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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-07 17:31:06 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-07 17:31:06 (GMT)
commit22990d95fb43b8caa30a4c1d17e0c66c796fe70f (patch)
tree7eecfeb52e5ee15c11164510c07cd337b16429f3 /chapitres
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Encore du nettoyage d'utilisation des polices.
Pour les catégories, on essaiera d'utiliser \categ{...} pour une variable (C, D, etc.) et \categmot{...} pour une abréviation (Ens, Alg, Mod, etc.).
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/Dedekind.tex2
-rw-r--r--chapitres/brauer.tex6
-rw-r--r--chapitres/categories.tex14
-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex18
-rw-r--r--chapitres/formes-tordues.tex40
-rw-r--r--chapitres/krull.tex2
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex2
-rw-r--r--chapitres/spectre.tex2
-rw-r--r--chapitres/verselles.tex2
9 files changed, 44 insertions, 44 deletions
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex
index 8217ad3..0148bb1 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -280,7 +280,7 @@ ou Weil [BNT] IV. th. 7.
$𝐀/𝐀(D)+K$ est de dimension finie.
\end{théorème2}
-Remarque : ce quotient est $𝖧¹(C,𝒪(D))$.
+Remarque : ce quotient est $H¹(C,𝒪(D))$.
\begin{définition2}
$g=\dim_k(𝐀/𝐀(0)+K)$.
diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex
index ee28b8b..f753fb8 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -1487,7 +1487,7 @@ On dit aussi parfois que $M$ est \emph{irréductible}.
\begin{théorème2}[Lemme de Schur]\label{lemme de Schur}
Soient $A$ un anneau et $M$ un $A$-module simple. L'anneau
-$D=\End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(M)$ est un \emph{corps gauche}.
+$D=\End_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(M)$ est un \emph{corps gauche}.
\end{théorème2}
\begin{démo}
@@ -2014,8 +2014,8 @@ des matrices de vecteurs colonnes
$(φ(E_{1,1})v,…,φ(E_{n,1})v)$ où $v$ parcourt $A^n$,
ou bien $L_φ$, le résultat étant le même%\footnote{On vérifie
%sans peine que pour tout $A$-module $L$, l'application
-%naturelle $\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(L^n,A^n) →
-%\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(L,𝐌_n(A))$
+%naturelle $\Hom_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(L^n,A^n) →
+%\Hom_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(L,𝐌_n(A))$
%associant à $ι$ l'application linéaire $λ:l ↦
%\big(ι(l₁),ι(l₂),…,ι(l_n)\big)$,
%où $l_i ∈ L^n$ a une unique composante non nulle égale à $l$ en position $i$,
diff --git a/chapitres/categories.tex b/chapitres/categories.tex
index 38d264b..f91c04c 100644
--- a/chapitres/categories.tex
+++ b/chapitres/categories.tex
@@ -624,13 +624,13 @@ foncteurs covariants) constitue un foncteur covariant.
\begin{exemple2}
Si $A$ est un anneau (commutatif), l'application qui à un $A$-module
-$M$ associe son dual $M^\vee = \Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(M,A)$ et
+$M$ associe son dual $M^\vee = \Hom_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(M,A)$ et
à un morphisme $u \colon M \to N$ (qu'on peut voir comme un morphisme
dans l'autre sens dans la catégorie opposée à celle des $A$-modules)
associe sa transposée $u^\vee \colon N^\vee \to M^\vee$ (définie par
$u^\vee(\lambda) = \lambda\circ u$ pour toute forme linéaire $\lambda
\in N^\vee$) constitue un foncteur contravariant de la catégorie
-$A\traitdunion\categ{Mod}$ des $A$-modules vers elle-même (le
+$A\traitdunion\categmot{Mod}$ des $A$-modules vers elle-même (le
\emph{foncteur dual}).
