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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-05-04 16:47:16 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-05-04 16:47:16 +0200
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[calculs] Remarques, et plusieurs TODO, sur le calcul des résolvantes.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex61
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index 35b5586..e799998 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1473,9 +1473,10 @@ grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
\subsection{Utilisation de la notion de résolvante}
-La notion de résolvante nous permet d'esquisser la stratégie générale
-suivante pour le calcul algorithmique en pratique du groupe de Galois
-d'un polynôme $f$ séparable irréductible de degré $d$ :
+\subsubsection{Stratégie algorithmique} La notion de résolvante nous
+permet d'esquisser la stratégie générale suivante pour le calcul
+algorithmique en pratique du groupe de Galois d'un polynôme $f$
+séparable irréductible de degré $d$ :
\begin{itemize}
@@ -1522,6 +1523,60 @@ d'un polynôme $f$ séparable irréductible de degré $d$ :
\end{itemize}
+\begin{remarque2}
+Dans la stratégie ci-dessus, à l'étape de calcul de $R_P(f)$, on
+\emph{ne} procède généralement \emph{pas} en calculant la résolvante
+générale $R_P$ (comme polynômes des fonctions symétriques
+élémentaires), mais plutôt en calculant $R_P(f) =
+\prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
+(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}))$ en partant d'une valeur
+approchée des racines $\xi_i$ de $f$ (disons pour fixer les idées que
+$f \in \QQ[X]$). Comme il est important d'avoir une valeur exacte de
+$R_P(f)$, le plus évident est de s'arranger pour que le polynôme
+unitaire $f$ soit dans $\ZZ[X]$ (quitte à multiplier toutes ses
+racines par un dénominateur commun, ce qui ne change pas le groupe de
+Galois) et pour que $P$ soit aussi à coefficients entiers (quitte à en
+chasser les dénominateurs), de sorte que les racines
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de $R_P(f)$ seront des
+entiers algébriques et donc que $R_P(f)$ soit à coefficients entiers ;
+dès lors, en calculant ces coefficients de façon approchée et en
+garantissant cette précision, on peut en déduire une valeur exacte.
+(Cette observation a déjà été faite, sur des cas particulier, au
+chapitre \refext{ExG}{}.)
+
+La même remarque vaut évidemment pour une résolvante dans un
+sous-groupe $\mathfrak{G}$ (dont on se sera assuré préalablement qu'il
+contient le groupe de Galois de $f$) : ceci justifie qu'il n'est pas
+très utile de disposer d'une définition de résolvante générale
+$R_{\mathfrak{G},P}$ dans $\mathfrak{G}$, seule important la valeur
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ prise sur le polynôme $f$.
+
+En supposant connue du lecteur la notion de base de Gröbner d'idéaux
+de polynômes, voici une autre manière dont on pourrait, en principe,
+approcher le calcul de $R_P(f)$ ou $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sans faire
+appel à des calculs en précision limitée (mais garantie) : dans
+l'anneau $K[Z_1,\ldots,Z_d]$, calculer une base de Gröbner $B$ de
+l'idéal $\mathfrak{I}$ engendré par les relations
+$\sigma_i(Z_1,\ldots,Z_d) = (-1)^i a_i$ où $\sigma_i$ est la $i$-ième
+fonction symétrique élémentaire de $Z_1,\ldots,Z_d$ et $a_i$ est le
+coefficient de degré $d-i$ de $f$ ; puis, pour chaque degré $j$,
+calculer le coefficient de degré $j$ de $R_{\mathfrak{G},P} =
+\prod_{\sigma\in\mathfrak{G}/H}
+(X-P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}))$ (c'est-à-dire, au signe
+près, la $j$-ième fonction symétrique élémentaire des
+$P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$), et réduire modulo $B$, ce
+qui doit donner un résultat dans $K$, i.e., indépendant
+de $Z_1,\ldots,Z_d$.
+\end{remarque2}
+
+\XXX TODO : Calcul des $R_P(f)$ avec des résultants, cf. p. 25--26 du
+lire \textit{Generic Polynomials} de Jensen, Ledet \& Yui.
+
+\XXX TODO : Résultats garantissant la séparabilité de $R_P(f)$,
+notamment le lemme 1.2.2 p. 23 de ce livre, et un résultat à trouver
+expliquant qu'il existe toujours une transformation de Tschirnhaus $f
+\mapsto f^\$$ pour laquelle $R_P(f^\$)$ soit séparable.
+
\section{Calculs en petits degrés}