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author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-11-15 18:22:24 +0100 |
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[LG] réécriture énoncé théorème principal du chapitre
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 04108f5..12c6617 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4463,6 +4463,7 @@ Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}. \begin{théorème2} +\label{calcul volume idélique} Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de Picard. Alors, \[ @@ -4714,14 +4715,14 @@ Par définition et description des places de $𝐅_p(t)$, on a où $𝒫_p$ est l'ensemble des polynômes irréductibles unitaires de $𝐅_p[t]$ et $|f|=p^{-\deg(f)}$. Notons que le premier facteur s'identifie à la fonction -zêta de Hasse de l'anneau $𝐅_p[t]$ des entiers -hors de la place à l'infini $∞$. (Rappelons +zêta de Hasse de l'anneau $𝐅_p[t]$ des fractions rationnelles +entières hors de la place à l'infini $∞$. (Rappelons que la valuation correspondante est définie par le degré (en $t$) des fractions rationnelles.) Ce facteur se réécrit \[ ∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}= -∑_d \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}$ +∑_{d ≥ 0} \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}$ \] car il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$ dans $𝐅_p$. Ainsi, @@ -4730,12 +4731,12 @@ dans $𝐅_p$. Ainsi, Z_{𝐅_p(t)}(T)=\frac{1}{(1-T)(1-pT)}. \] Comme d'autre part le genre $g_{𝐅_p(t)}$ de $𝐅_p(t)$ est nul (\ref{genre droite projective}), -on a $|d_{𝐅_p(t)}|^½=p$ (\ref{Tamagawa et idèle différentiel}) +on a $|d_{𝐅_p(t)}|=p²$ (\ref{Tamagawa et idèle différentiel}) de sorte que, notant $K=𝐅_p(t)$, on a $|d_K|^{-s/2} ⋅ ζ_{K}(s)=\frac{-1}{(1-p^s)(1-p^{1-s})}$. Cette fonction est visiblement invariante par la substitution $s ↔ 1-s$, s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$ — c'est même une fonction rationnelle -en $p^{-s}$ — à pôles simples en $0$ et $1$ uniquement +en $p^{-s}$ — à pôles simples en $0$ et $1$ uniquement, et ayant un résidu en $s=1$ égal à $\frac{-1}{1-p}$. % colle bien avec le $-h_K/(1-q)$. @@ -4751,28 +4752,45 @@ Cette formule a été précédemment démontrée en \refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}. \end{exercice2} -\subsubsection{$𝐐(i)$} -$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7 - -\subsection{L'équation fonctionnelle de la fonction zêta : énoncé} -\label{énoncé équation fonctionnelle zêta} -Objectif : démontrer le théorème suivant. +\subsection{Prolongement analytique et équation fonctionnelle des fonctions zêta +de Dedekind} +\label{équation fonctionnelle zêta} \begin{théorème2} -La fonction $ζ_K$ converge absolument pour $\Re(s)>1$. -Prolongement méromorphe à $𝐂$ ayant un pôle simple en $1$ -et $0$ uniquement. Si $K$ est un corps de fonction, -$ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P -∈ 𝐙[t]$. Équation fonctionnelle : $\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)$ avec résidu en $1$ -égal à … ou $-h_K/(1-q)$. +Soit $K$ un corps global. +\begin{enumerate} +\item La fonction zêta $ζ_K$ de Dedekind de $K$ converge absolument pour +pour $\Re(s)>1$ et se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$ à pôles +simples uniquement en $0$ et $1$. +\item Soit $|d_K|$ la norme d'un idèle différentiel de $K$, +égale à $|𝒟_K|^{-1}$ ou $q^{2-2g}$ suivant que $K$ est un corps de nombre +de discriminant $𝒟_K$ ou un corps de fonctions de genre $g$ +et de corps des constantes de cardinal $q$. +Alors, la fonction zêta complétée $\sur{ζ}_K$ +satisfait l'équation fonctionnelle +\[ +\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)$ +\] +et a pour résidu $-μ π^{-r_𝐂}$ en $s=0$, où $μ$ est +la constante calculée en \ref{calcul volume idélique} et +$r_𝐂$ est le nombre de plongements de $K$ dans $𝐂$. +\item Si $K$ est un corps de fonctions de corps des constantes +de cardinal $q$, on a de plus $ζ_K(s)=Z_X(q^{-s})$ où +\[ +Z_X(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)} +\] +et $P(T) ∈ 𝐙[T]$ est un polynôme de degré $2g_K$. +\end{enumerate} \end{théorème2} -Nous allons commencer par démontrer un énoncé de nature plus générale -(\ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}). -Méthode \textsc{Iwasawa-Tate} (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}) -[BNT], pp. 120--130, Swinnerton-Dyer : « A brief guide to -algebraic number theory », Colmez (F.2.15), -et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5. +\subsubsection{}La démonstration de ce théorème occupe la suite de cette +section, où nous établirons un énoncé de nature plus générale +(\ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}), +suivant la méthode (adélique) de \textsc{Iwasawa-Tate} +(\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}). +%[BNT], pp. 120--130, Swinnerton-Dyer : « A brief guide to +%algebraic number theory », Colmez (F.2.15), +%et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5. \subsubsection{Mesures} Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère additif non trivial de $K_𝐀/K$. @@ -5026,6 +5044,10 @@ soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty Ce corollaire est le point clef permettant d'établir le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...]. + +\subsubsection{Exemple : $𝐐(i)$} +$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7 + \section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications} \subsection{Le théorème de Minkowski} |