[Spec] Idempotent indécomposable : conditions équivalentes

 J'ai fait un effort pour que cela soit compact _et_
simple ; j'espère que c'est le cas. Suite du programme :

 Si A est nœthérien, A est isomorphe à ∏_x ∈ π₀(A) A_x
 où les A_x sont connexes.

Ce serait bien d'avoir des exercices sur ce qui se passe
dans le cas général.

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@@ -408,13 +408,20 @@ $e∧e'=ee'$ (produit dans $A$) et $¬e=1-e$ (dans $A$).
 \end{exercice2}
 
 \begin{proposition2}
+Le seul idempotent inversible d'un anneau est l'unité.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Si $e$ est un idempotent inversible d'un anneau, on a $e(1-e)=0$ d'où $1-e=0$.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
 Toute algèbre de Boole intègre est isomorphe au corps $𝐅₂=𝐙/2$.
 \end{proposition2}
 
 \begin{démo}
-Soit $B$ une telle algèbre. Pour chaque $x ∈ B$,
-on a $x²=x$ d'où $x(1-x)=0$. Par intégrité,
-on a $x=0$ ou $x=1$. CQFD.
+Même argument : si $e$ est un élément d'une telle algèbre,
+on a $e²=e$ d'où $e(1-e)=0$ et, par intégrité, $e=0$ ou $e=1$.
 \end{démo}
 
 \begin{corollaire2}\label{SpecBoole=HomF2}
@@ -498,23 +505,23 @@ algèbres de Boole. Par passage au spectre, chaque morphisme $f:A → B$
 induit (de façon contravariante) une application $π₀(f): π₀(B) →
 π₀(A)$.
 
-\subsection{Fonctions sur un ensemble à valeurs dans un anneau ; l'algèbre de Boole des parties d'un ensemble}\label{algèbre Boole PX}
+\subsection{Composantes connexes d'un produit}\label{algèbre Boole PX}
 
 \subsubsection{}\label{idempotents-produit}
 Soit $X$ un ensemble. On définit sur l'ensemble $𝔓(X)$
 des parties de $X$ une structure d'anneau booléien
 en posant : $EF=E ∩ F$ et $E+F=(E ∩ 𝖢F) ∪ (F ∩ 𝖢E)$ (différence
 symétrique, aussi notée $E Δ F$).
-Soit $A_x$, $x ∈ X$ une famille d'anneaux. L'anneau des
+Soit $(A_x)_{x ∈ X}$ une famille d'anneaux. L'anneau des
 idempotents du produit $∏_{x ∈ X} A_x$ est naturellement
-isomorphe au produit $∏_{x ∈ X} \Idem(A_x)$ :
-$(a_x)_x$ est idempotent si et seulement
+isomorphe au produit $A=∏_{x ∈ X} \Idem(A_x)$ :
+$a=(a_x)_x$ est idempotent si et seulement
 chaque $a_x$ l'est. Si les $A_x$ sont connexes, c'est-à-dire
-si $\Idem(A_x)=𝐅₂$, l'anneau $\Idem(∏_x A_x)$ est donc isomorphe
+si $\Idem(A_x)=𝐅₂$ pour chaque $x$, l'anneau $\Idem(∏_x A_x)$ est donc isomorphe
 à l'anneau booléien $𝐅₂^X=\Hom(X,𝐅₂)$.
 Cet anneau est, à son tour, isomorphe à l'anneau
 $𝔓(X)$ : l'application $f ↦ f^{-1}(1)$ est un isomorphisme
-d'anneau de Boole d'inverse envoyant un sous-ensemble $E$
+d'anneaux de Boole d'inverse envoyant un sous-ensemble $E$
 de $X$ sur sa fonction caractéristique.
 
