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authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-09 14:43:50 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-09 14:43:50 +0100
commit2160568e0beeec1363184b643d70b9c7549384b7 (patch)
tree920fd81a0dcd8a423da00c5a7ec73feb24e33a28 /chapitres
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[calculs] Tentative de désembrouillage entre groupes de Galois contenus dans D_4 exactement ou à conjugaison près.
Ça reste malheureusement encore assez confus, j'en ai peur.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex81
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 4727686..0654753 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2251,11 +2251,16 @@ conjugaison près), on a déjà suggéré en \ref{exemples-resolvantes}
d'utiliser la résolvante relativement à $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$, à
savoir $R_P(f) = X^3 - a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4 a_4) X + (- a_1 ^2 a_4 -
a_3^2 + 4 a_2 a_4)$ : lorsque $R_P(f)$ est séparable, elle admet une
-racine dans $k$ si et seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est
-inclus dans un des conjugués de $D_4$ dans $\mathfrak{S}_4$.
-Remarquons que, dans ce cas, $R_P(f)$ est scindé si et seulement si
-$G$ est inclus dans l'intersection des conjugués de $D_4$
-dans $\mathfrak{S}_4$, qui est $C_2 \times C_2$.
+racine $\pi$ dans $k$ si et seulement si le groupe de Galois $G$
+de $f$ est inclus dans un des conjugués de $D_4$
+dans $\mathfrak{S}_4$. Quitte à renuméroter les racines de façon que
+la racine $\pi$ choisie vaille $\xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4$, on peut
+alors supposer que le groupe de Galois est bien inclus dans $D_4$
+(plutôt que simplement dans un de ses conjugués). À ce sujet,
+remarquons que, (toujours en supposant ce polynôme séparable),
+$R_P(f)$ est scindé si et seulement si $G$ est inclus dans
+l'intersection des conjugués de $D_4$ dans $\mathfrak{S}_4$, qui vaut
+$C_2 \times C_2$.
Il reste à trouver un moyen de distinguer les situations où le groupe
de Galois de $f$ est inclus dans $C_4$. Il est facile de trouver un
@@ -2265,7 +2270,7 @@ précisément $C_4$ : le polynôme $F = Z_1^2 Z_2 + Z_2^2 Z_3 + Z_3^2 Z_4
$R_F(f)$ : en supposant que celle-ci est séparable, elle admet une
racine dans $k$ si et seulement si $f$ a un groupe de Galois inclus.
L'expression générale de $R_F(f)$ dans les coefficients de $f$ est
-malheureusement fort compliquée : $R_F(f) = X^6 + 2 (a_1 a_2 - 3 a_3)
+cependant fort compliquée : $R_F(f) = X^6 + 2 (a_1 a_2 - 3 a_3)
X^5 + (a_1^2 a_2^2 + 2 a_1^3 a_3 + 2 a_2^3 - 17 a_1 a_2 a_3 + a_1^2
a_4 + 24 a_3^2 - 8 a_2 a_4) X^4 + 2 (a_1^4 a_2 a_3 + a_1^5 a_4 + a_1
a_2^4 - 5 a_1^2 a_2^2 a_3 - 4 a_1^3 a_3^2 - 5 a_1^3 a_2 a_4 - 4 a_2^3
@@ -2303,35 +2308,39 @@ a_2^2 a_3^2 a_4^2 + 416 a_1 a_3^3 a_4^2 + 256 a_1 a_2 a_3 a_4^3 - 320
a_3^2 a_4^3)$. Même s'il n'est pas nécessaire d'utiliser cette
expression pour calculer $R_F(f)$ (on a déjà souligné que le plus
simple est de calculer $R_F(f)$ directement à partir d'une
-approximation numérique des racines de $f$), il est intéressant de
+approximation numérique des racines de $f$ ou au moyen de bases de
+Gröbner, cf. \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche} et
+\ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), il est intéressant de
chercher à considérer plutôt une résolvante relative en se plaçant
dans le cas où on sait déjà que $f$ a un groupe de Galois contenu
dans $D_4$ (ce qu'on voudra de toute façon tester au préalable).
Si on suppose d'avance que $f$ a un groupe de Galois contenu
-dans $D_4$, on peut considérer la résolvante relative $R_{D_4,F}(f)$ :
-lorsqu'elle est séparable, elle admet une racine dans $k$ si et
-seulement si $f$ a un groupe de Galois inclus dans $C_4$ (donc en fait
-égal à $C_4$ si $f$ est irréductible). Une différence par rapport aux
-situations précédentes est qu'il n'est pas évident de donner une
-expression « générale » de $R_{D_4,F}$, faute de choix évident de
-notations pour $\Fix_{D_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$ comme le sont les
-fonctions symétriques élémentaires (ou les coefficients de $f$) pour
-$\Fix_{\mathfrak{S}_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$. On peut cependant faire
-le choix suivant : le corps $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ est une
-extension de degré $(\mathfrak{S}_4 : D_4) = 3$ de
-$\Fix_{\mathfrak{S}_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et peut être engendrée par
-l'élément $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$ dont le polynôme minimal est donné
-précisément par la résolvante générale $R_P$ explicitée plus haut.
