[LG] réécriture énoncé théorème principal du chapitre

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@@ -4463,6 +4463,7 @@ Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du
 théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.
 
 \begin{théorème2}
+\label{calcul volume idélique}
 Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines
 de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de Picard. Alors,
 \[
@@ -4714,14 +4715,14 @@ Par définition et description des places de $𝐅_p(t)$, on a
 où $𝒫_p$ est l'ensemble des polynômes irréductibles
 unitaires de $𝐅_p[t]$ et $|f|=p^{-\deg(f)}$.
 Notons que le premier facteur s'identifie à la fonction
-zêta de Hasse de l'anneau $𝐅_p[t]$ des entiers
-hors de la place à l'infini $∞$. (Rappelons
+zêta de Hasse de l'anneau $𝐅_p[t]$ des fractions rationnelles
+entières hors de la place à l'infini $∞$. (Rappelons
 que la valuation correspondante est définie par
 le degré (en $t$) des fractions rationnelles.)
 Ce facteur se réécrit
 \[
 ∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}=
-∑_d \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}$
+∑_{d ≥ 0} \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}$
 \]
 car il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$
 dans $𝐅_p$. Ainsi,
@@ -4730,12 +4731,12 @@ dans $𝐅_p$. Ainsi,
 Z_{𝐅_p(t)}(T)=\frac{1}{(1-T)(1-pT)}.
 \]
 Comme d'autre part le genre $g_{𝐅_p(t)}$ de $𝐅_p(t)$ est nul (\ref{genre droite projective}),
-on a $|d_{𝐅_p(t)}|^½=p$ (\ref{Tamagawa et idèle différentiel})
+on a $|d_{𝐅_p(t)}|=p²$ (\ref{Tamagawa et idèle différentiel})
 de sorte que, notant $K=𝐅_p(t)$, on a
 $|d_K|^{-s/2} ⋅ ζ_{K}(s)=\frac{-1}{(1-p^s)(1-p^{1-s})}$.
 Cette fonction est visiblement invariante par la substitution $s ↔ 1-s$,
 s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$ — c'est même une fonction rationnelle
-en $p^{-s}$ — à pôles simples en $0$ et $1$ uniquement
+en $p^{-s}$ — à pôles simples en $0$ et $1$ uniquement,
 et ayant un résidu en $s=1$ égal à $\frac{-1}{1-p}$.
 % colle bien avec le $-h_K/(1-q)$.
 
@@ -4751,28 +4752,45 @@ Cette formule a été précédemment démontrée
 en \refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.
 \end{exercice2}
 
-\subsubsection{$𝐐(i)$}
-$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
-
-\subsection{L'équation fonctionnelle de la fonction zêta : énoncé}
-\label{énoncé équation fonctionnelle zêta}
-Objectif : démontrer le théorème suivant.
+\subsection{Prolongement analytique et équation fonctionnelle des fonctions zêta
+de Dedekind}
+\label{équation fonctionnelle zêta}
 
 \begin{théorème2}
-La fonction $ζ_K$ converge absolument pour $\Re(s)>1$.
-Prolongement méromorphe à $𝐂$ ayant un pôle simple en $1$
-et $0$ uniquement. Si $K$ est un corps de fonction,
-$ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
-∈ 𝐙[t]$. Équation fonctionnelle : $\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)$ avec résidu en $1$
-égal à … ou $-h_K/(1-q)$.
+Soit $K$ un corps global.
+\begin{enumerate}
+\item La fonction zêta $ζ_K$ de Dedekind de $K$ converge absolument pour
+pour $\Re(s)>1$ et se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$ à pôles
+simples uniquement en $0$ et $1$.
+\item Soit $|d_K|$ la norme d'un idèle différentiel de $K$,
+égale à $|𝒟_K|^{-1}$ ou $q^{2-2g}$ suivant que $K$ est un corps de nombre
+de discriminant $𝒟_K$ ou un corps de fonctions de genre $g$
+et de corps des constantes de cardinal $q$.
+Alors, la fonction zêta complétée $\sur{ζ}_K$
+satisfait l'équation fonctionnelle
+\[
+\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)$
+\]
+et a pour résidu $-μ π^{-r_𝐂}$ en $s=0$, où $μ$ est
+la constante calculée en \ref{calcul volume idélique} et
+$r_𝐂$ est le nombre de plongements de $K$ dans $𝐂$.
+\item Si $K$ est un corps de fonctions de corps des constantes
+de cardinal $q$, on a de plus $ζ_K(s)=Z_X(q^{-s})$ où
+\[
+Z_X(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}
+\]
+et $P(T) ∈ 𝐙[T]$ est un polynôme de degré $2g_K$.
+\end{enumerate}
 \end{théorème2}
 
-Nous allons commencer par démontrer un énoncé de nature plus générale
-(\ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}).
-Méthode \textsc{Iwasawa-Tate} (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})
-[BNT], pp. 120--130, Swinnerton-Dyer : « A brief guide to
-algebraic number theory », Colmez  (F.2.15),
-et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.
+\subsubsection{}La démonstration de ce théorème occupe la suite de cette
+section, où nous établirons un énoncé de nature plus générale
+(\ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}),
+suivant la méthode (adélique) de \textsc{Iwasawa-Tate}
+(\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}).
+%[BNT], pp. 120--130, Swinnerton-Dyer : « A brief guide to
+%algebraic number theory », Colmez  (F.2.15),
+%et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.
 
 \subsubsection{Mesures}
 Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère additif non trivial de $K_𝐀/K$.
@@ -5026,6 +5044,10 @@ soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty
 Ce corollaire est le point clef permettant d'établir
 le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].
 
+
+\subsubsection{Exemple : $𝐐(i)$}
+$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
+
 \section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications}
 
 \subsection{Le théorème de Minkowski}