 \begin{proposition2}\label{SpecPX et ideaux-k-X}
@@ -522,7 +529,11 @@ Soient $X$ un ensemble et $k$ un corps.
 \begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 	\item Pour chaque $x ∈ X$, l'ensemble $𝔭_x=\{E ⊆X:x ∉ E\}$ est un idéal maximal de $𝔓(X)$.
-	\item Pour chaque $x ∈ X$, l'ensemble $𝔮_x=\{f ∈ k^X:f(x)=0\}$ est un idéal maximal de $k^X$.
+	\item Pour chaque $x ∈ X$, l'ensemble $𝔮_x=\{f ∈ k^X:f(x)=0\}$
+		est un idéal maximal de $k^X$. Il est
+		\emph{principal}, engendré par l'élément $1-e_x$ où
+		$e_x$ est la fonction caractéristique du
+		singleton $\{x\}$.
 \end{enumerate}
 \item Supposons $X$ fini.
 \begin{enumerate}
@@ -535,92 +546,103 @@ De plus, pour tout $E⊆X$ le morphisme de projection $k^X→k^E$
 \end{enumerate}
 \end{proposition2}
 
-\begin{corollaire2}
-Soient $A$ un anneau connexe et $X$ un ensemble fini.
-L'ensemble $π₀(A^X)$ des composantes connexes
-de $A^X$ est naturellement en bijection avec l'ensemble $X$.
-\end{corollaire2}
-
-\begin{démo}[Démonstration de la proposition]
-	(i)(a) Pour chaque $x$, l'image de $𝔭_x$ par $χ$ est le sous-ensemble de
+\begin{démo}
+(i)(a) Pour chaque $x$, l'image de $𝔭_x$ par $χ$ est le sous-ensemble de
 $𝐅₂^X$ des fonctions nulles en $x$. Il suffit donc de démontrer la
 proposition pour l'anneau $𝐅_2^X$ et, plus généralement,
 $k^X$ où $k$ est un corps. (Notons que $k^X$ n'est booléien
 que lorsque le corps $k$ est $𝐅₂$.)
 (b) Il est clair que $𝔮_x$ est un idéal de $k^X$,
-maximal. (Notons d'ailleurs que l'application quotient $k^X ↠ k=k^X / 𝔮_x$
-n'est autre que le morphisme d'évaluation $\ev_x$ en $x$.)
-(ii)(a) Il suffit de vérifier l'énoncé concernant $k^X$. Soit $𝔪$ un idéal maximal de
-$k^X$ et supposons qu'il est différent de chacun des
-idéaux maximaux $𝔮_x$. Il existe donc pour chaque $x ∈ X$,
-un élément $f_x ∈ 𝔪$ tel que $f_x(x)$ soit non nul
-(nécessairement égal à $1$). Quitte à multiplier
-$f_x$ par la fonction $\frac{1}{f_x(x)} χ_{\{x\}}$,
-on peut supposer que la fonction caractéristique
-$χ_{\{x\}}$ du singleton appartient à $𝔪$.
-Si $X$ est fini, la somme $∑_{x ∈ X} χ_{\{x\}}$ a un sens
-et est égale à l'unité de $k^X$. Elle appartient à $𝔪$ ; absurde.
-(b) Soit $ℐ$ un idéal de $k^X$ et soit $E ⊆ X$
+maximal. Notons que l'application quotient $k^X ↠ k=k^X / 𝔮_x$
+n'est autre que le morphisme d'évaluation $\ev_x$ en $x$. L'égalité
+$𝔮_x=k^X(1-e_x)$ est de vérification immédiate.
+(ii)(a) Il suffit de vérifier l'énoncé concernant $k^X$, qui est un
+cas particulier de (b). (b) Soit $ℐ$ un idéal de $k^X$ et soit $E ⊆ X$
 l'ensemble l'annulation de $ℐ$, c'est-à-dire
 l'ensemble des $x∈X$ tels que $f(x)=0$ pour chaque $f$ dans $ℐ$.
 Par construction on a l'inclusion $ℐ⊆ℐ_{E}$. D'autre part, pour chaque
-$x∉E$, il existe une fonction $f∈ℐ$ telle que $f(x)≠0$. Comme
-ci-dessus, on constate que $χ_{\{x\}}$ appartient également à $ℐ$.
-Ces fonctions caractéristiques (« Dirac ») engendrent, comme $k$-espace vectoriel,
-l'idéal $ℐ_E$ de sorte que l'on a l'inclusion $ℐ_Y⊆ℐ$ et, finalement, l'égalité.
+$x∉E$, il existe une fonction $f∈ℐ$ telle que $f(x)≠0$.
+La fonction $e_x$ (« Dirac » en $x$) appartient également à $ℐ$,
+comme on le constate en multipliant $f_x ∈ ℐ$ par l'élément
+$\frac{1}{f_x(x)} e_x$ de $k^X$.
+L'ensemble $X$ étant fini, ces fonctions caractéristiques engendrent
+le $k$-espace vectoriel $ℐ_E$ de sorte que l'on a l'inclusion $ℐ_Y⊆ℐ$ et, finalement, l'égalité.
 Le dernier point est évident.\end{démo}
 