La composée de ce foncteur contravariant avec lui-même est le
@@ -2034,7 +2034,7 @@ qu'ensemble\footnote{Selon la solution adoptée pour les problèmes
d'objets de $\Ens$ indicée par les objets ou par les flèches
de $\categ{I}$.}, ou même simplement équivalente à une catégorie
« petite » : alors tout système projectif $P\colon \categ{I} \to
-\categ{Ens}$ admet une limite.
+\Ens$ admet une limite.
Plus précisément, si $\categ{I}$ est une catégorie « petite » et
$P\colon\categ{I} \to\Ens$ un foncteur, alors $\prlim P$ peut être
@@ -2646,12 +2646,12 @@ L'exemple d'adjonction suivant est archétypique et illustre le slogan
libre'' » :
\begin{exemple2}\label{exemple-adjonction-groupe-abelien-libre}
-Soit $\ZZ\traitdunion\categ{Mod}$ la catégorie des groupes abéliens et
+Soit $\ZZ\traitdunion\categmot{Mod}$ la catégorie des groupes abéliens et
$\Ens$ la catégorie des ensembles. Soit $G\colon
-\ZZ\traitdunion\categ{Mod} \to \Ens$ le foncteur d'oubli (qui envoie
+\ZZ\traitdunion\categmot{Mod} \to \Ens$ le foncteur d'oubli (qui envoie
un groupe abélien sur son ensemble sous-jacent et un morphisme de
groupes abéliens sur l'application d'ensembles sous-jacente), et soit
-$F\colon \Ens \to \ZZ\traitdunion\categ{Mod}$ le foncteur qui à un
+$F\colon \Ens \to \ZZ\traitdunion\categmot{Mod}$ le foncteur qui à un
ensemble $X$ associe le groupe abélien $\ZZ^{(X)}$ (groupe abélien
libre sur $X$) des applications $X \to \ZZ$ à support fini
(c'est-à-dire, nulles sauf sur un nombre fini d'éléments de $X$) et à
@@ -2661,7 +2661,7 @@ $F(h)\colon \ZZ^{(X')} \to \ZZ^{(X)}$ envoyant $\alpha\colon X'\to\ZZ$
\alpha(x')$ (la somme étant prise sur l'ensemble des $x' \in X'$ tels
que $h(x')=x$). Soit enfin, si $X$ est un ensemble et $Y$ un groupe
abélien, $\theta(X,Y) \colon
-\Hom_{\ZZ\traitdunion\categ{Mod}}(\ZZ^{(X)}, Y) \to \Hom_{\Ens}(X, Y)$
+\Hom_{\ZZ\traitdunion\categmot{Mod}}(\ZZ^{(X)}, Y) \to \Hom_{\Ens}(X, Y)$
l'application ensembliste qui à une application un morphisme $u\colon
\ZZ^{(X)}\to Y$ de groupes abéliens associe l'application $x\mapsto
u(\delta_x)$ où $\delta_x \colon X \to \ZZ$ vaut $1$ en $x$ et $0$
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index 7dbf307..3ab4b4d 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -427,7 +427,7 @@ car potentiellement diagonalisable.
Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne.
Les automorphismes $g∈G=\Hom_k(K,K)$,
vus comme éléments du $K$-espace vectoriel
-$\End_{k\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K)$, sont $K$-linéairement indépendants.
+$\End_{k\traitdunion\categmot{e.v}}(K)$, sont $K$-linéairement indépendants.
\end{corollaire2}
Pour une généralisation, cf. exercice \ref{théorème de Dedekind}.
@@ -464,9 +464,9 @@ on obtient une relation de dépendance non triviale, qui
\begin{démo}[Troisième démonstration (esquisse)]
Il suffit de démontrer ce résultat après extension des scalaires de $k$ à $K$.
