte de la suite exacte \[ -1 → μ₂(Ω)=\{±1\} → 𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω) → 1. +1 → μ₂(Ω)=\{±1\} → 𝐇^{N=1}(Ω) → \SOrth₃(Ω) → 1. \] -(Rappelons que $\Ker(𝐇^×(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω))=Ω^×$ et +(Rappelons que $\Ker(𝐇^×(Ω) → \SOrth₃(Ω))=Ω^×$ et que $N(λ)=λ²$ si $λ∈Ω⋅1⊆ 𝐇(Ω)$.) -L'image de l'orbite $\Gal(Ω\bo k)⋅q¹_P$ dans $\mathrm{SO}₃(Ω)$ +L'image de l'orbite $\Gal(Ω\bo k)⋅q¹_P$ dans $\SOrth₃(Ω)$ n'est autre que l'orbite $\Gal(k_{V₄}\bo k)⋅m_q$. D'après ce qui précède, cette dernière est de cardinal $4$ et l'action de $\Gal(k_{V₄}\bo k)$ -se fait par multiplication à gauche par les $g_μ$ qui appartiennent à $\mathrm{SO}₃(𝐙)$ +se fait par multiplication à gauche par les $g_μ$ qui appartiennent à $\SOrth₃(𝐙)$ et, plus précisément, à son sous-groupe diagonal, isomorphe à $V₄$. -Les fibres de $𝐇^{N=1}(Ω) → \mathrm{SO}₃(Ω)$ +Les fibres de $𝐇^{N=1}(Ω) → \SOrth₃(Ω)$ étant en bijection avec $μ₂(𝐙)=\{±1\}$, de cardinal $2$, il en résulte que l'action de $\Gal(Ω\bo k)$ sur $q_P¹$ se fait par multiplication à gauche par des éléments d'un sous-groupe de $𝐇^{N=1}(𝐙)=𝐇^×(𝐙)$ qui se surjecte sur $𝐇^×(𝐙)/\{±1\}≃V₄$. Un tel sous-groupe est égal à $𝐇^×(𝐙)$, par exemple parce que l'extension |