 \begin{remarque2}
 Lorsque $X$ est infini, on dispose d'une caractérisation
-semblable des idéaux de $k^{(X)}$ (fonctions à support fini) ;
+semblable à (ii)(b) des idéaux de $k^{(X)}$ (fonctions à support fini) ;
 les idéaux maximaux de $k^X$ sont quant à eux associés
 aux \emph{ultrafiltres} sur $X$. \XXX
 \end{remarque2}
 
+\begin{corollaire2}
+Soit $A=∏_{x ∈ X} A_x$ un produit \emph{fini} d'anneaux \emph{connexes}.
+L'application $X →  π₀(A)$, $x ↦ 𝔭_x=(1-e_x)\Idem(A)$ est une bijection,
+où $e_x$ désigne l'idempotent de $A$ sont toutes les coordonnées
+sont nulles sauf celle indicée par $x$, valant $1$.
+\end{corollaire2}
 
-\subsection{Idempotents et décomposition en produit}
+\subsection{Décomposition en produit d'anneaux connexes}
 
-\begin{lemme2}
-Soit $A$ un anneau.
-Pour tout idempotent $e∈A$, l'addition et la multiplication de $A$ induisent une
-structure d'\emph{anneau} sur l'idéal $Ae$, dont l'identité est
-$e$. L'application $A→Ae$, $a\mapsto ae$, est un morphisme surjectif d'anneaux.
-\end{lemme2}
+Dans ce paragraphe, on cherche à établir une réciproque au
+corollaire précédent.
+
+\begin{proposition2}
+Soient $A$ un anneau et $e$ un idempotent de $A$.
+\begin{enumerate}
+	\item Le morphisme canonique $A → A/(1-e) × A/e$ est un isomorphisme.
+	\item L'application $A/(1-e) → Ae$, $x \mod (1-e) ↦ xe$ est un
+		isomorphisme d'anneaux si l'on munit $Ae$ de l'addition
+		et la multiplication déduites de $A$ par restriction.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
 
-Par la suite, les idéaux $Ae$ seront toujours munis
-de la structure d'anneau induite. Notons que
-l'inclusion $Ae ↪ A$ n'est \emph{pas} un morphisme d'anneaux
+Notons que l'inclusion $Ae ⊆ A$ n'est \emph{pas} un morphisme d'anneaux
 lorsque $e ≠ 1$ ; elle induit cependant une injection
-$\Idem(Ae) ↪ \Idem(A)$.
+$\Idem(Ae) ⊆ \Idem(A)$.
+
+\begin{démo}
+Le premier point résulte du lemme chinois (\ref{lemme
+chinois}). Le second est trivial.
+\end{démo}
 