Il résulte de la proposition précédente que pour chaque $g∈G$,
-l'élément $g⊗_k K$ de $\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K⊗_k K)$
-correspond, via l'isomorphisme $\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(K⊗_k K)⥲
-\End_{K\traitdunion\mathtextrm{ev}}(\Hom_{\Ens}(G,K))$ à l'opérateur
+l'élément $g⊗_k K$ de $\End_{K\traitdunion\categmot{e.v}}(K⊗_k K)$
+correspond, via l'isomorphisme $\End_{K\traitdunion\categmot{e.v}}(K⊗_k K)⥲
+\End_{K\traitdunion\categmot{e.v}}(\Hom_{\Ens}(G,K))$ à l'opérateur
de \emph{translation} :
\[
T_g:(x_h)_{h∈G}↦(x_{hg})_{h∈G}.
@@ -630,7 +630,7 @@ automorphismes} :
\begin{quote}
Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre.
L'ensemble $田A(k')$ est une partie $k'$-libre de
-$\Hom_{k\traitdunion\mathtextrm{ev}}(A,k')$.
+$\Hom_{k\traitdunion\categmot{e.v}}(A,k')$.
\end{quote}
(On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois
et l'isomorphisme $田A(k')⥲田A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie
@@ -764,7 +764,7 @@ $⟨x,g(y)⟩= δ_{g,1}$ pour tout $g ∈ G$, où $⟨,⟩$ est la forme
bilinéaire euclidienne usuelle et $g(y)=(g(y₁), …,g(y_n))$.
\item Le $A$-module $B$ est projectif de type fini et
-le morphisme $ι:B\{G\} → \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
+le morphisme $ι:B\{G\} → \End_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
est un isomorphisme, où $B\{G\}$ est l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$.
@@ -868,7 +868,7 @@ pseudo-torseurs} (ii), les morphismes naturels
$B_i ⊗_A C → C^G$ sont des $C$-isomorphismes.
D'autre part, $C$ étant fidèlement plate
sur $A$, une application $A$-linéaire $f ∈
-\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B₁,B₂)$ est un isomorphisme
+\Hom_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(B₁,B₂)$ est un isomorphisme
si et seulement si $f ⊗_A C$ l'est.
Il suffit donc de montrer que tout $A$-morphisme $G$-équivariant
de $A^G$ vers $A^G$ est un isomorphisme. Or, un morphisme
@@ -918,7 +918,7 @@ où les $X,Y$ sont dans un $B^N$ et indépendants
de $h$.
(iii) ⇒ (iv). Commençons par vérifier le second énoncé.
-Fixons $x$ et $y$ comme en (iii). Soit $u ∈ \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$.
+Fixons $x$ et $y$ comme en (iii). Soit $u ∈ \End_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(B)$.
Nous allons montrer que le morphisme d'anneaux non commutatifs $ι$
est surjectif en vérifiant qu'il envoie l'élément $∑_g ⟨u(x),g(y) ⟩ \, g ∈ B\{G\}$
sur l'endomorphisme $u$, où l'on note $u(x)=(u(x₁), …,u(x_n)) ∈ B^n$.
@@ -938,7 +938,7 @@ chaque $b_g$ est nul et $s=0$. (Pour une démonstration plus élégante,
cf. \cite[II.5.6]{Knus-Ojanguren}.)
Il nous reste à vérifier que $B$ est projectif de type fini
sur $A$. Pour chaque $i$, considérons la forme linéaire
-$f_i ∈ B^∨=\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B,A)$ définie
+$f_i ∈ B^∨=\Hom_{A\traitdunion\categmot{Mod}}(B,A)$ définie
par $b ↦ ∑_g g(by_i)$. Pour tout $b ∈ B$, on a $b=∑_i f_i(b)x_i$. D'après \refext{descente}{projectivité par
décomposition identité} ceci montre que $B$ est projectif de
type fini sur $A$.
diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex
index f79f182..bb7a97c 100644
--- a/chapitres/formes-tordues.tex
+++ b/chapitres/formes-tordues.tex
@@ -55,9 +55,9 @@ vers la catégorie $Π\traitdunion\Ens$ des $Π$-ensembles à droite.
