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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-06-22 18:50:55 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-06-22 18:50:55 +0200
commit236580c27f4a686756cb3ee4a2823aaf9d59b641 (patch)
tree23d9279fb9fe7a0553498008bc4717fde9331c4c /chapitres
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[LG] mini-ajout de références
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex27
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 50d3c85..0d23f82 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1668,8 +1668,9 @@ Seconde démonstration, cf. Weil, p 48.
étant par convention égal à $𝐐$ ou isomorphe à un corps
de fractions rationnelles $𝐅_p(t)$. L'étude des corps
globaux procède souvent par réduction au cas des corps
-globaux premiers. (Cf. \ref{Kx sont locaux} pour un premier
-exemple.)
+globaux premiers. (Voir par exemple
+l'observation \ref{Kx sont locaux} \emph{supra}
+et le théorème \ref{cocompacité} \emph{infra}.)
\begin{proposition2}
Soit $K$ un corps global. L'ensemble $Σ_a(K)$ est
@@ -1681,7 +1682,7 @@ Soit $K$ un corps global. L'ensemble $Σ_a(K)$ est
\end{démo}
\begin{proposition2}
-Soit $K$ un corps local et soit $f ∈ K$.
+Soit $K$ un corps global et soit $f ∈ K$.
Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $|f|_x ≤ 1$.
\end{proposition2}
@@ -1765,6 +1766,10 @@ etc. (Cf. groupes algébriques et changement de base.)
$[×a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
\end{proposition2}
+\begin{démo}
+Trivial. cf. p. ex Saïtô p. 239.
+\end{démo}
+
\begin{proposition2}
\label{adèles et cb}
@@ -1773,6 +1778,7 @@ Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme.
\end{proposition2}
\begin{théorème2}
+\label{cocompacité}
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K → A_K$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme : l'image de $K$
@@ -1785,7 +1791,8 @@ continu et est un quasi-isomorphisme.
\begin{démo}
(i) ⇒ (ii). Cf. Saitô, p. 236.
-(i). Cas $K=𝐐$ : explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238).
+(i). Cas $K=𝐐$ : explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238)
+ou Weil, p 65.
Cas général : cf. \ref{adèles et cb}.
\end{démo}
@@ -1794,6 +1801,7 @@ $K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX].
\end{proposition2}
\begin{théorème2}
+\label{formule du produit}
Formule du produit.
\end{théorème2}
@@ -1803,6 +1811,12 @@ Réduction aux cas : $K=𝐐$ et $K=𝐅_p(t)$.
\begin{démo}[Seconde démonstration]
Via module et compacité du quotient [Saitô], p.239--240 ou [Weil].
+$|a|=\mod_K([×a])⋅ \mod_{K_𝐀/K}([×a])$. Or le premier terme
+est égal à un car $K$ est \emph{discret} et le second est
+égal à un par compacité (\ref{définition module et cas
+compact ou commutatif}).
+
+
\end{démo}
@@ -2053,7 +2067,7 @@ la famille des $x(f) ∈ 𝐙$, pour $x ∈ Σ_f(K)$, est presque
partout nulle.
\end{lemme2}
-\renewcommand{\div}{\mathrm{div}}
+\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}}
On note
\[
@@ -2072,6 +2086,9 @@ constantes $k$, considérons également l'application
∑_x n_x ⋅ x ↦ ∑_x n_x [κ(x):k].
\]
+En d'autres termes, on étend la fonction $\deg(x)=[κ(x):k]$
+à $\Div(K)$ par additivité.
+
On a la formule des résidus suivante.
\begin{lemme2}