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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-11-15 11:52:41 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-11-15 11:52:41 +0100
commit141b064b50dcee59421c57c77fc8e9926a8d07f1 (patch)
treee2dd7ca366e65972390e763888c2485a472cad4f /chapitres
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[LG] caractères adéliques (suite)
À faire : définir résidu dans [AVD-D]
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex55
1 files changed, 29 insertions, 26 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 9116c56..5bb387b 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
+\documentclass[12pt]{../configuration/smfart}
\usepackage{palatino,euler}
\input{../configuration/commun}
@@ -40,7 +40,7 @@
%\textwidth16cm
%\hoffset-1.5cm
-\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
+%\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
\begin{document}
\begin{center}
@@ -799,7 +799,7 @@ Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.
sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 i π x)=e^{2 i π x}$.
% cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation.
-De même, \mbox{$p>0$} étant implicitement fixé, on note $ψ₀$
+De même, \mbox{$p>0$} étant implicitement fixé, on note $ψ_{𝐅_p}$
le caractère additif du corps fini $𝐅_p$ défini par $x ↦
𝐞(\frac{\tilde{x}}{p})$, où $\tilde{x}$ est un
relèvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.
@@ -810,7 +810,7 @@ Soit $K=𝐐_p$ (resp. $𝐑=𝐐_∞$, resp. $𝐅_p((t))$).
L'application \[𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\}_p),\] où $\{x\}_p$ désigne
l'unique rationnel $r$ (nécessairement dans $𝐙[1/p]$) tel que $0 ≤ r < 1$ et
$x-r ∈ 𝐙_p$ (resp. \[𝐞_∞:x ↦ 𝐞(-x),\] resp.
-\[𝐞_{p,t}:x ↦ ψ₀(\Res_t(x dt)),\]
+\[𝐞_{p,t}:x ↦ ψ_{𝐅_p}(\Res_t(x dt)),\]
où $\Res_t(∑_{-n}^{+∞} a_i t^i dt)=a_{-1}$) est un caractère
additif du corps $K$, de niveau nul.
@@ -823,7 +823,7 @@ premier ou $p=∞$) est l'adhérence de $𝐐$ dans $K$, le
caractère additif $𝐞_{K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps
résiduel $k$ et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme différentielle non nulle,
-le caractère additif $𝐞_{K,ω}: x ↦ ψ₀(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
+le caractère additif $𝐞_{K,ω}: x ↦ ψ_{𝐅_p}(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
— où $\Res$ est le résidu défini en \refext{AVD-D}{résidu
forme différentielle formelle} — est non trivial.
\end{enumerate}
@@ -2227,7 +2227,7 @@ Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
\label{Bruhat-Schwart adélique}
On note $𝒮(A_K)$ l'ensemble des combinaisons linéaires de produits
-externes restreints $f=⊠′_{x ∈ Σ(K)} f_x$ où chaque
+externes restreints $f=⊠′_{x ∈ Σ(K)} f_x$, où chaque
fonction $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}) % mettre des \bigboxtimes
et pour presque tout $x ∈ Σ^u(K)$,
@@ -2242,7 +2242,8 @@ Pour $f$ comme ci-dessus, on note $f^a$ (resp. $f^u$)
la fonction $⊠_{x ∈ Σ^a(K)} f_x : ∏_{x ∈ Σ^a(K)} K_x → 𝐂$
(resp. $⊠′_{x ∈ Σ^u(K)} f_x : ∏′_{x ∈ Σ^u(K)} K_x → 𝐂$,
où $∏′$ désigne le produit tensoriel restreint relativement
-aux sous-anneaux compacts $𝒪_x$, $x ∈ Σ^u(K)$).
+aux sous-anneaux compacts $𝒪_x$, $x ∈ Σ^u(K)$), envoyant
+une famille $(a_x)$ sur le produit $∏_x f_x(a_x)$.
Par construction, on a $f=f^a ⊠ f^u$.