Notons que si l'algèbre $A$ est finie sur $k$, l'ensemble $π₀^{K\bo k}(A)$
est fini (\refext{Alg}{k-algebres-finies} (i)). Par restriction,
on en tire un foncteur contravariant, que nous noterons $π₀^{K\bo k}$,
-de la catégorie $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$ des $k$-algèbres
+de la catégorie $\categmot{Ét}(K\bo k)$ des $k$-algèbres
étales trivialisées par $K\bo k$ vers la catégorie
-$Π\traitdunion\Ens𝖿$ des $Π$-ensembles à droite \emph{finis}.
+$Π\traitdunion\categmot{Ensf}$ des $Π$-ensembles à droite \emph{finis}.
\begin{quote}Jusqu'à la fin de la section \ref{Galois-Grothendieck},
les $Π$-ensembles sont des $Π$-ensemble \emph{à droite}.
\end{quote}
@@ -71,8 +71,8 @@ L'ensemble $Θ_{K\bo k}(X)$ n'est autre que $\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$,
où l'on fait agir $Π$ à droite sur $K$ par $a ⋅ σ = σ^{-1}(a)$.
En associant à un morphisme de $Π$-ensembles $φ:X → Y$
le morphisme de $k$-algèbres évident $Θ^{K\bo k}(φ) : Θ^{K\bo k}(Y) → Θ^{K\bo k}(X)$,
-on obtient un foncteur contravariant $Θ^{K\bo k}$ de $Π\traitdunion\Ens𝖿$
-vers $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$.
+on obtient un foncteur contravariant $Θ^{K\bo k}$ de $Π\traitdunion\categmot{Ensf}$
+vers $\categmot{Ét}(K\bo k)$.
\subsubsection{}Étudions le lien entre ces constructions et la théorie
de Galois telle que présentée en \refext{CG}{correspondance Galois finie}.
@@ -90,9 +90,9 @@ en bijection avec le sous-corps $\Fix_H(K)$ de $K$.
\label{Galois-Grothendieck fini}
Soit $K\bo k$ une extension fini étale de groupe de Galois $Π$.
Les foncteurs
-\[π₀^{K\bo k}: \categ{\acute{E}t}(K\bo k) → Π\traitdunion\Ens𝖿\]
+\[π₀^{K\bo k}: \categmot{Ét}(K\bo k) → Π\traitdunion\categmot{Ensf}\]
et
-\[Θ^{K\bo k}: Π\traitdunion\Ens𝖿 → \categ{\acute{E}t}(K\bo k)\]
+\[Θ^{K\bo k}: Π\traitdunion\categmot{Ensf} → \categmot{Ét}(K\bo k)\]
sont des anti-équivalences de catégories quasi-inverses l'une de l'autre.
\begin{enumerate}
@@ -102,7 +102,7 @@ et les classes d'isomorphismes de $Π$-ensembles finis. De plus,
\[
[A:k] = \# π₀^{K\bo k}(A).
\]
-\item Pour toute paire $A,B$ d'objets de $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$,
+\item Pour toute paire $A,B$ d'objets de $\categmot{Ét}(K\bo k)$,
l'application
\[
\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B) → \Hom_{Π\traitdunion\Ens}(π₀^{K\bo k}(B),π₀^{K\bo k}(A))
@@ -422,10 +422,10 @@ et deux tels morphismes sont cohomologues si et seulement si
ils sont
conjugués (dans $A$) :
\[
-H¹(Π,A)=\Hom_{\categ{Grp}}(Π,A)/\textrm{conjugaison dans }A.
+H¹(Π,A)=\Hom_{\categmot{Grp}}(Π,A)/\textrm{conjugaison dans }A.
\]
En particulier, si $A$ est abélien, on a
-canoniquement $\Hom_{\categ{Grp}}(Π,A) ⥲H¹(Π,A)$.
+canoniquement $\Hom_{\categmot{Grp}}(Π,A) ⥲H¹(Π,A)$.
\end{remarque2}
Les cocycles $c_φ$ et $c_ψ$ étant cohomologues, on
@@ -462,11 +462,11 @@ K}^{-1}$
et, finalement, $c_ψ=c_φ$.
