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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-10-12 16:14:30 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-10-12 16:14:30 (GMT)
commit1952e8ea08394bd02f5c392905aae8259ba16c14 (patch)
tree1caab3d4112931850b139196085068f76f02cd2a /chapitres
parent782aae0ce45cb81c9f0e98d97ed1e1713593dcdf (diff)
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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex67
1 files changed, 59 insertions, 8 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index dd820cf..968275d 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1658,12 +1658,13 @@ Gröbner), et pourtant leur produit $Z_2^2 + Z_2 Z_1 + Z_2 - Z_1^4 -
Z_1^3 + 3 Z_1^2 + 2 Z_1 - 2$ appartient à $I$ (il s'écrit comme $q_2 -
Z_1 q_3$).
-On verra en fait (\XXX) que, si $f$ est un polynôme unitaire
-irréductible séparable de degré $d$, son algèbre de décomposition
-universelle est un corps si et seulement si le groupe de Galois de $f$
-est $\mathfrak{S}_d$, et plus généralement le sous-groupe des
-permutations des variables préservant un idéal premier fixé
-contenant $I$ est justement le groupe de Galois de $f$.
+On verra en fait (en \ref{section-calcul-galois-par-base-de-groebner}
+ci-dessous) que, si $f$ est un polynôme unitaire irréductible
+séparable de degré $d$, son algèbre de décomposition universelle est
+un corps si et seulement si le groupe de Galois de $f$ est
+$\mathfrak{S}_d$, et plus généralement le sous-groupe des permutations
+des variables préservant un idéal premier fixé contenant $I$ est
+justement le groupe de Galois de $f$.
\end{remarque2}
Comme on vient de le dire, il ne suffit pas (pour $I$ un idéal, même
@@ -1811,7 +1812,7 @@ K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$ est surjectif, autrement dit que
$\tilde I$ est en position nette par rapport à $Y$.
\end{proof}
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{existence-combinaison-lineaire-nette-des-variables}
Soit $I$ un idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où
$k$ est un corps parfait infini. Alors il existe $c_1,\ldots,c_d \in
k$ tel que l'idéal de $k[Y,Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ et $Y -
@@ -1968,7 +1969,9 @@ revient exactement à calculer le groupe de Galois de $f$.
\end{exemple2}
-\subsection{Application au calcul d'un groupe de Galois}
+\section{Quelques applications}
+
+\subsection{Application au calcul d'un groupe de Galois}\label{section-calcul-galois-par-base-de-groebner}
\subsubsection{} Plaçons-nous dans la situation suivante : $f \in
k[X]$ est un polynôme unitaire séparable de degré $d$ sur un corps
@@ -2022,6 +2025,7 @@ une variable à coefficients dans $k$), on sait tester si ce groupe de
Galois est $\mathfrak{S}_d$ (en testant si $I$ est premier).
\end{algorithme2}
+\begin{remarque2}
L'algorithme qu'on vient de présenter est à peu près équivalent au
calcul du groupe de Galois par le moyen des résolvantes
(\refext{Calculs}{strategie-algorithmique-generale-calcul-groupes-de-galois})
@@ -2031,8 +2035,55 @@ pas inclus dans tel ou tel groupe (disons, s'il est égal à
$\mathfrak{S}_d$) mais qu'on va plus loin pour le connaître
exactement, au prix de calculs de bases de Gröbner éventuellement très
lourds.
+\end{remarque2}
+
+\begin{remarque2}
+Au cours de l'application de l'algorithme qu'on vient de présenter, si
+on a utilisé la
+proposition \ref{existence-combinaison-lineaire-nette-des-variables}
+pour trouver une combinaison $k$-linéaire $c_1 Z_1 + \cdots + c_d Z_d$
+des indéterminées par rapport à laquelle l'ideal $I$ (donc aussi $J$)
+soit en position nette, alors l'image modulo $J$ de cette combinaison
+$c_1 Z_1 + \cdots + c_d Z_d$, c'est-à-dire la combinaison
+correspondante, dans $K$, des racines de $f$, fournit un \emph{élément
+ primitif} de $K$.
+\end{remarque2}
+
+
+\subsection{Application au calcul de racines d'un polynôme}
+\subsubsection{} Plaçons-nous de nouveau dans la situation suivante : $f \in
+k[X]$ est un polynôme unitaire séparable de degré $d$ sur un corps
+$k$, et $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est son algèbre de décomposition
+universelle telle qu'introduite
+en \ref{section-algebre-de-decomposition-universelle}. Si maintenant
+$E$ est un corps extension de $k$ et dans lequel $f$ est scindé, la
+donnée des racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$ dans $E$ définit un
+morphisme $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I \to E$ (envoyant $Z_i$ modulo $I$ sur
+$\xi_i$ dans $E$).
+
+À un tel niveau de généralité, on ne peut pas donner un sens précis à
+ce qu'on veut dire par « calculer les $\xi_i$ », mais on peut
+néanmoins donner une technique souvent intéressante dans ce contexte :
+il s'agit de trouver une expression $\eta = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ en
+les $\xi_i$, où $P \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$ qui soit d'une certaine
+manière plus simple à calculer (le sens précis dépendant du type de
+calcul qu'on cherche à mener) ; on peut alors séparer le calcul de la
+façon suivante : d'abord calculer l'idéal d'élimination sur la
+variable $Y$ de l'idéal $\tilde I = I + (Y-P)$ de
+$k[Y,Z_1,\ldots,Z_d]$, ce qui fournit un polynôme $R_P$ annulateur de
+$\eta$, trouver les racines de $R_P$ dans $E$ et identifier celle qui
+est $\eta$, puis travailler dans l'algèbre
+$k(\eta)[Z_1,\ldots,Z_d]/\hat I$ où cette fois $\hat I = I + (P -
+\eta)$. On appliquera typiquement cette idée avec $P$ un polynôme qui
+soit « partiellement » symétrique en les $Z_j$ : on verra dans le
+chapitre \refext{Calculs}{} que $R_P$ est une « résolvante » (\XXX) et
+dans le chapitre \refext{Radicaux}{} que prendre $P = \sum \zeta^{ij}
+\xi_j$, où $\zeta$ est une racine $d$-ième de l'unité, peut s'avérer
+intéressant.
+
+\XXX --- Tout ceci est assez vaseux.