La fonction $f^u$ est combinaison linéaire de fonctions
$⊠′_{x ∈ Σ^u(K)} 𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_x}$ où $(a_x) ∈ 𝐀^u_K$
@@ -2311,31 +2312,33 @@ local $𝐤_∞$ construit en \ref{exemples caractères additifs
locaux} : si $f ∈ 𝐤_∞$ s'écrit $f= ∑_{-∞}^{i = n} c_i t^i$,
$c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$, on pose
\[
-ψ_∞(f)=ψ₀(c_{-1})=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f).
-\]
-On en déduit un caractère continu du sous-anneau compact $∏_x 𝒪_{𝐤_x}$ des
-adèles par composition avec la projection sur $𝒪_{𝐤_∞}=𝐅_p[[t^{-1}]]$.
-Comme d'autre part $𝐀_𝐤=𝐤 + ∏_x 𝒪_{𝐤_x}$ (\ref{cocompacité}), on en déduit
-un caractère additif des adèles, trivial sur $𝐤$, que l'on
-note $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})$.
-
-Fait : $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$ pour $x ≠ ∞$.
-[BNT, p. 68] En d'autres termes, $ψ_𝐤$ est le produit externe restreint
-$⊠′_{x ∈ Σ(𝐤)} 𝐞_{𝐤_x,dt}$.
-
-Soit $x ≠ ∞$ une place de $𝐤$ et soit $ϖ_x$ le générateur
-unitaire de l'idéal maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant.
+ψ_∞(f)=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f)=ψ_{𝐅_p}(c_{-1}).
+\]
+Le caractère composé $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝒪_{𝐤_∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
+se factorise à travers la surjection $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝐀_𝐤 \bo 𝐤$ (\ref{cocompacité})
+car \mbox{$ψ_∞(𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤_∞})=\{1\}$}. On en déduit donc
+un caractère additif (continu) des adèles, trivial sur $𝐤$, que l'on
+note $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})$. Par construction, $ψ_{𝐤,x}$ est trivial
+sur $𝒪_{𝐤_x}$ pour chaque $x ≠ ∞$. Plus précisément,
+vérifions que pour un tel $x$, $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$.
+(En d'autres termes, $ψ_𝐤$ est le produit externe restreint
+$⊠′_{x ∈ Σ(𝐤)} 𝐞_{𝐤_x,dt}$.)
+Commençons par observer que le caractère $𝐞_{𝐤_x,dt}$ est également trivial sur $𝒪_{𝐤_x}$.
+En effet, […] \XXX Définir résidu dans [AVD-D]
+
+Soit $ϖ_x$ le générateur unitaire de l'idéal maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant.
Tout élément du complété $ϖ_x$-adique $𝐤_x$ s'écrit
de manière unique $∑_{i ≥ n} c_i(t) ϖ_x^i$, où $n ∈ 𝐙$
et $c_i(t) ∈ 𝐅_p[t]$ est un polynôme de degré strictement
-inférieur à $d_x=\deg(ϖ_x)$. Le caractère $ψ_{𝐤,x}$ étant
+inférieur à $d_x=\deg(ϖ_x)$. Le caractère $ψ_{𝐤,x}$ étant
trivial sur $𝒪_{𝐤_x}$ on constate en mettant les $c_i(t) ϖ_x^i$
-pour $i<0$ au même dénominateur
-que son étude se ramène \XXX au calcul des $ψ_{𝐤,x}(c_n(t) ϖ_x^n)$ pour $n<0$.
-[...]
+pour $i<0$ au même dénominateur qu'il faut
+suffit de montrer l'égalité $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$
+évaluée en des fractions rationnelles $a_r(t) ϖ_x^{-r}$ pour $r>0$, où $a_r(t)$
+est un polynôme de degré strictement inférieur à $r d_x$.
-Fait : le niveau de $𝐞_{𝐤_x,±dt}$ est nul.
+ \[⁂\]
Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐤$, $𝐀_𝐤 ≃ \chap{𝐀_𝐤}$
est un \emph{isomorphisme} et $𝐤$ est orthogonal à lui-même.