\end{démo}
-Notons $\textrm{Formes}(x,K\bo k)$ l'ensembles des classes
+Notons $\mathtextrm{Formes}(x,K\bo k)$ l'ensembles des classes
de $k$-isomorphisme des $K\bo k$-formes de $x$.
Nous venons de construire une application
\begin{equation}\label{formes vers H1}
-\textrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K})).
+\mathtextrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K})).
\end{equation}
\subsubsection{}\label{hypothèse faisceau}Un des point clef
@@ -494,7 +494,7 @@ induit une \emph{bijection}
\begin{proposition2}\label{formes et cohomologie}
Sous l'hypothèse (F), l'application
\[
-\textrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K}))
+\mathtextrm{Formes}(x,K\bo k)→H¹(Π,\Aut(x_{\bo K}))
\]
\[
\textrm{classe de $k$-isomorphisme de }y↦[y]
@@ -546,9 +546,9 @@ $n$ trivialisées par l'extension $K\bo k$.
Pour mémoire, rappelons que les trois applications
$\{1,\dots,n\}→\Spec(K^n)$, $i↦\Ker(\pr_i)$
($\pr_i$ est la projection sur le $i$-ième facteur),
-$\Hom_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n,K)→\Spec(K^n)$,
+$\Hom_{K\traitdunion\Alg}(K^n,K)→\Spec(K^n)$,
$φ↦\Ker(φ)$, et
-$\Aut_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n)→\Aut_{\Ens}(\Hom_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n,K))$,
+$\Aut_{K\traitdunion\Alg}(K^n)→\Aut_{\Ens}(\Hom_{K\traitdunion\Alg}(K^n,K))$,
$φ↦(ψ↦ψφ)$, sont des bijections. Cela résulte
par exemple de \refext{Alg}{ideaux-k-X} pour la première, de
\refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux},
@@ -569,7 +569,7 @@ Il résulte de la construction générale qui précède que nous
disposons
d'une application explicite :
\[
-\textrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo
+\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo
k)=\{k\traitdunion\textrm{alg. rang
}n\textrm{ diag. sur }K\}∕\textrm{isom.}→H¹(Π,𝔖_n).
\]
@@ -577,7 +577,7 @@ k)=\{k\traitdunion\textrm{alg. rang
\begin{proposition2}\label{formes algebres commutatives}
L'application
\[
-\textrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k)→H¹(\Gal(K\bo
+\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k)→H¹(\Gal(K\bo
k),𝔖_n)
\]
est une bijection.
@@ -592,7 +592,7 @@ $σ⋅x=g∘x$. Par hypothèse, cet ensemble est de cardinal $n$.
D'après la correspondance de Galois-Grothendieck
(\ref{Galois-Grothendieck fini})
cette construction induit une bijection entre l'ensemble
-$\textrm{Formes}(k^n,K\bo K)$ et l'ensemble des classes
+$\mathtextrm{Formes}(k^n,K\bo K)$ et l'ensemble des classes
d'isomorphismes
d'action de $Π$ sur $\{1,\dots,n\}$. Ce dernier
n'est autre que l'ensemble des morphismes
@@ -601,7 +601,7 @@ qui coïncide avec $H¹(Π,𝔖_n)$ car l'action de $Π$ est
triviale (cf. \ref{H1=Hom}).
Ceci montre déjà que les deux ensembles
-$\textrm{Formes}(k^n,K\bo k)$ et $H¹(Π,𝔖_n)$
+$\mathtextrm{Formes}(k^n,K\bo k)$ et $H¹(Π,𝔖_n)$
sont en bijection ; en particulier, ils ont même cardinal.
Pour conclure deux méthodes s'offrent à nous.
@@ -614,7 +614,7 @@ est fini et, d'après ce qui précède, en bijection
avec la source, l'application de l'énoncé est une bijection.