-Les éléments de $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et, en particulier,
-les coefficients de la résolvante relative $R_{D_4,F}$ peuvent donc
-s'exprimer au moyen des fonctions symétriques élémentaires et de $P$,
-et même comme combinaisons de $1,P,P^2$ avec des coefficients
-totalement symétriques. Si on note $\pi$ l'expression $\xi_1 \xi_3
-+ \xi_2 \xi_4$ en les racines de $f$ (c'est-à-dire, la valeur de $P$
-sur celles-ci), on va donc pouvoir exprimer les coefficients de
-$R_{D_4,F}(f)$ comme des combinaisons de $1,\pi,\pi^2$ avec des
-coefficients fonctions rationnelles de $a_1,a_2,a_3,a_4$.
+dans $D_4$, donc que $R_P(f)$ a une racine $\pi = \xi_1 \xi_3 + \xi_2
+\xi_4$ dans $k$, on peut considérer la résolvante relative
+$R_{D_4,F}(f)$ : lorsque celle-ci est séparable, elle admet une racine
+dans $k$ si et seulement si $f$ a un groupe de Galois inclus
+dans $C_4$ (donc en fait égal à $C_4$ si $f$ est irréductible). Une
+différence par rapport aux situations précédentes est qu'il n'est pas
+évident de donner une expression « générale » de $R_{D_4,F}$, faute de
+choix évident de notations pour $\Fix_{D_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$ comme
+le sont les fonctions symétriques élémentaires (ou les coefficients
+de $f$) pour $\Fix_{\mathfrak{S}_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$. On peut
+cependant faire le choix suivant : le corps $\Fix_{D_4}
+k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ est une extension de degré $(\mathfrak{S}_4 : D_4)
+= 3$ de $\Fix_{\mathfrak{S}_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et peut être
+engendrée par l'élément $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$ dont le polynôme
+minimal est donné précisément par la résolvante générale $R_P$
+explicitée plus haut. Les éléments de $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$
+et, en particulier, les coefficients de la résolvante relative
+$R_{D_4,F}$ peuvent donc s'exprimer au moyen des fonctions symétriques
+élémentaires et de $P$, et même comme combinaisons de $1,P,P^2$ avec
+des coefficients totalement symétriques. Si on note $\pi$
+l'expression $\xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4$ en les racines de $f$
+(c'est-à-dire, la valeur de $P$ sur celles-ci), dont l'appartenance à
+$k$ témoigne du fait que $G \leq D_4$, on va donc pouvoir exprimer les
+coefficients de $R_{D_4,F}(f)$ comme des combinaisons de $1,\pi,\pi^2$
+avec des coefficients fonctions rationnelles de $a_1,a_2,a_3,a_4$.
De fait, l'expression de $R_{D_4,F}(f)$ est la suivante :
$R_{D_4,F}(f) = X^2 + (a_1 a_2 - 2 a_3 - a_1 \pi) X + (a_1^3 a_3 -
@@ -2365,11 +2374,13 @@ est séparable et tester si elle a une racine dans $k$ : si ce n'est
pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus dans $D_4$ (et
\textit{a fortiori} pas dans $C_4$) ; si c'est le cas, on sait au
moins que le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_4$ : appeler
-$\pi$ la racine trouvée ; (ii) calculer $R_{D_4,F}(f)$ en utilisant
-l'expression ci-dessus en fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_4$
-de $f$ et de la racine $\pi$ qu'on vient de calculer (ou, de nouveau,
-par l'une des méthodes de \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche}
-ou \ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), vérifier que
+$\pi$ la racine trouvée (et, si on compte s'en servir dans l'étape
+suivante, renuméroter les racines de façon que $\pi = \xi_1 \xi_3 +
+\xi_2 \xi_4$) ; (ii) calculer $R_{D_4,F}(f)$ en utilisant l'expression
+ci-dessus en fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_4$ de $f$ et de
+la racine $\pi$ qu'on vient de calculer (ou, de nouveau, par l'une des
+méthodes de \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche} ou
+\ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), vérifier que
$R_{D_4,F}(f)$ est séparable et tester si elle a une racine dans $k$ :
si ce n'est pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus
dans $C_4$, tandis que si c'est le cas, il l'est. Si l'une des deux