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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-11-22 17:09:05 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-11-22 17:09:05 +0100 |
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[Radicaux] Algorithme de calcul des expressions des racines en radicaux: cas de la caractéristique p>0.
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-rw-r--r-- | chapitres/radicaux.tex | 58 |
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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 5fbdf53..64ba2cd 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -1576,20 +1576,20 @@ sous-groupes de $G$ avec $G_{u+1}$ distingué dans $G_u$ et $G_u/G_{u+1}$ cyclique d'ordre $m_u$ engendré par un élément représenté par un élément $\tau_u$ de $G_u$. Par récurrence sur $u$, nous montrons qu'on peut calculer des expressions par radicaux -d'éléments du sous-corps de $E$ fixé par $G_u$. Pour $u=0$, un +d'éléments du sous-corps $E_u$ de $E$ fixé par $G_u$. Pour $u=0$, un élément de $E$ fixé par $G_0 = G$ est un élément de $k$, et la représentation choisie est transparente (c'est-à-dire que dans $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ on verra cet élément comme $c \cdot 1$ avec $c \in k$ et $1$ le monôme unité). Si maintenant le problème est de -calculer une expression par radicaux de $\gamma \in E$ fixé par -$G_{u+1}$, on calcule les valeurs dans $E$ des sommes de Lagrange -$\alpha_j = \sum_{i=0}^{m_u-1} \zeta^{ij} {\tau_u}^i(\gamma)$, où -$\zeta$ est une racine primitive $m_u$-ième de l'unité dans $k$ (par -exemple $\omega^{N/m_u}$ avec $\omega$ une racine primitive $N$-ième -fixée une fois pour toutes). Puisque $\tau_u$ est connu comme -permutation des $Z_i$, ces $\alpha_j$ sont explicitement calculables -dans $E = k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$. Comme les -$(\alpha_j)^{m_u/\pgcd(j,m_u)}$ sont stables par $G_{u+1}$ et +calculer une expression par radicaux de $\gamma \in E_{u+1}$ +(c'est-à-dire, fixé par $G_{u+1}$), on calcule les valeurs dans $E$ +des sommes de Lagrange $\alpha_j = \sum_{i=0}^{m_u-1} \zeta^{ij} +{\tau_u}^i(\gamma)$, où $\zeta$ est une racine primitive $m_u$-ième de +l'unité dans $k$ (par exemple $\omega^{N/m_u}$ avec $\omega$ une +racine primitive $N$-ième fixée une fois pour toutes). Puisque +$\tau_u$ est connu comme permutation des $Z_i$, ces $\alpha_j$ sont +explicitement calculables dans $E = k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$. Comme les +$(\alpha_j)^{m_u/\pgcd(j,m_u)}$ sont fixés par $G_{u+1}$ et $\tau_u$, donc par $G_u$, l'hypothèse de récurrence assure qu'on sait en calculer explicitement une expression en radicaux. On peut donc écrire $\alpha_j$ comme une racine de cette quantité, ce qui en donne @@ -1661,6 +1661,44 @@ décomposition de $\Phi_N \times f$ sur $k$, c'est-à-dire le corps de décomposition de $f$ sur $k'$. Le choix de $J$ équivaut ici au calcul du groupe de Galois de $f$ sur $k'$. +\subsubsection{Cas de caractéristique $p$} On se place maintenant dans +le cas d'un corps de caractéristique $p > 0$. Les méthodes décrites +ci-dessus fonctionnent encore, sauf lorsqu'un des groupes cycliques +$G_u/G_{u+1}$ est d'ordre $m_u$ multiple de $p$. Quitte à raffiner la +décomposition de $G$, on peut d'ailleurs supposer $m_u = p$ +exactement, ce que nous ferons. On note $\tau = \tau_u$ un élément de +$G$ qui engendre $G_u$ modulo $G_{u+1}$ (i.e., d'ordre $p$ modulo +$G_{u+1}$). + +Il convient tout d'abord de déterminer un élément $z$ de $E_{u+1} := +\Fix_{G_{u+1}}(E)$ (le corps fixe par $G_{u+1}$) dont la trace $\Tr(z) +:= \sum_{i=0}^{p-1} \tau^i(z)$ ne soit pas nulle. Un tel élément +existe toujours (cf. \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net}), et on +pourra donc en trouver, par exemple, en parcourant une base de +$E_{u+1}$ comme $k$-espace vectoriel et en calculant la trace de +chacun de ses élément ; ou bien, si on ne connaît pas de base de +$E_{u+1}$, en considérant une base de $E$ comme $k$-espace vectoriel, +et en calculant la trace vers $E_u$, soit $\sum_{\sigma \in G_u} +\sigma(\alpha)$, de chacun de ses éléments $\alpha$, sachant qu'il y +aura nécessairement un $\alpha$ pour lequel elle sera non-nulle et +alors $z := \sum_{\sigma \in G_{u+1}} \sigma(\alpha)$ sera dans +$E_{u+1}$ et aura une trace $\sum_{i=0}^{p-1} \tau^i(z)$ non nulle. + +Quitte à diviser $z$ par sa trace (on rappelle (\XXX) qu'on sait +algorithmiquement calculer des divisions dans $E$), on peut supposer +que $\Tr(z) := \sum_{i=0}^{p-1} \tau^i(z) = 1$. On pose alors $y := +\sum_{i=0}^{p-1} i \tau^i(z)$. Alors $\wp(y) := y^p - y$ est fixé par +($G_{u+1}$ et) par $\tau$ donc par $G_u$, donc on sait en donner une +expression en radicaux (c'est l'hypothèse de récurrence), ce qui +permet d'écrire $y$ comme une racine $\wp$-ième. Par ailleurs, $y$, +étant de degré $p$ sur $E_u$, engendre $E_{u+1}$ sur ce dernier. +Ainsi, si $x$ est un élément quelconque de $E_{u+1}$ (i.e., fixé par +$G_{u+1}$), on peut l'écrire $\sum_{i=0}^{p-1} c_i y^i$, et les +coefficients sont calculables +(d'après \ref{resolution-equations-cycliques-cas-artin-schreier} \XXX) +comme $c_i = -\Tr(x y^{p-1-i})$ sauf $c_0 = -\Tr(x y^{p-1}) + \Tr(x)$. +On a donc écrit $x$ en radicaux, ce qui complète la récurrence. + \ifx\danslelivre\undefined |