\emph{Seconde méthode} : vérifier que l'application
-$\textrm{Formes}(k^n,K\bo K)→H¹(Π,𝔖_n)$ que nous venons
+$\mathtextrm{Formes}(k^n,K\bo K)→H¹(Π,𝔖_n)$ que nous venons
de construire en utilisant la correspondance de
Galois-Grothendieck
coïncide avec l'application de l'énoncé, définie de façon
@@ -691,7 +691,7 @@ une interprétation générale de l'ensemble de cohomologie
$H¹(Π,G)$. Signalons qu'on ne l'étudie pas nécessairement \emph{per se}
mais souvent au motif qu'il décrit les objets que nous allons introduire
dans un instant. Pour le lien entre ce qui suit, dans le cas
-particulier où $G=𝔖_n$, et la bijection $\textrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k) ⥲ H¹(Π,𝔖_n)$
+particulier où $G=𝔖_n$, et la bijection $\mathtextrm{Formes}(\text{algèbre } k^n,K\bo k) ⥲ H¹(Π,𝔖_n)$
précédente, voir remarque \ref{H1(k,Sn)=H1(k,Sn)}.
\subsubsection{}Considérons les catégories des $k$-algèbres
diff --git a/chapitres/krull.tex b/chapitres/krull.tex
index 577647e..07644ed 100644
--- a/chapitres/krull.tex
+++ b/chapitres/krull.tex
@@ -550,7 +550,7 @@ $\MM_x$) n'appartiennent à $𝔭$.
%\begin{proposition2}
%Soient $G$ un groupe profini, $A$ un anneau,
-%et $G→\Aut_{\categ{Ann}}(A)$ une action \emph{admissible}.
+%et $G→\Aut_{\categmot{Ann}}(A)$ une action \emph{admissible}.
%Alors, $G$ agit \emph{transitivement} sur les fibres
%des morphismes $\Spec(A)→\Spec(\Fix_G(A))$.
%\end{proposition2}
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index d4b8f58..23ca5cb 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -5492,7 +5492,7 @@ correspondant est net, il existe un unique $σ ∈ G$ tel
que $\Frob_k(\sur{x})=σ(\sur{x})$. Il en résulte
que
\[
-1+q=\# 𝐏¹_k(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{σ ∈ G} \#\Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1),
+1+q=\# 𝐏¹_k(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{σ ∈ G} \#\Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ O(1),
\]
où le terme supplémentaire est la contribution des points de ramification, en nombre fini.
En conséquence, si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des
diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index 55dc085..9040276 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -624,7 +624,7 @@ CQFD.
\subsubsection{}\label{idempotents-produit}
Soit $X$ un ensemble. On définit sur l'ensemble $𝔓(X)$
des parties de $X$ une structure d'anneau booléien
-en posant : $EF=E ∩ F$ et $E+F=(E ∩ 𝖢F) ∪ (F ∩ 𝖢E)$ (différence
+en posant : $EF=E ∩ F$ et $E+F=(E ∩ ∁F) ∪ (F ∩ ∁E)$ (différence
symétrique, aussi notée $E Δ F$).
Soit $(A_x)_{x ∈ X}$ une famille d'anneaux. L'anneau des
idempotents du produit $∏_{x ∈ X} A_x$ est naturellement
diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex
index 32ba3a5..249cc12 100644
--- a/chapitres/verselles.tex
+++ b/chapitres/verselles.tex
@@ -921,7 +921,7 @@ c =[\pr_\i] ∪ [\pr_\i] + [\pr_\j] ∪ [\pr_\j] + [\pr_\i] ∪ [\pr_\j].
La possibilité d'écrire $c$ comme une somme de produit de $1$-cocycles
est un fait général à la cohomologie modulo $p$ des $p$-groupes.
Cf. p. ex. Serre, « Sur la dimension cohomologique des groupes profinis », Œ. 66, §3
-pour un résultat général sur la structure de $𝖧¹(G,𝐅_p)$ et $𝖧²(G,𝐅_p)$ si
+pour un résultat général sur la structure de $H¹(G,𝐅_p)$ et $H²(G,𝐅_p)$ si
$G$ est un $p$-groupe.
\end{remarque2}