 \begin{proposition2}\label{idempotent indécomposable}
-Soient $A$ un anneau et $e$ un idempotent \emph{non nul}.
+Soient $A$ un anneau et $e$ un idempotent
 Les conditions suivantes sont équivalentes :
 \begin{enumerate}
+	\item l'anneau $A/(1-e)$ est connexe ;
+	\item l'idéal engendré par $1-e$ dans $\Idem(A)$ est \emph{premier} ;
 	\item l'anneau $Ae$ est connexe ;
-	\item l'idempotent $e$ est \emph{indécomposable}\index{idempotent décomposable} :
-		il n'existe pas d'idempotents non nuls $e₁,e₂$ tels
-		que $e=e₁+e₂$ et $e₁e₂=0$.
+	\item l'idempotent $e$ est non nul et s'il n'existe pas d'idempotents non nuls $e₁,e₂$ tels que $e=e₁+e₂$ et $e₁e₂=0$.
 \end{enumerate}
 \end{proposition2}
 
 Deux idempotents de produit nul sont dits
 \emph{orthogonaux}\index{idempotents orthogonaux}.
 
+\begin{définition2}
+Un idempotent $e$ d'un anneau $A$ est dit \emph{indécomposable}\index{idempotent décomposable}
+s'il satisfait les conditions équivalentes de la proposition précédente.
+\end{définition2}
+
 \begin{démo}
-	(i) ⇒ (ii). Supposons $e$ somme de deux idempotents
-	orthogonaux. Multipliant l'égalité $e=e₁+e₂$ par $e₁$, on
-	obtient : $e₁e=e₁$. Ainsi,
-$e₁$ appartient à $Ae$. Cet anneau étant connexe, les idempotents
-de $Ae$ sont l'unité $e$ et $0$. (Ils sont distincts par hypothèse.)
-Ainsi, $e₁=e$ ou $e₁=0$ c'est-à-dire $e₂=0$ ou $e₁=0$. CQFD.
-	(ii) ⇒ (i). Supposons $e$ indécomposable et montrons que
-	l'anneau $Ae$ est connexe. Soit $f$ un idempotent de $Ae$
-	(donc de $A$). Les éléments $fe$ et $(1-f)e$ sont des idempotents
-	orthogonaux et on a l'égalité : $e=fe+(1-f)e$. Il en résulte
-	que $fe=0$ ou bien $(1-f)e=0$. Or, $fe=f$, comme on le
-	constate en multipliant $f ∈ Ae$ par $e$ à droite
-	($(ae)e=ae²=ae$) de sorte que $f=0$ ou $f=e$.
+(i) ⇔ (ii) La décomposition en produit $A = A/(1-e)A × A/eA$
+induit un isomorphisme $\Idem(A) = \Idem(A/(1-e)A)×\Idem(A/eA)$,
+envoyant l'élément $1-e$ sur l'élément $(0,1)$ du produit. Le
+quotient $\Idem(A)/(1-e)\Idem(A)$ est donc isomorphe à
+$\Idem(A/(1-e)A)$. La conclusion résulte maintenant
+de la définition de la connexité et de \ref{SpecBoole=HomF2}.
+(i) ⇔ (iii) Les anneaux $Ae$ et $A/(1-e)A$ sont isomorphes.
+(ii) ⇒ (iv) Supposons que $e$ se décompose dans $\Idem(A)$ en $e₁+e₂$.
+Si $e₁$ et $e₂$ sont orthogonaux, on a $1-e=1-e₁-e₂=(1-e₁)(1-e₂)$.
+Ainsi l'un des $e_i$ est égal à l'unité et l'autre, qui lui
+est orthogonal, est nul. (iv) ⇒ (ii). Soit $f$ un idempotent de $Ae$,
+donc de $A$. Les éléments $fe$ et $(1-f)e$ sont des idempotents
+orthogonaux et on a l'égalité : $e=fe+(1-f)e$. Il résulte de
+l'hypothèse que l'on a que $fe=0$ ou bien $(1-f)e=0$. Notons que
+$fe=f$ : cela résulte du fait que $f$ appartient à $Ae$ et
+de l'identité $(ae)e=ae²=ae$. Ainsi, $f=0$ ou $f=e$. CQFD.
 \end{démo}
 
 \begin{proposition2}\label{decomposition-idempotents-orthogonaux}