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author | David A. Madore <david@procyon> | 2011-12-09 14:43:50 +0100 |
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committer | David A. Madore <david@procyon> | 2011-12-09 14:43:50 +0100 |
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[calculs] Tentative de désembrouillage entre groupes de Galois contenus dans D_4 exactement ou à conjugaison près.
Ça reste malheureusement encore assez confus, j'en ai peur.
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-rw-r--r-- | chapitres/calculs-galois.tex | 81 |
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index 4727686..0654753 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -2251,11 +2251,16 @@ conjugaison près), on a déjà suggéré en \ref{exemples-resolvantes} d'utiliser la résolvante relativement à $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$, à savoir $R_P(f) = X^3 - a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4 a_4) X + (- a_1 ^2 a_4 - a_3^2 + 4 a_2 a_4)$ : lorsque $R_P(f)$ est séparable, elle admet une -racine dans $k$ si et seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est -inclus dans un des conjugués de $D_4$ dans $\mathfrak{S}_4$. -Remarquons que, dans ce cas, $R_P(f)$ est scindé si et seulement si -$G$ est inclus dans l'intersection des conjugués de $D_4$ -dans $\mathfrak{S}_4$, qui est $C_2 \times C_2$. +racine $\pi$ dans $k$ si et seulement si le groupe de Galois $G$ +de $f$ est inclus dans un des conjugués de $D_4$ +dans $\mathfrak{S}_4$. Quitte à renuméroter les racines de façon que +la racine $\pi$ choisie vaille $\xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4$, on peut +alors supposer que le groupe de Galois est bien inclus dans $D_4$ +(plutôt que simplement dans un de ses conjugués). À ce sujet, +remarquons que, (toujours en supposant ce polynôme séparable), +$R_P(f)$ est scindé si et seulement si $G$ est inclus dans +l'intersection des conjugués de $D_4$ dans $\mathfrak{S}_4$, qui vaut +$C_2 \times C_2$. Il reste à trouver un moyen de distinguer les situations où le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $C_4$. Il est facile de trouver un @@ -2265,7 +2270,7 @@ précisément $C_4$ : le polynôme $F = Z_1^2 Z_2 + Z_2^2 Z_3 + Z_3^2 Z_4 $R_F(f)$ : en supposant que celle-ci est séparable, elle admet une racine dans $k$ si et seulement si $f$ a un groupe de Galois inclus. L'expression générale de $R_F(f)$ dans les coefficients de $f$ est -malheureusement fort compliquée : $R_F(f) = X^6 + 2 (a_1 a_2 - 3 a_3) +cependant fort compliquée : $R_F(f) = X^6 + 2 (a_1 a_2 - 3 a_3) X^5 + (a_1^2 a_2^2 + 2 a_1^3 a_3 + 2 a_2^3 - 17 a_1 a_2 a_3 + a_1^2 a_4 + 24 a_3^2 - 8 a_2 a_4) X^4 + 2 (a_1^4 a_2 a_3 + a_1^5 a_4 + a_1 a_2^4 - 5 a_1^2 a_2^2 a_3 - 4 a_1^3 a_3^2 - 5 a_1^3 a_2 a_4 - 4 a_2^3 @@ -2303,35 +2308,39 @@ a_2^2 a_3^2 a_4^2 + 416 a_1 a_3^3 a_4^2 + 256 a_1 a_2 a_3 a_4^3 - 320 a_3^2 a_4^3)$. Même s'il n'est pas nécessaire d'utiliser cette expression pour calculer $R_F(f)$ (on a déjà souligné que le plus simple est de calculer $R_F(f)$ directement à partir d'une -approximation numérique des racines de $f$), il est intéressant de +approximation numérique des racines de $f$ ou au moyen de bases de +Gröbner, cf. \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche} et +\ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), il est intéressant de chercher à considérer plutôt une résolvante relative en se plaçant dans le cas où on sait déjà que $f$ a un groupe de Galois contenu dans $D_4$ (ce qu'on voudra de toute façon tester au préalable). Si on suppose d'avance que $f$ a un groupe de Galois contenu -dans $D_4$, on peut considérer la résolvante relative $R_{D_4,F}(f)$ : -lorsqu'elle est séparable, elle admet une racine dans $k$ si et -seulement si $f$ a un groupe de Galois inclus dans $C_4$ (donc en fait -égal à $C_4$ si $f$ est irréductible). Une différence par rapport aux -situations précédentes est qu'il n'est pas évident de donner une -expression « générale » de $R_{D_4,F}$, faute de choix évident de -notations pour $\Fix_{D_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$ comme le sont les -fonctions symétriques élémentaires (ou les coefficients de $f$) pour -$\Fix_{\mathfrak{S}_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$. On peut cependant faire -le choix suivant : le corps $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ est une -extension de degré $(\mathfrak{S}_4 : D_4) = 3$ de -$\Fix_{\mathfrak{S}_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et peut être engendrée par -l'élément $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$ dont le polynôme minimal est donné -précisément par la résolvante générale $R_P$ explicitée plus haut. -Les éléments de $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et, en particulier, -les coefficients de la résolvante relative $R_{D_4,F}$ peuvent donc -s'exprimer au moyen des fonctions symétriques élémentaires et de $P$, -et même comme combinaisons de $1,P,P^2$ avec des coefficients -totalement symétriques. Si on note $\pi$ l'expression $\xi_1 \xi_3 -+ \xi_2 \xi_4$ en les racines de $f$ (c'est-à-dire, la valeur de $P$ -sur celles-ci), on va donc pouvoir exprimer les coefficients de -$R_{D_4,F}(f)$ comme des combinaisons de $1,\pi,\pi^2$ avec des -coefficients fonctions rationnelles de $a_1,a_2,a_3,a_4$. +dans $D_4$, donc que $R_P(f)$ a une racine $\pi = \xi_1 \xi_3 + \xi_2 +\xi_4$ dans $k$, on peut considérer la résolvante relative +$R_{D_4,F}(f)$ : lorsque celle-ci est séparable, elle admet une racine +dans $k$ si et seulement si $f$ a un groupe de Galois inclus +dans $C_4$ (donc en fait égal à $C_4$ si $f$ est irréductible). Une +différence par rapport aux situations précédentes est qu'il n'est pas +évident de donner une expression « générale » de $R_{D_4,F}$, faute de +choix évident de notations pour $\Fix_{D_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$ comme +le sont les fonctions symétriques élémentaires (ou les coefficients +de $f$) pour $\Fix_{\mathfrak{S}_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$. On peut +cependant faire le choix suivant : le corps $\Fix_{D_4} +k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ est une extension de degré $(\mathfrak{S}_4 : D_4) += 3$ de $\Fix_{\mathfrak{S}_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et peut être +engendrée par l'élément $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$ dont le polynôme +minimal est donné précisément par la résolvante générale $R_P$ +explicitée plus haut. Les éléments de $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ +et, en particulier, les coefficients de la résolvante relative +$R_{D_4,F}$ peuvent donc s'exprimer au moyen des fonctions symétriques +élémentaires et de $P$, et même comme combinaisons de $1,P,P^2$ avec +des coefficients totalement symétriques. Si on note $\pi$ +l'expression $\xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4$ en les racines de $f$ +(c'est-à-dire, la valeur de $P$ sur celles-ci), dont l'appartenance à +$k$ témoigne du fait que $G \leq D_4$, on va donc pouvoir exprimer les +coefficients de $R_{D_4,F}(f)$ comme des combinaisons de $1,\pi,\pi^2$ +avec des coefficients fonctions rationnelles de $a_1,a_2,a_3,a_4$. De fait, l'expression de $R_{D_4,F}(f)$ est la suivante : $R_{D_4,F}(f) = X^2 + (a_1 a_2 - 2 a_3 - a_1 \pi) X + (a_1^3 a_3 - @@ -2365,11 +2374,13 @@ est séparable et tester si elle a une racine dans $k$ : si ce n'est pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus dans $D_4$ (et \textit{a fortiori} pas dans $C_4$) ; si c'est le cas, on sait au moins que le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_4$ : appeler -$\pi$ la racine trouvée ; (ii) calculer $R_{D_4,F}(f)$ en utilisant -l'expression ci-dessus en fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_4$ -de $f$ et de la racine $\pi$ qu'on vient de calculer (ou, de nouveau, -par l'une des méthodes de \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche} -ou \ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), vérifier que +$\pi$ la racine trouvée (et, si on compte s'en servir dans l'étape +suivante, renuméroter les racines de façon que $\pi = \xi_1 \xi_3 + +\xi_2 \xi_4$) ; (ii) calculer $R_{D_4,F}(f)$ en utilisant l'expression +ci-dessus en fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_4$ de $f$ et de +la racine $\pi$ qu'on vient de calculer (ou, de nouveau, par l'une des +méthodes de \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche} ou +\ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), vérifier que $R_{D_4,F}(f)$ est séparable et tester si elle a une racine dans $k$ : si ce n'est pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus dans $C_4$, tandis que si c'est le cas, il l'est. Si l'une des deux |