[Radicaux] Algorithme de calcul des expressions des racines en radicaux: cas de la caractéristique p>0.

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@@ -1576,20 +1576,20 @@ sous-groupes de $G$ avec $G_{u+1}$ distingué dans $G_u$ et
 $G_u/G_{u+1}$ cyclique d'ordre $m_u$ engendré par un élément
 représenté par un élément $\tau_u$ de $G_u$.  Par récurrence sur $u$,
 nous montrons qu'on peut calculer des expressions par radicaux
-d'éléments du sous-corps de $E$ fixé par $G_u$.  Pour $u=0$, un
+d'éléments du sous-corps $E_u$ de $E$ fixé par $G_u$.  Pour $u=0$, un
 élément de $E$ fixé par $G_0 = G$ est un élément de $k$, et la
 représentation choisie est transparente (c'est-à-dire que dans
 $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ on verra cet élément comme $c \cdot 1$ avec $c
 \in k$ et $1$ le monôme unité).  Si maintenant le problème est de
-calculer une expression par radicaux de $\gamma \in E$ fixé par
-$G_{u+1}$, on calcule les valeurs dans $E$ des sommes de Lagrange
-$\alpha_j = \sum_{i=0}^{m_u-1} \zeta^{ij} {\tau_u}^i(\gamma)$, où
-$\zeta$ est une racine primitive $m_u$-ième de l'unité dans $k$ (par
-exemple $\omega^{N/m_u}$ avec $\omega$ une racine primitive $N$-ième
-fixée une fois pour toutes).  Puisque $\tau_u$ est connu comme
-permutation des $Z_i$, ces $\alpha_j$ sont explicitement calculables
-dans $E = k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$.  Comme les
-$(\alpha_j)^{m_u/\pgcd(j,m_u)}$ sont stables par $G_{u+1}$ et
+calculer une expression par radicaux de $\gamma \in E_{u+1}$
+(c'est-à-dire, fixé par $G_{u+1}$), on calcule les valeurs dans $E$
+des sommes de Lagrange $\alpha_j = \sum_{i=0}^{m_u-1} \zeta^{ij}
+{\tau_u}^i(\gamma)$, où $\zeta$ est une racine primitive $m_u$-ième de
+l'unité dans $k$ (par exemple $\omega^{N/m_u}$ avec $\omega$ une
+racine primitive $N$-ième fixée une fois pour toutes).  Puisque
+$\tau_u$ est connu comme permutation des $Z_i$, ces $\alpha_j$ sont
+explicitement calculables dans $E = k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$.  Comme les
+$(\alpha_j)^{m_u/\pgcd(j,m_u)}$ sont fixés par $G_{u+1}$ et
 $\tau_u$, donc par $G_u$, l'hypothèse de récurrence assure qu'on sait
 en calculer explicitement une expression en radicaux.  On peut donc
 écrire $\alpha_j$ comme une racine de cette quantité, ce qui en donne
@@ -1661,6 +1661,44 @@ décomposition de $\Phi_N \times f$ sur $k$, c'est-à-dire le corps de
 décomposition de $f$ sur $k'$.  Le choix de $J$ équivaut ici au calcul
 du groupe de Galois de $f$ sur $k'$.
 
+\subsubsection{Cas de caractéristique $p$} On se place maintenant dans
+le cas d'un corps de caractéristique $p > 0$.  Les méthodes décrites
+ci-dessus fonctionnent encore, sauf lorsqu'un des groupes cycliques
+$G_u/G_{u+1}$ est d'ordre $m_u$ multiple de $p$.  Quitte à raffiner la
+décomposition de $G$, on peut d'ailleurs supposer $m_u = p$
+exactement, ce que nous ferons.  On note $\tau = \tau_u$ un élément de
+$G$ qui engendre $G_u$ modulo $G_{u+1}$ (i.e., d'ordre $p$ modulo
+$G_{u+1}$).
+
+Il convient tout d'abord de déterminer un élément $z$ de $E_{u+1} :=
+\Fix_{G_{u+1}}(E)$ (le corps fixe par $G_{u+1}$) dont la trace $\Tr(z)
+:= \sum_{i=0}^{p-1} \tau^i(z)$ ne soit pas nulle.  Un tel élément
+existe toujours (cf. \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net}), et on
+pourra donc en trouver, par exemple, en parcourant une base de
+$E_{u+1}$ comme $k$-espace vectoriel et en calculant la trace de
+chacun de ses élément ; ou bien, si on ne connaît pas de base de
+$E_{u+1}$, en considérant une base de $E$ comme $k$-espace vectoriel,
+et en calculant la trace vers $E_u$, soit $\sum_{\sigma \in G_u}
+\sigma(\alpha)$, de chacun de ses éléments $\alpha$, sachant qu'il y
+aura nécessairement un $\alpha$ pour lequel elle sera non-nulle et
+alors $z := \sum_{\sigma \in G_{u+1}} \sigma(\alpha)$ sera dans
+$E_{u+1}$ et aura une trace $\sum_{i=0}^{p-1} \tau^i(z)$ non nulle.
+
+Quitte à diviser $z$ par sa trace (on rappelle (\XXX) qu'on sait
+algorithmiquement calculer des divisions dans $E$), on peut supposer
+que $\Tr(z) := \sum_{i=0}^{p-1} \tau^i(z) = 1$.  On pose alors $y :=
+\sum_{i=0}^{p-1} i \tau^i(z)$.  Alors $\wp(y) := y^p - y$ est fixé par
+($G_{u+1}$ et) par $\tau$ donc par $G_u$, donc on sait en donner une
+expression en radicaux (c'est l'hypothèse de récurrence), ce qui
+permet d'écrire $y$ comme une racine $\wp$-ième.  Par ailleurs, $y$,
+étant de degré $p$ sur $E_u$, engendre $E_{u+1}$ sur ce dernier.
+Ainsi, si $x$ est un élément quelconque de $E_{u+1}$ (i.e., fixé par
+$G_{u+1}$), on peut l'écrire $\sum_{i=0}^{p-1} c_i y^i$, et les
+coefficients sont calculables
+(d'après \ref{resolution-equations-cycliques-cas-artin-schreier} \XXX)
+comme $c_i = -\Tr(x y^{p-1-i})$ sauf $c_0 = -\Tr(x y^{p-1}) + \Tr(x)$.
+On a donc écrit $x$ en radicaux, ce qui complète la récurrence.
+
 
 
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